Неопределенности гейзенберга
Джеймс Кларк Максвелл, прославленный физик-теоретик второй половины XIX века, внесший огромный вклад в развитие электромагнитной и молеку-лярно-кинетической теории
В науке, как и в художественной литературе, встречаются фантастические персонажи. Пожалуй, больше всего их было вымышлено
В процессе обсуждения второго начала термодинамики.
Самым популярным из них стал демон Максвелла, которого придумал Джеймс Кларк Максвелл, автор знаменитой системы уравнений максвелла, полностью описывающей электромагнитные поля. Второе начало (или закон) термодинамики имеет множество формулировок, физический смысл которых, однако же, идентичен: изолированная система не может самопроизвольно переходить из менее упорядоченного состояния в более упорядоченное. Так, газ, состоящий из молекул, движущихся с различными скоростями, не может самопроизвольно разделиться на две части, в одной из которых соберутся молекулы, движущиеся в среднем быстрее среднестатистической скорости, а в другой — медленнее.
Многие физические процессы относятся к категории обратимых. Воду, например, можно заморозить, а полученный лед снова растопить, и мы получим воду в прежнем объеме и состоянии; железо можно намагнитить, а затем размагнитить и т. п. При этом энтропия (степень упорядоченности) системы в начальной и конечной точке процесса остается неизменной. Есть и необратимые в термодинамическом понимании процессы — горение, химические реакции и т. п. То есть, согласно второму началу термодинамики, любой процесс в итоге приводит либо к сохранению, либо к снижению степени упорядоченности системы. Такая дисгармоничная ситуация сильно озадачила физиков второй половины XIX столетия, и тогда Максвелл предложил парадоксальное решение, позволяющее, казалось бы, обойти второе начало термодинамики и обратить неуклонный рост хаоса в замкнутой системе. Он предложил следующий «мысленный эксперимент»: представим себе герметичный контейнер, разделенный надвое газонепроницаемой перегородкой, в которой имеется единственная дверца размером с атом газа. В начале опыта в верхней части
 |
контейнера содержится газ, а в нижней — полный вакуум.
Теперь представим, что к дверце приставлен некий микроскопический вахтер, зорко следящий за молекулами. Быстрым молекулам он дверцу открывает и пропускает их за перегородку, в нижнюю половину контейнера, а медленные оставляет в верхней половине. Понятно, что если такой мини-вахтер будет дежурить у дверцы достаточно долго, газ разделится на две половины: в верхней части останется холодный газ, состоящий из медленных молекул, а в нижней скопится горячий газ из
быстрых молекул. Тем самым система упорядочится по сравнению с исходным состоянием, и второе начало термодинамики будет нарушено. Мало того, разницу температур можно будет использовать для получения работы (см. цикл и теорема карно). Если такого вахтера оставить на дежурстве навечно (или организовать сменное дежурство), мы получим вечный двигатель.
Этот забавный вахтер, которому остроумные коллеги ученого дали прозвище демон Максвелла, до сих пор живет в научном фольклоре и волнует умы ученых. Действительно, вечный двигатель человечеству бы не повредил, но вот беда: судя по всему, чтобы демон Максвелла заработал, ему самому потребуется энергопитание в виде притока фотонов, необходимых для освещения приближающихся молекул и их просеивания. Кроме того, просеивая молекулы, демон и дверца не могут не вступать с ними во взаимодействие, в результате чего они сами будут неуклонно получать от них тепловую энергию и наращивать свою энтропию, в результате чего суммарная энтропия системы все равно уменьшаться не будет. То есть таким объяснением теоретическая угроза второму началу термодинамики была отведена, но не безоговорочно.
