Контрольная работа № 3

Студент-заочник должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки (см. табл. 3)

Таблица 3

Номер варианта	Номер задачи

301. Два одинаковых шарика подвешены в воздухе на тонких невесомых нитях длиной 10 см в одной точке и соприкасаются друг с другом. При сообщении шарикам заряда по 12 нКл они расходятся и нити образуют угол 16°. Найти массу шарика. Размерами шарика пренебречь.

302. Три одинаковых заряда величиной 17 нКл каждый помещены в вершинах равностороннего треугольника. Сила, действующая на каждый заряд, равна 36 мН. Определить длину стороны треугольника.

303. Четыре одинаковых точечных заряда одного знака величиной 26 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной 26 см. Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.

304. В плоский конденсатор в середину между пластинами, разность потенциалов между которыми 224 В, влетает параллельно пластинам электрон со скоростью 16000 км/с. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора, если расстояние между пластинами два сантиметра, а их длина 17 мм?

305. Два заряда взаимодействуют в вакууме. Во сколько раз изменится сила взаимодействия, если заряды поместить в среду с диэлектрической проницаемостью, равной 18, а расстояние между ними уменьшить на 61 %?

306. Между двумя горизонтальными пластинами находится пылинка массой 61 нг. Нижняя пластина заряжена до потенциала 741 В, а верхняя – до 356 В. Расстояние между пластинами 6 см. Каким зарядом обладает пылинка, если она находится в равновесии? Поле считать однородным. Ответ дать в пикокулонах.

307. С какой силой на единицу длины взаимодействуют две одноименно заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 464 нКл/м, находящиеся в вакууме на расстоянии 32 мм друг от друга?

308. Одинаковые по величине, но разные по знаку заряды 36 нКл расположены в двух вершинах равностороннего треугольника, сторона которого равна 34 см. Определить напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника.

309. Электрон движется по направлению силовых линий однородного электрического поля, напряженность которого 836 В/м. Какое расстояние пролетит электрон до полной его остановки, если его начальная скорость 727 км/с?

310. Маленький шарик, несущий заряд 317 нКл, находится на расстоянии 2 см от плоской металлической стенки, соединенной с Землей. С какой силой они взаимодействуют?

311. В плоском горизонтально расположенном воздушном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при напряженности электрического поля 897 кВ/м. Заряд капли 756 пКл. Найти массу капли.

312. Диагонали ромба имеют размеры 85 и 28 см. На концах первой диагонали расположены заряды 30 и 16 нКл, а на концах второй диагонали – заряды 8 и 81 нКл. Определить величину напряженности электрического поля в центре ромба.

313. Две одноименно заряженные бесконечно длинные параллельные нити с одинаковой линейной плотностью заряда 18 мкКл/м находятся в вакууме на расстоянии 83 мм друг от друга. Какую работу на единицу длины нужно совершить, чтобы сблизить эти нити до расстояния 17 мм?

314. В вершинах квадрата расположены точечные заряды плюс 12 мкКл, минус 10 мкКл, плюс 71 мкКл и минус 59 мкКл. Диагональ квадрата 71 см. Определить потенциал в центре квадрата.

315. До одного и того же потенциала 36 В заряжены 282 одинаковые шарообразные капельки ртути. Каков будет потенциал большой капли, получившейся в результате слияния этих капелек?

316. Определить, до какого потенциала заряжен проводящий уединенный шар, если в точках, удаленных от его поверхности в вакууме на расстоянии 31 и 71 см, потенциалы соответственно равны 621 и 272 В.

317. Проводящая сфера радиусом 11 см несет заряд 52 нКл. Определить потенциал электрического поля на расстоянии 44 см от центра сферы.

318. Сплошной шар радиусом 18 см изготовлен из материала с диэлектрической проницаемостью 44 и заряжен с объемной плотностью заряда 981 нКл/м³. Определить потенциал электрического поля на расстоянии 89 см от центра шара.

319. С какой силой на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные бесконечные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда 7 нКл/см²?

320. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными равномерно заряженными пластинами с поверхностными плотностями заряда плюс 41 нКл/м² и минус 84 нКл/м². Определить напряженность поля между пластинами.

321. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределён заряд с линейной плотностью l = 10 нКл/м. Определить потенциал j, создаваемый этим зарядом в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии h = 5 см от центра.

322. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 523 мм², заполнен диэлектриком с проницаемостью 5, а заряд на каждой пластине равен 17 нКл. Определить силу взаимного притяжения пластин.

323. Определить электроемкость плоского конденсатора, для изготовления которого использовали две ленты из алюминиевой фольги длиной 162 см и шириной 68 мм. Толщина диэлектрической ленты 272 мкм, а ее диэлектрическая проницаемость 50.

324. Плоский воздушный конденсатор с расстоянием между пластинами 0.47 мм заряжен до разности потенциалов 49 В и отключен от источника. Какова будет разность потенциалов, если пластины раздвинуть до расстояния 7 мм?

325. Воздушный конденсатор емкостью 3496 пФ заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 6. Какой емкости конденсатор надо включить последовательно с данным, чтобы такая батарея вновь имела емкость воздушного конденсатора?

326. Определить величину заряда, который нужно сообщить двум параллельно соединенным конденсаторам, чтобы зарядить их до разности потенциалов 428 В, если их емкости 6264 и 7428 пФ.

327. Металлический шар радиусом 639 см заряжен до потенциала 75 кВ. Найти энергию заряженного шара.

328. Пластины изолированного плоского конденсатора раздвигают так, что его емкость уменьшается от 7987 до 1857 пФ. Какую энергию на это затратили, если заряд конденсатора 391 мкКл? Поле между пластинами все время остается однородным.

329. Вычислить энергию кулоновского взаимодействия двух зарядов 34 и 22 нКл, находящихся друг от друга на расстоянии 24 мм.

330. Какой энергией обладает заряженный до разности потенциалов 861 В конденсатор с площадью пластин 6193 см², если расстояние между пластинами конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 40, равно 737 мкм.

331. Металлический шар радиуса 10 мм, имеющий потенциал 13 В, окружают сферической проводящей оболочкой радиуса 30 мм. Чему равен потенциал шара, если заземлить оболочку?

332. В вершинах при основании прямоугольного равнобедренного треугольника в вакууме расположены точечные заряды одинаковой величины по 19 нКл. Расстояние между зарядами 38 см. Определить потенциал в вершине прямого угла.

333. В вершинах при основании прямоугольного равнобедренного треугольника расположены в вакууме одноименные точечные заряды равной величины 61 нКл. Расстояние между зарядами 54 см. Определить потенциал в точке пересечения высоты с основанием треугольника.

334. Электрическое поле образовано точечным зарядом 172 нКл, находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью 56. Определить разность потенциалов между точками, находящимися на расстоянии 10 и 38 см от заряда.

335. Какую работу надо совершить, чтобы перенести в воздухе точечный заряд 80 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 54 см от поверхности металлического шара, потенциал которого 568 В, а радиус 3 см?

336. Шарик массой 1 г и зарядом 2·10^-8 Кл перемещается в электрическом поле из точки А в точку В. Потенциал в точке В равен нулю. Чему равен потенциал поля в точке А , если шарик, находясь в точке А в состояния покоя, приобрёл скорость в точке В 20 см/с?

337. Определить в вакууме потенциал уединенного проводящего шара диаметром 8 см после сообщения ему заряда 81 нКл.

338. Уединенному проводящему шару диаметром 37 см, находящемуся в вакууме, сообщили заряд 20 нКл. Определить потенциал на расстоянии 439 см от центра шара.

339. Определить заряд на находящемся в вакууме проводящем шаре, радиус которого 1 см, если разность потенциалов двух точек, удаленных от его поверхности на расстояние 15 и 31 см, равна 565 В. Ответ дать в нанокулонах.

340. Электрическое поле в непроводящей жидкости с относительной диэлектрической проницаемостью 45 образовано неподвижным точечным зарядом 664 нКл. Какую работу совершит поле перемещая одноименный заряд 30 нКл между точками, удаленными от первого заряда на расстояние 7 и 45 см?

341. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть диполь с моментом 388 нКл × м из положения по направлению поля в положение против поля? Напряженность поля равна 158 В/м. Ответ дать в микроджоулях.

