Основные условные обозначения

Министерство Образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Казанский государственный технический университет им. А. Н. ТУПОЛЕВА

А. А. ПОТАПОВ

ПАРАМЕТРЫ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ

ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ: ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

Учебное пособие

Казань 2015

УДК 531.01+ 629.7.512.83.001.2

Потапов А. А.

Параметры угловой ориентации подвижных объектов: прикладные задачи: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2015.: 90 с.

Излагаются основы использования основных параметров ориентации в системах угловой ориентации подвижных объектов. Рассмотрены прикладные задачи, связанные с работой устройств и систем угловой ориентации подвижных объектов и исследованием кинематических погрешностей их работы. Это задачи построения уравнений связи между параметрами ориентации подвижного объекта и параметрами ориентации гироскопических измерительных устройств; построение уравнений погрешностей работы гироскопических устройств при любых режимах движения подвижного объекта; задачи, с учетом как угловых, так и линейных перемещений систем координат и др. Задачи, рассмотренные в основном на примерах, с использованием гироскопических измерительных устройств, могут быть перенесены на другие проборы и устройства автоматики.

Для студентов старших курсов, магистров и аспирантов, обучающихся по специальностям и направлениям автоматики и приборостроения и аспирантам. Может быть полезна преподавателям, ведущим соответствующие курсы, так и инженерам соответствующего профиля деятельности.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................... 5

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.............................................................. 7

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА: 9

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ:....................... 10

1. ПАРАМЕТРЫ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА. 12

1.1. Углы ортогональных поворотов............................................................................. 12

1.2. Направляющие косинусы........................................................................................ 16

1.2.1. Обозначения векторов и матриц....................................................................... 16

1.2.2. Матрицы направляющих косинусов................................................................ 18

1.2.3. Матрица конечного поворота............................................................................ 21

1.2.4. Матричная форма формулы Эйлера.................................................................. 22

1.2.5. Формула Пуассона.............................................................................................. 23

1.2.6. Производная матрицы направляющих косинусов, определяющей ориентацию промежуточных систем координат........................................................................................... 25

1.2.7. Сводная таблица основных формул матриц направляющих косинусов...... 25

1.3. Методы графов в решении кинематических задач.............................................. 27

1.3.1. Схемы связи между системами координат...................................................... 27

1.3.2. Элементарные графы ортогональных поворотов............................................ 29

1.5. Кватернионы............................................................................................................. 34

1.5.1. Определение кватернионов и их свойства...................................................... 34

1.5.2. Связь параметров кватернионов с углами ортогональных поворотов......... 37

1.5.3. Связь направляющих косинусов с параметрами кватернионов.................... 38

1.5.4. Кинематические уравнения (в кватернионной форме).................................. 40

1.6. Контрольные вопросы............................................................................................. 42

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ЛА ПО ПОКАЗАНИЯМ ГИУ 43

2.1. Постановка задачи.................................................................................................... 43

2.2. Определения углов наклона ЛА по показаниям ГИУ.......................................... 47

2.3. Определение угла направления ЛА по показаниям гироагрегата...................... 50

2.4. Контрольные вопросы............................................................................................. 52

3. ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ 53

3.1. Кардановые погрешности гироустройств............................................................. 53

3.1.2. Способы определения кардановых погрешностей.......................................... 53

3.1.3. Определение кардановой погрешности гировертикали................................. 54

3.2. Уравнения погрешности работы гироскопической вертикали........................... 60

3.2.1. Введение.............................................................................................................. 60

3.2.2. Идеальный режим............................................................................................... 61

3.2.3. Общий режим...................................................................................................... 62

3.2.4. Составление прецессионных уравнений погрешности работы гировертикали 63

3.3. Контрольные вопросы............................................................................................. 70

4. СОВМЕСТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА И ПАРАМЕТРОВ ЕГО ДВИЖЕНИЯ....................................................................................... 71

4.1. Однородные координаты........................................................................................ 71

4.2. Задание положения используемых систем координат......................................... 72