Первый по-настоящему убедительный контраргумент был сформулирован вскоре после зарождения квантовой механики. Для сортировки подлетающих молекул демону нужно измерять их скорость, а сделать это с достаточной точностью он не может в силу принципа неопределенности гейзенберга. Кроме того, в силу этого же принципа он не может точно определить и местонахождение молекулы в пространстве, и часть молекул, перед которыми он распахивает микроскопическую дверцу, с этой дверцей разминутся. Иными словами, демон Максвелла на поверку оказывается макроскопическим слоном в посудной лавке микромира, который живет по собственным законам. Приведите демона в соответствие с законами квантовой механики, и он окажется не в состоянии сортировать молекулы газа и просто перестанет представлять какую-либо угрозу второму началу термодинамики.
Другой веский аргумент против возможности существования демона-вахтера появился уже в компьютерную эру. Предположим, что демон Максвелла — это компьютерная автоматизированная система управления открыванием дверцы. Система производит побитовую обработку входящей информации о скорости и координатах приближающихся молекул. Пропустив или отклонив молекулу, система должна произвести сброс прежней упорядоченной информации, а это равносильно повышению энтропии на величину, равную снижению энтропии в результате упорядочивания газа при пропускании или отклонении молекулы, информация о которой стерта из оперативной памяти компьютерного демона. Сам компьютер, к тому же, также греется, так что и в такой модели в замкнутой системе, состоящей из газовой камеры и автоматизированной пропускной системы, энтропия не убывает и второй закон термодинамики выполняется.
Жаль демона — симпатичный был персонаж.
Детерминизм
Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние
Одно из основных положений научного метода состоит в том, что мир предсказуем — то есть для данного набора обстоятельств есть только один возможный (и предсказуемый) исход. Эта философская доктрина известна под названием «детерминизм». Возможно, лучший пример детерминистической системы получится из сочетания законов механики ньютона и закона всемирного
тяготения ньютона. Если вы примените эти законы к единственной планете, вращающейся вокруг звезды, и запустите планету с заданного места с заданной скоростью, вы можете предсказать, где она будет в любой момент времени в будущем. Так возникла идея «часового механизма Вселенной», имевшая огромное влияние не только на развитие науки, но и на появление такого философско-культурного движения, как Просвещение, которое достигло своего расцвета в XVIII веке.
Как философская доктрина детерминизм играл (и продолжает играть) важную роль в науке. Однако на практике не всегда легко предсказать, какой будет система в конце своего существования (ученые называют это конечным состоянием системы), даже если известны начальные условия. Например, довольно просто рассчитать орбиту единственной планеты в вышеприведенном примере. Но введите еще две-три планеты в систему, и все значительно усложнится. Каждая планета действует своей силой притяжения на все остальные планеты и в свою очередь испытывает их влияние. Найти точное решение такой задачи многих тел, как ее называют астрономы, практически невозможно.
В XIX веке было обещано вознаграждение тому, кто первым сможет ответить, стабильна ли Солнечная система. Вопрос о стабильности можно переформулировать так: если бы вы могли оказаться в далеком будущем, увидели бы вы все планеты точно там, где они находятся сегодня, так же расположенными друг относительно друга и движущимися с той же скоростью? Это чрезвычайно трудный вопрос. На него нельзя ответить однозначно, поскольку в Солнечной системе девять планет, не считая их спутников, астероидов и комет, у которых есть свои собственные маленькие спутники с неизвестными нам орбитами. Хотя Солнечная система и приводится как показательный пример часового механизма Вселенной и принципа детерминизма, но ее будущее не всегда можно точно предсказать.
Это наличие большого количества разнообразных факторов, влияющих на движение планет, в первой половине XX века сыграло важную роль в экспериментальном подтверждении общей теории относительности. У Меркурия, как и у всех остальных планет, орбита эллиптическая (см. законы кеплера). Если бы Солнечная система состояла только из Меркурия и Солнца, то Меркурий двигался бы все время по одному и тому же эллипсу. Однако из-за влияния других планет этот эллипс с каждым оборотом планеты вокруг Солнца немного искривляется. По мере движения планеты ближайшая к Солнцу точка орбиты — перигелий — постепенно
смещается, причем смещается ненамного: каждые сто лет она сдвигается вокруг Солнца примерно на 1000 угловых секунд, то есть на четверть градуса. Почти все это смещение можно объяснить результатом гравитационного притяжения других планет — за исключением 43 угловых секунд за столетие.