342. Две одинаковые металлические пластины площадью 594 см² находятся в вакууме на расстоянии 2 мм друг от друга. На одной пластине находится положительный заряд 191 нКл, а на другой – положительный заряд 706 нКл. Какова разность потенциалов между пластинами?

343. Две проводящие концентрические сферы имеют радиусы 39 и 521 см. На каждой сфере равномерно распределен положительный заряд 810 нКл. Чему равна разность потенциалов между сферами?

344. До одного и того же потенциала 54 В заряжены 5313 одинаковых шарообразных капелек ртути. Каков будет потенциал большой капли, получившейся в результате слияния этих капелек?

345. Два точечных электрических заряда положительный 48 нКл и отрицательный 56 нКл находятся в воздухе на расстоянии 46 см друг от друга. Определить потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке, находящейся на расстоянии 81 см от первого заряда и 80 см от второго.

346. Плоский воздушный конденсатор с площадью каждой пластины 10 см² и расстоянием между ними 103 мкм заряжают до разности потенциалов 14 В и отключают от источника питания. Какова будет разность потенциалов на пластинах конденсатора, если их раздвинуть до расстояния 2 мм?

347. В пространство между обкладками незаряженного плоского воздушного конденсатора вводят металлическую пластину, имеющую заряд 307 нКл, так, что между пластиной и обкладками остаются зазоры 482 и 489 мкм. Площади пластины и обкладок одинаковы и равны 214 см². Найти разность потенциалов между обкладками конденсатора.

348. Две металлические пластинки площадью 1932 см² находятся в диэлектрической жидкости с относительной диэлектрической проницаемостью 47. Расстояние между пластинами равно 58 мм. С какой силой они взаимодействуют, если разность потенциалов между ними равна 582 В?

349. Конденсатор емкостью 88 мкФ, заряженный до разности потенциалов 781 В, соединили параллельно с заряженным до 185 В конденсатором неизвестной емкости. В результате соединения разность потенциалов на батарее конденсаторов стала равной 394 В. Определить емкость второго конденсатора в микрофарадах.

350. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого расположены горизонтально, наполовину залит диэлектрической жидкостью с относительной диэлектрической проницаемостью 26. Какую часть конденсатора надо залить этой же жидкостью при вертикальном расположении пластин, чтобы емкости в обоих случаях были одинаковы?

351. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 89 см², заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью 41. Определить напряженность поля в конденсаторе, если заряд на каждой пластине равен 85 нКл.

352. Уединенный шар радиусом 287 мм имеет заряд 304 нКл. Какой энергией обладает шар? Ответ дать в микроджоулях.

353. Определить объемную плотность энергии электрического поля внутри плоского конденсатора, пространство между пластинами которого заполнено диэлектрической жидкостью с относительной диэлектрической проницаемостью 70, если напряженность поля между пластинами равна 7 кВ/см.

354. В некоторой точке изотропного диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью 43 электрическое смещение имеет значение 523 нКл/м². Чему равна поляризованность в этой точке диэлектрика в нанокулонах на метр квадратный?

355. Расстояние между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков. Толщины слоев соответственно равны 158 и 494 мкм, а относительные диэлектрические проницаемости – 16 и 21. Площадь каждой обкладки 594 см². Найти емкость конденсатора в нанофарадах.

356. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: слюды толщиной d₁ = 0.7 мм и эбонита толщиной d₂ = 0.3 мм. Площадь S пластин равна 20 см². Диэлектрические проницаемости слюды и эбонита соответственно равны 7 и 3. Найти ёмкость конденсатора.

357. Между обкладками плоского конденсатора находится изолирующая пластина толщиной 306 мкм с относительной диэлектрической проницаемостью 47. Площадь каждой обкладки 528 см². Конденсатор заряжен до напряжения 596 В и отключен от источника. Какую механическую работу надо совершить, чтобы вынуть пластину из конденсатора? Трением пренебречь.

358. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить на 225 мкм расстояние между пластинами плоского конденсатора, заряженными разноименными зарядами 291 нКл. Площадь каждой пластины 147 см². В зазоре между пластинами находится воздух.