4.3. Определение абсолютных линейных скоростей и ускорений места установки измерительных устройств...................................................................................................................................... 77

4.4. Пример: абсолютные угловые скорости и линейные ускорения места установки блока датчиков........................................................................................................................................................ 81

4.4.1. Постановка задачи.............................................................................................. 81

4.4.2. Показания датчиков угловой скорости............................................................ 84

4.4.3. Показания акселерометров................................................................................. 86

4.5. Контрольные вопросы............................................................................................. 88

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................................................. 89

Приборы и устройства автоматики проделали за свою историю такой же путь, какой проделало человечество от искры, высеченной кремнем, до космических кораблей

ВВЕДЕНИЕ

Большой интерес к принципам построения и проектирования современных систем угловой ориентации для широкого (и интенсивно расширяющегося класса подвижных объектов различного назначения) потребовал использования в этих системах разных параметров ориентации, определяющих как угловую ориентации подвижных объектов, так и параметров угловой ориентации датчиков угловой ориентации подвижных объектов.

Отсутствие соответствующей учебной литературы как по разным параметрам угловой ориентации и их свойствам, так и методам решения прикладных задач угловой ориентации, доведенных до вида, удобного для построения имитационного моделирования этих задач (на сегодняшний день главного метода исследования и проектирования сложных технических систем) – определили актуальность данной работы.

Содержание работы разбито на четыре раздела. Первый раздел посвящен рассмотрению основных параметров ориентации подвижных объектов: углам ортогональных поворотов (часто их называют углами Эйлера), направляющих косинусов и кватернионов. Также здесь рассмотрены способы составления кинематических уравнений и уравнения связи между указанными параметрами ориентации.

Во втором разделе рассмотрены практические задачи определения параметров определения параметров угловой ориентации подвижного тела по измеренным параметрам ориентации соответствующих датчиков (гироскопических измерительных устройств).

В третьем разделе выделено рассмотрение вопросов погрешности определения угловой ориентации на примере разных гироскопических устройств. Показан способ составления системы дифференциальных уравнений, описывающих погрешность работы гироскопического измерительного

устройства при произвольном характере движения подвижного объекта, что является основой для построения имитационных моделей исследования и расчетов проектируемых устройств измерения угловой ориентации подвижных объектов.

Четвертый раздел посвящен применению однородных параметров для определения искомых инерционных параметров движения подвижного объекта (абсолютной угловой скорости и абсолютного линейного ускорения места подвижного объекта, в котором установлены датчики угловой ориентации. Матричная форма этого подхода также направлена на включение данных вычислений в имитационные модели исследования работы систем угловой ориентации.

Каждый раздел снабжен контрольными вопросами для повышения усвоения приведенного материала.

Основу работы составляют результаты исследований и опыта их внедрения в ходе разработок устройств и систем угловой ориентации подвижных объектов, которые выполнены в разные годы при совместной работе с предприятиями: "МЭНИИ" (г. Миасс), ОАО НПП "Элара" (г. Чебоксары), ОКБ "Сокол" (г. Казань), а также на основе опыта ведения дисциплин "Проектирование приборов и систем и их эксплуатация", "Навигационные системы" для студентов специальности 160402 и дисциплины "Гироскопические и навигационные приборы и системы" – специальности 200103.

Работа является дополнительным учебным пособием для изучающих дисциплины, связанные с угловой ориентацией и системами угловой ориентации подвижных объектов.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

АББРЕВИАТУРЫ:

ГСК – географическая система координат

ГЦСК – геоцентрическая система координат

ДПИ – датчики первичной информации

ДУС – датчик угловой скорости

ИГСК – инерциальная геоцентрическая система координат

ЛА – летательный аппарат

ПО – подвижный объект

ПСК – путевая (маршрутная) система координат

СК – система координат

ССК – связанная система координат

СКР – система координат Резаля

УСК – установочная система координат

ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ:

H – горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли

h – высота полета ПО

Z – вертикальная составляющая напряженности магнитного поля Земли

W – путевая скорость ПО

W_N , W_E – северная и восточная составляющие путевой скорости ПО

x_u, ,y_u, z_u–координаты места установки ДПИ на борту ПО

g – ускорение свободного падения

МАТРИЦЫ И ВЕКТОРА:

– матрицы (размера 3×3 и 3×1 соответственно),

определяющие мультипликативную и аддитивную составляющие погрешности работы ј – ого ДПИ

– вспомогательные матрицы

– единичная матрица (размера 3´3)

– расширенная матрица

– однородная матрица поворота системы координат

– однородная матрица параллельного переноса системы координат

– однородная матрица перемещения

– обозначение перехода от кососимметрической матрицы (размера 3×3) к матрице-столбцу (размера 3×1) и обратно

– вектор, матрица-вектор и кососимметрическая матрица угловой скорости ПО

– вектор, матрица-вектор и кососимметрическая матрица углового ускорения ПО

° – символ кватернионного умножения

– эквивалентно ; (например, )

ВЕРХНИЕ ИНДЕКСЫ:

– матрица

~ (тильда) кососимметрическая матрица

→ вектор

^ – символ кватерниона

Т – символ транспонирования матрицы

-1 – символ обращения матрицы

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ:

Ψ – угол истинного курса ПО

Ψ_м – угол магнитного курса ПО

J – угол тангажа ПО

γ – угол крена ПО

– географическая широта места ПО

– географическая долгота места ПО

– угловая скорость Земли

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ОРИЕНТАЦИИ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА:

Угол курса подвижного объекта Y – угол между плоскостью меридиана и проекцией подвижного объекта на плоскость горизонта. За положительное значение угла принят угол поворота объекта по ходу часовой стрелки от плоскости меридиана.

Угол магнитного курса подвижного объекта Y_м – угол курса подвижного объекта, при определении которого используется плоскость магнитного меридиана.

Угол тангажа (дифферента) подвижного объекта J – угол между плоскостью горизонта и продольной осью подвижного объекта. За положительное значение угла принят угол поворота объекта от плоскости горизонта вверх.

Угол крена подвижного объекта g – угол между вертикальной плоскостью, проходящей через продольную ось подвижного объекта, и его плоскостью симметрии. За положительное значение угла принят угол поворота нормальной оси подвижного объекта от вертикальной плоскости в сторону правого крыла.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАННЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ:

O₀X₀Y₀Z₀ – инерциальная система координат (ИСК); начало координат О₀ находится в центре Земли; ось O₀X₀ –направлена по оси вращения Земли к северному полюсу; ось O₀Y₀ – направлена по линии пересечения гринвичского меридиана и плоскости экватора Земли (в момент начала рассмотрения движения ПО ось "замирает" относительно звезд); ось O₀Z₀ – дополняет систему координат до правой.

OX_gY_gZ_g – географическая система координат (ГСК); начало координат О находится в центре масс ПО; ось OY_g –направлена вверх по вертикали места; ось O Z_g – направлена на Восток, перпендикулярно географическому меридиану; ось OX_g – направлена на Север по полуденной линии.

O_vX_vY_vZ_v – условно названа путевой (маршрутной) система координат (МСК), образована ортогональным поворотом ГСК на угол курса Y.

O X Y Z (иногда O_cX_cY_cZ_c) – связанная система координат (ССК); ось – OX (O_cX_c) продольная ось ЛА; начало координат О_с находится в центре масс ПО; ось OY (O_cY_c) – нормальная ось ЛА, а ось OZ (O_cZ_c) – поперечная ось ЛА.

O_uX_uY_uZ_u – установочная приборная система координат (УСК); начало координат О_u находится в центре масс приборного блока; оси УСК ортогональны и, как правило, совпадают с входными осями измерительных устройств.

O_iX_iY_iZ_i – система координат Резаля (СКР) i – ого гироскопа; размещение СКР и направление осей системы координат определяется постановкой задачи и конструкцией конкретного гироскопического устройства; обычно (в данной работе) ось O_iY_i – главная ось гироскопа.