До того как Эйнштейн сформулировал свою общую теорию относительности, феномен с перигелием Меркурия был всего-навсего очередной необъяснимой загадкой Вселенной — никто не знал, чем вызвано это смещение, хотя, честно говоря, немногие астрономы вообще обращали на это внимание. Но когда орбиту Меркурия рассчитали исходя из уравнений общей теории относительности, к ньютоновскому закону всемирного тяготения применили маленькую поправку, которой оказалось достаточно для объяснения этого смещения перигелия планеты. Орбиты всех планет, включая Землю, тоже испытывают смещение перигелия, как и Меркурий, просто у Меркурия оно наиболее выражено и его проще измерить, поскольку Меркурий расположен ближе всех к Солнцу и поэтому имеет самую высокую орбитальную скорость (в соответствии с законами Кеплера). В настоящее время измерены смещения перигелиев всех внутренних планет с использованием современных радиолокационных методов определения дальности, и они подтвердили предсказания общей теории относительности.
Итак, если ставки достаточно высоки, ученые будут прокладывать свой путь сквозь запутанные силы притяжения в Солнечной системе, чтобы проникнуть в суть таких явлений, как смещение перигелия. Однако вопрос о стабильности остается нерешенным. Возможно, эта проблема и в самом деле неразрешима, да и награда за ее решение, надо сказать, довольно скромная. Пример Солнечной системы показывает, что даже для систем, полностью детерминистических в классическом ньютоновском смысле, возможность делать предсказания неочевидна.
детерминистический хаос
В природе существуют системы, в которых исход конкретной ситуации существенно зависит от измерения воздействия на входе и будущее поведение которых непредсказуемо для всех практических применений
| • |
ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИЙ ХАОС
Принцип детерминизма — один из наиболее важных в современной науке. Он гласит: если мы знаем текущее состояние какой-либо системы в природе, мы можем применить наше знание законов природы для предсказания будущего поведения этой системы. Классическая ньютоновская «механическая» вселенная, в которой положение планет походило на движение стрелок многострелочных часов, а наше знание законов природы сводилось к пониманию устройства часового механизма — это наглядное представление данной концепции.
В XX веке ученые пришли к пониманию того, что в природе имеются системы, полностью детерминистические в ньютоновском смысле, тем не менее их будущее с точки зрения практического применения не поддается расчетам. Появление быстродействующих электронных вычислительных машин в 1980-е годы привело к тому, что это явление, известное как детерминистический хаос, или теория хаоса, стало областью активных научных исследований. Лучшая аналогия детерминистического хаоса — так называемая «белая вода» горных потоков. Если вы бросите в эту воду горной реки два листика один за другим, то ниже по течению они, вероятнее всего, окажутся далеко друг от друга. В системе, подобной этой, небольшое различие в начальных условиях (положение листиков) может привести к большому расхождению на выходе.
Большинство систем в природе не такие. Например, если вы уроните шар с высоты 5 метров и измерите его скорость при ударе о землю, а затем уроните этот же шар с высоты 5,0001 метра, то значения его скорости при ударе будут не очень отличаться. В системах, подобных этой, небольшие изменения начальных условий приводят к небольшим изменениям на выходе. Большинство известных нам систем в природе именно такого типа.
Однако даже для таких простых систем, как классические ньютоновские бильярдные шары, иногда сложно делать предсказания об их состоянии в будущем. К примеру, стандартная задача для студентов-дипломников по физике — показать, что даже случай с бильярдным шаром, отскакивающим от бортов на совершенно ровном столе, в итоге растворяется в неопределенности вследствие неточностей в измерении угла, под которым шар приближается к борту в самом начале.