359. К батарее с ЭДС 665 В подключены два конденсатора емкостью 75 и 57 пФ. Определить заряд на обкладках конденсаторов при их последовательном соединении. Ответ дать в нанокулонах.

360. Разность потенциалов между пластинами плоского воздушного конденсатора 28 В. Площадь каждой пластины 86 см², а заряд на ней 747 пКл. На каком расстоянии друг от друга расположены пластины? Ответ дать в миллиметрах.

361. Определить плотность тока j в железном проводнике длиной 100 м, если провод находится под напряжением 10 В. Ответ дать в А/мм².

362. Количество тепла, выделяющегося ежесекундно в 1 м³ проводника, изготовленного из материала с удельным сопротивлением 1,1 мкОм ·м, равно 22 кДж. Определить плотность тока, протекающего по проводнику.

363. По медному проводнику сечением 1 мм² течет ток силой 60 А. Определить среднюю скорость направленного движения электронов в проводнике. Считать число свободных электронов равным числу атомов меди.

364. За одну секунду в каждом кубическом метре проводника выделяется 10 кДж тепла. Определить плотность тока в проводнике, если в нем создано электрическое поле напряженностью 0.05 В/м.

365. В металлическом проводнике создано электрическое поле напряженностью 0.01 В/м, при этом за счет протекания тока в проводнике за одну секунду в каждом кубическом метре выделяется 20 кДж тепла. Определить удельное сопротивление проводника.

366. Концентрация электронов проводимости в меди равна 8.5 × 10²² см^–3. Определить скорость направленного движения электронов при плотности тока, равной 10 А/мм².

367. Через проводник сечением 0.5 мм² ежесекундно проходит
9.9 × 10⁸ электронов. Определить плотность тока в проводнике.

368. Плотность тока в проводнике длиной 0.5 м и площадью поперечного сечения 1 мм² равна 3 А/мм². Сопротивление проводника равно 10 Ом. Определить напряженность электрического поля в проводнике.

369. К источнику питания последовательно подключены медная (ρ = 1.72 · 10^-8 Ом · м) и железная (ρ = 1· 10^-7 Ом · м) спирали, изготовленные из проволоки одинаковой длины и сечения. Определить, во сколько раз больше тепла выделяется ежесекундно в железной спирали?

370. По проводнику длиной 2.4 м и площадью поперечного сечения 0.001 м² протекает ток силой 0.05 А. Определите удельную электропроводность материала проводника, если к его концам приложена разность потенциалов 20 В.

371. Вольтметр, включенный в сеть последовательно с сопротивлением R₁ показал напряжение 198 В, а при включении последовательно с сопротивлением R₂=2R₁ показал напряжение 180 В. Определите сопротивление R₁ и напряжение в сети, если сопротивление вольтметра равно 900 Ом.

372. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока, если во внешней цепи при силе тока 4 А развивается мощность 10 Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт.

373. Определите ток короткого замыкания источника ЭДС, если при внешнем сопротивлении 50 Ом ток в цепи равен 0.2 А, а при сопротивлении 110 Ом , ток равен 0.1 А.

374. Даны четыре элемента с ЭДС 1.5 В и внутренним сопротивлением 0.2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление 0.2 Ом? Определите максимальную силу тока.

375. В цепи, состоящей из источника ЭДС, амперметра и сопротивления R, изготовленного из нихромовой проволоки (ρ = 110 · 10^-8 Ом · м), амперметр показывает 1.5 А. Определить плотность тока, если длина проволоки равна 5 см, а сопротивление R = 1.75 Ом.

376. В медном проводнике длиной 1 м и площадью поперечного сечения 0.5 мм² мощность, потребляемая проводником, равна 0.7 Вт. Определите напряженность электрического поля внутри проводника. Удельное сопротивление меди равно 17 нОм × м.

377. К батарее, ЭДС которой 2 В, внутреннее сопротивление 0.5 Ом, присоединен проводник. При каком сопротивлении проводника мощность, выделяемая в нем, максимальна? Как велика при этом мощность, выделяемая в проводнике?

378. ЭДС батареи 20 В. Сопротивление внешней цепи 2 Ом, сила тока 4 А. С каким КПД работает батарея? При каком значении внешнего сопротивления КПД будет равен 99 %?

