Краткие теоретические сведения. Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и
Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса:
, (1)
где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.
Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов Dt, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.
Гистограмму строят в следующих координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности".
При очень большом числе измерений ( 
) вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости
. (2)
Эту функцию называют плотностью вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины
. (3)
Параметр σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>:
. (4)
Из анализа формулы (1) следует, что плотность нормального распределения имеет максимум
, (5)
при значении t = <t> и симметрична относительно <t>. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).
Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6)
, (6)
в котором вероятность Р12 попадания результата измерения в интервал (t1, t2) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N12 , результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов:
t(<t>-s; <t>+s), Ps = 0,68;
t(<t>-2s; <t>+2s), P2s = 0,95;
t(<t>-3s; <t>+3s), P3s = 0,997.