Однако система горного потока иная, и открытие детерминистического хаоса — хорошая иллюстрация того, каким образом работают подобные системы. По современным стандартам, первые электронные вычислительные машины были очень медленными и имели очень маленькую память. В 1960-е годы Эдвард Лоренц (Edward Lorenz, р. 1917) и его коллеги в Массачусетском технологическом институте испытывали компьютерные модели климата Земли. Их компьютеры часто приходили к некоторому промежуточному состоянию в вычислениях, выводили эти промежуточные результаты на бумажную ленту в течение всей ночи и заканчивали
вычисления на следующий день. Они стали замечать, что вычисления, выполнявшиеся непрерывно от начала до конца, приводили к результатам, которые значительно отличались от результатов прерывавшихся вычислений. Они обнаружили, что это расхождение происходит из-за того, что компьютер округлял числа в промежуточных результатах. Например, для записи на ленту он выдал бы число 0,506, а если бы продолжал работать, то 0,506127. Это различие было достаточным для того, чтобы привести в итоге к совершенно различным прогнозам будущих состояний климата. Теперь мы знаем о существовании систем, которые гораздо чувствительнее к начальным условиям и в которых различие в восьмом знаке после запятой оказывает значительное влияние на конечный результат. (В технических терминах хаотическая система определяется как система, в которой выход экспоненциально зависит от изменений на входе.)
Дело в том, что, когда мы говорим об «определении» начального состояния, мы фактически говорим об измерении. Каждое измерение в реальном мире содержит ошибку — некоторую неточность в фактической величине. Например, если вы измеряете длину стола линейкой, на которой наименьшее деление — миллиметр, то в вашем определении неизбежно будет присутствовать ошибка в долю миллиметра. Аналогично, если в приведенном выше примере вы хотите определить положение листика в горном потоке, вы можете измерить расстояние между листиком и точкой на берегу. Всегда будет присутствовать небольшая погрешность в этом измерении, зависящая от точности используемого измерительного устройства. Если система хаотическая, вы можете много раз класть тот же самый листик, как вам кажется, на то же самое место и получать при этом различные результаты, поскольку вы никогда не сможете точно положить его на одно и то же место дважды.
Таким образом, для хаотических систем теоретически возможно предсказать будущий исход, но только в тех случаях, когда начальное состояние можно определить с абсолютной точностью. Поскольку такой точности достичь невозможно, эти системы для всех практических применений непредсказуемы. При этом важно понимать, что существование детерминистического хаоса не нарушает принципа детерминизма. Оно просто говорит, что при определенных обстоятельствах вы не сможете осуществить те виды измерений, которые вам нужны для определения текущего состояния системы с достаточной точностью в целях предсказания ее будущих состояний.
Иными словами, в хаотических системах имеется некоторое расхождение между детерминизмом (нашим пониманием законов, управляющих системой) и предсказанием (нашей способностью утверждать, что система будет делать). Это не значит, что такого расхождения не существовало в ньютоновской физике — мы видели, что оно есть. Это значит только, что до недавнего времени люди
не уделяли ему должного внимания: вероятно, они понимали, что решение проблемы предсказания — это вопрос времени. Теория хаоса научила нас, что расхождение не только реально — оно существует постоянно. Теперь мы понимаем, что система может быть детерминистической и предсказуемой теоретически, в то же время оставаясь непредсказуемой на практике.
Не так давно некоторые ученые попытались применить теорию хаоса в других областях, включая такие, как расчеты орбит планет Солнечной системы на очень долгие промежутки времени и фондовая биржа. Некоторое время назад группа физиков покинула свои лаборатории, чтобы воспользоваться теорией хаоса для продажи советов относительно ценных бумаг, однако я еще не видел ни одного из них на «Мерседесе». По всей видимости, много работы еще предстоит сделать, чтобы воплотить теорию в практику.