379. Два источника тока с ЭДС 2 В и 1.5 В и внутренними сопротивлениями 0.5 Ом и 0.4 Ом соответственно включены параллельно сопротивлению 2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.

380. ЭДС батареи равна 12 В, сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую мощность может дать батарея во внешней цепи?

РАЗДЕЛ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Основные формулы

1. Закон Био – Савара – Лапласа (в вакууме)

dH = (I sin α dl)/(4πr² ),

где dH – напряженность магнитного поля, созданного элементом контура dl, по которому течет ток I, в некоторой точке А; α – угол между радиусом-вектором и элементом тока dl; r – расстояние от элемента контура тока Idl до точки А.

2. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока (в вакууме)

H = I/(2R),

где R – радиус кругового контура с током.

3. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным проводником (в вакууме)

H = I/(2πa),

где а – расстояние от точки, где определяется напряженность, до проводника с током.

4. Напряженность магнитного поля на оси кругового тока (в вакууме)

H = (R²I)/2(R²+a²)^3/2,

где R – радиус кругового витка с током; а – расстояние от точки, в которой определяется напряженность магнитного поля, до центра кругового тока.

5. Напряженность магнитного поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида

H = I n,

где n – число витков на единицу длины соленоида (тороида).

6. Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины

H = I n (cos α₁ – cos α₂) /2,

где α₁ и α₂ – углы между осью соленоида и радиусом-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.

7. Связь магнитной индукции с напряженностью магнитного поля

= μ₀ μ ,

где μ – магнитная проницаемость среды; μ₀ = 4π × 10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.

8. Сила Ампера

F_А = I В l sin a ,

где F_А – сила, действующая на проводник с током в магнитном поле; I – сила тока в проводнике; B – индукция магнитного поля; l – длина проводника; a – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

9. Сила взаимодействия двух параллельных проводников с током
некоторой длины L

F = (μ₀ μ I₁ I₂ L)/(2π d),

где L – длина проводников; d – расстояние между ними.

10. Сила Лоренца

F_л = q B V sin a,

где F_л – сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле со скоростью V; q – модуль электрического заряда; В – индукция магнитного поля; a – угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

11. Поток магнитной индукции (магнитный поток) сквозь плоский контур при В= const

Ф = B S cos a,

где В – индукция магнитного поля; S – площадь контура, пересекаемого линиями магнитного поля; a – угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура.

12. Работа перемещения проводника с током в магнитном поле

dA = I dФ,

где dФ – поток магнитной индукции, пересеченный проводником при его движении.

13. Закон электромагнитной индукции Фарадея

<ε> = -DФ/Dt,

где ε – электродвижущая сила, возникающая в контуре при изменении потока магнитной индукции; DФ – величина изменения магнитного потока; Dt – время, в течение которого произошло это изменение.

14. ЭДС самоиндукции

<ε> = -L (DI/Dt),

где L – индуктивность (коэффициент самоиндукции); DI – изменение силы тока в контуре, происшедшее за время Dt.

15. Индуктивность соленоида

L = μ₀ μ n² l S,

где n – число витков на единицу длины соленоида l; S – площадь его поперечного сечения.

16. Энергия магнитного поля контура с током

W = L I²/2,

где L – индуктивность контура; I – сила тока в контуре.

Плотность энергии магнитного поля

w= B²/2µµ₀ =BH/2,

где B – величина индукции магнитного поля; Н– величина напряженности магнитного поля.

17. Период электромагнитных колебаний в контуре

,

где L – индуктивность контура; C – емкость; R – сопротивление.

При малом сопротивлении контура (формула Томсона)

18. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в контуре при R ≠ 0

где (δ = R/2L) – коэффициент затухания.

Если δ = 0, то колебания разности потенциалов будут незатухающими:

U = U₀ cos ωt.

19. Закон Ома для переменного тока

I_эф = U_эф/Z,

где I_эф и U_эф – эффективные значения силы тока и напряжения, связанные с их амплитудными значениями I₀ и U₀ следующими соотношениями:

Z – полное сопротивление цепи.

Если цепь содержит активное сопротивление R, емкость С и индуктивность L, соединенные последовательно, то

При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется формулой

20. Мощность переменного тока

P = I_эф U_эф cos φ,

где j – сдвиг фаз.

Примеры решения задач

Пример 1. По контуру, изображенному на схеме, идет ток силой 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги R = 10 см, α = 60^○.

Решение.В силу принципа суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке О равна векторной сумме магнитных индукций, созданных всеми элементами контура с током. Разобьем весь контур на три участка – дугу АВ и прямоугольные отрезки ВС, СА, чтобы для вычисления их магнитных полей можно было воспользоваться формулами для определения магнитной индукции в произвольной точке А поля, созданного прямолинейным проводником с током I (формула (1)), и для определения магнитной индукции в центре дуги окружности длиной L и радиусом R, обтекаемой током I (формула (2)).

(1)

(2)

Здесь а – расстояние от точки А до проводника; φ₁ и φ₂ – углы, образованные радиусом-вектором, проведенным в точку А соответственно из начала и конца проводника.

Тогда получим

(3)

Сначала вычислим модули всех трех слагаемых. Поскольку угол α = 60^○, дуга АВ составляет 1/6 часть окружности, т. е. L = 2πR/6=πR/3. Подставив это значение в формулу (2), найдем

(4)

Далее по формуле (1) определим величину В_ВС. На схеме видно, что углы, входящие в эту формулу, φ₁= 30^○, φ₂= 90^○. Расстояние от точки О до провода ВС есть а = ОС = R sin φ = R/2. Подставив значения а, φ₁, φ₂ в формулу (1), имеем

(5)

Обратимся к уравнению, выражающему в скалярной форме закон Био –Савара – Лапласа, с помощью которого выведена формула (1).

(6)

Для любого элемента dl проводника СА угол, образованный этим элементом (взятый по направлению тока) и радиусом-вектором , проведенным от элемента в точку О, равен π. Следовательно, sin(dl,r) = 0. Однако при этом знаменатель формулы (6) отличен от нуля. Таким образом, dB = 0 для любого элемента проводника СА. Отсюда ясно, что и весь проводник СА не создает в точке О магнитного поля. Тогда соотношение (3) упростится:

(7)

Поскольку точка О и контур АВС лежат в одной плоскости, оба вектора _АВ, _ВС, будучи перпендикулярными этой плоскости, оказываются расположенными вдоль одной прямой – нормали к плоскости чертежа, проходящей через точку О. При этом, согласно правилу правого винта, вектор _АВ направлен от наблюдателя, вектор _ВС – к наблюдателю. Приняв одно из этих направлений (например второе) за положительное, можно вместо (7) написать скалярное равенство

В = В_ВС – В_АВ

или, с учетом (4) и (5),

Подставив в эту формулу величины, выраженные в единицах СИ: I = 10 A, R = 0.1 Ом, μ₀ = 4π × 10^–7 Гн/м, и произведя вычисления, получим В = 6,9 мкТ.

Пример 2. По двум длинным параллельным проводам текут в противоположных направлениях токи силой I₁ = I₂ = I =10 А. Расстояние между проводами а = 0.3 м. Определить магнитную индукцию в точке А, удаленной от первого и второго проводов соответственно на расстояния а₁=0.15 м, а₂ = 0.2 м.

Решение. Согласно принципу суперпозиции полей магнитная индукция в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым током в отдельности:

Однако здесь, в отличие от предыдущей задачи, точка А, в которой надо определить поле, и оба параллельных провода не лежат в одной плоскости. Поэтому векторы , не коллинеарны. Пусть они образуют угол α. Тогда модуль вектора В на основании теоремы косинусов

(1)

Величины В₁ и В₂ можно найти по формуле для определения магнитной индукции в произвольной точке А поля, созданного прямолинейным проводником с током I:

, (2)

где φ₁, φ₂ – углы, образованные радиусом-вектором, проведенным в точку А соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.

Так как в условии задачи речь идет о длинных проводниках, то ясно, что точка А удалена от концов каждого провода на значительно большее расстояние, чем от самого провода. При этом φ₁= 0, а φ₂ = π. Тогда получим

(3)

Чтобы определить cos α, входящий в формулу (1), учтем, что каждый из векторов , лежит в плоскости, перпендикулярной соответствующему проводнику с током. Поэтому на схеме, выполненной в плоскости, содержащей векторы , , оба проводника проектируются в точки. В соответствии с принятым обозначением ток I₁ показан направленным от наблюдателя, ток I₂ – к наблюдателю. Векторы , изображены на схеме так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта.

Пусть угол между отрезками а₁, а₂ равен β. Поскольку каждый из векторов , перпендикулярен соответствующему отрезку, должно выполняться равенство

α + β = π (4)

По теореме косинусов имеем

(5)

Из соотношений (4) и (5) следует

(6)

Подставив в (1) значения В₁, В₂, oпределяемые по формуле (3), а также cos α из (6), найдем

Подставив числовые значения величин (все они даны в СИ) и произведя вычисление, получим ответ:

мкТл.

Пример 3. В однородном магнитном поле с индукцией 10 × 10^–2 Тл расположена прямоугольная рамка аbc, подвижная сторона которой ad длиной 0,1 м перемещается со скоростью 25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля. Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре аbcd.

Решение.Задачу можно решить двумя способами, применяя закон Фарадея для электромагнитной индукции или рассматривая силы, действующие на свободные электроны в движущейся проволоке (силы Лоренца).

1. При движении проводника аd площадь рамки увеличивается, магнитный поток Ф сквозь рамку возрастает, а значит, согласно закону Фарадея

(1)

в рамке должна при этом действовать ЭДС индукции. Чтобы ее найти, сначала выразим магнитный поток Ф через индукцию поля В и стороны рамки L, x.

Согласно формуле для определения потока вектора магнитной индукции сквозь поверхность S имеем

Ф = ВS = BLx.

Подставив это значение Ф в (1) и учитывая, что В, L – величины постоянные, запишем

где dx/dt = V – cкорость перемещения проводника ad. Поэтому

(2)

Сделав подстановку числовых значений величин B, L, V, получим ответ:

ε = –25 мВ.

Знак «минус» в формуле (2) показывает, что ЭДС индукции действует в контуре в таком направлении, при котором связанная с ним правилом правого винта нормаль к контуру противоположна вектору (т. е. направлена к наблюдателю на схеме). Значит, индукционный ток направлен в контуре против часовой стрелки.

2. Согласно определению,

, (3)

где q – величина заряда.

При движении в магнитном поле проводника ad вместе с ним движутся со скоростью V его свободные заряды (электроны). Поэтому на каждый из них действует сила Лоренца, выполняющая роль сторонней силы . Поскольку перпендикулярна , то сила Лоренца

F = qVB.

Так как она действует только вдоль участка ad длиной L, интеграл, стоящий в (3),

Подставив это значение интеграла в формулу (3), получим

(4)

что совпадает (по абсолютному значению) с формулой (2).

Пример 4. На проволочный виток радиусом 0.1 м, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент
0.65 × 10^–5 Н × м. Сила тока в витке 2 А. Определить напряженность поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение.Напряженность Н магнитного поля можно определить из выражения механического момента М, действующего на виток с током в магнитном поле

(1)

где p_m – магнитный момент витка с током; B – индукция магнитного поля;
α – угол между направлением напряженности магнитного поля и нормали к плоскости витка.

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при sin α = 1 и магнитный момент витка с током имеет выражение

p_m = I × S,

где S = π·R² – площадь, то формула (1) примет вид

M = μ·μ₀·ISH. (2)

Отсюда

(3)

Подставив в (3) числовые значения, получим

А/м.

Пример 5. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 А в секунду, то на концах соленоида возникает ЭДС самоиндукции, равная 0.08 В. Определить по этим данным индуктивность соленоида.

Решение. Индуктивность имеет следующий физический смысл: она численно равна ЭДС самоиндукции, возникающей на концах соленоида в момент, когда ток, проходящий через соленоид, меняется на единицу силы тока в единицу времени. Математически это выражается известным законом Фарадея – Максвелла, примененным к ЭДС самоиндукции,

Вынося постоянную величину L за знак дифференциала, получим

Отсюда, опуская знак «минус», найдем

.

Подставив числовые значения, получим