Контрольная работа № 4

Студент-заочник должен решить восемь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой шифра его зачетной книжки (см. табл. 4).

Таблица 4

Номер варианта	Номер задачи

401. Проводник с током 1 А имеет форму полуокружности, замкнутой прямолинейным проводом длиной 10 см. Определить напряженность магнитного поля в центре полуокружности.

402. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, пересекающимся под прямым углом и расположенным в одной плоскости, текут токи 11 и 29 А. Определить максимальное значение магнитной индукции в точке, расположенной на пересечении перпендикуляров к проводникам. Расстояние от точки до каждого проводника одинаково и равно 32 см.

403. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, пересекающимся под прямым углом и лежащим в одной плоскости, текут токи 30 и 60 А. Определить минимальное значение магнитной индукции в точке, расположенной на пересечении перпендикуляров к проводникам. Расстояние от точки до каждого проводника одинаково и равно 42 см.

404. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам, лежащим в одной плоскости, текут противоположно направленные токи 35 и 26 А. Найти напряженность магнитного поля посередине между проводниками, если расстояние между ними равно 37 см.

405. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток 88 А. Длины сторон прямоугольника равны 30 и 31 см. Определить напряженность магнитного поля в точке пересечения диагоналей.

406. Бесконечно длинный проводник с током 99 А изогнут под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля на биссектрисе прямого угла на расстоянии 83 см от вершины угла.

407. Бесконечно длинный проводник с током 94 А изогнут под прямым углом. Найти магнитную индукцию в точке, лежащей на одном из прямолинейных участков проводника на расстоянии 38 см от вершины угла.

408. Круговой виток радиусом 19 см с током 9 А расположен в плоскости, параллельной бесконечно длинному проводнику с током 5 А, расположенной от проводника на расстоянии 45 см. Найти напряженность магнитного поля в центре витка, если проводник и диаметр витка лежат в одной плоскости, перпендикулярной плоскости витка.

409. Два круговых витка радиусами 31 и 51 см с токами 93 и 4 А лежат в параллельных плоскостях на расстоянии 29 см. Найти напряженность магнитного поля в центре первого витка, если их центры лежат на одном перпендикуляре, а токи направлены в противоположные стороны.

410. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 61 см друг от друга, текут противоположно направленные одинаковые токи 62 А. Найти напряженность магнитного поля в точке, расположенной от каждого из проводников на таком же расстоянии, что и расстояние между проводниками.

411. Из медного провода длиной 84 см сделана квадратная рамка. Во сколько раз изменится напряженность магнитного поля в центре квадратной рамки, если длину проводника взять равной 31 см? Разность потенциалов на концах проводника постоянна.

412. Два круговых витка с одинаковыми токами 27 А, имеющие общий центр, расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти напряженность магнитного поля в центре витков, если радиусы их равны 41 и 26 см.

413. Проводник с током 30 А имеет форму квадрата со стороной 31 см. Найти напряженность магнитного поля в одной из его вершин.

414. Горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли равна 2 А/м. Какой ток надо пропустить по кольцу радиусом 1 см, чтобы на его оси на расстоянии от центра 40 см создалось такое же магнитное поле?

415. Проводник с током 62 А имеет форму равностороннего треугольника. Определить сторону треугольника, если напряженность магнитного поля в одной из его вершин равна 18 А/м.

416. На расстоянии 133 нм от траектории прямолинейно движущегося электрона максимальное значение магнитной индукции равно 594 нТл. Определить скорость электрона.

417. По кольцу радиусом 99 см течет ток 4 А. Плоскость кольца по диаметру изогнута под прямым углом. Определить величину магнитной индукции в центре кольца.

418. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам, лежащим в одной плоскости на расстоянии 1 см друг от друга, текут одинаково направленные токи 95 и 26 А. Найти величину магнитной индукции посередине между ними.

419. По двум окружностям одинакового радиуса, лежащим в перпендикулярных плоскостях и имеющим общий центр, текут одинаковые токи 14 А. Найти радиус окружностей, если напряженность магнитного поля в их центре равна 95 А/м.

420. По двум окружностям одинакового радиуса, лежащим в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и имеющим общий центр, текут токи 12 и 59 А. Найти угол между направлением результирующего вектора магнитной индукции в центре окружностей и плоскостью вертикального витка с током.

421. В однородное магнитное поле, индукция которого равна 100 мТл, помещена катушка из 51 витка. Ось катушки параллельна линиям индукции магнитного поля, а радиус ее поперечного сечения равен 1 см. Определить потокосцепление катушки.

422. Определить потокосцепление катушки с током 1 А, которая намотана с плотностью 23 витка/см. Диаметр поперечного сечения катушки 1 см, а длина 32 см.

423. Поток магнитной индукции сквозь один виток тонкого соленоида равен 71 мкВб. Длина соленоида 35 см. Найти магнитный момент соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу. Соленоид считать бесконечным.

424. Квадратный контур со стороной 7 см помещен в однородное магнитное поле так, что угол между его плоскостью и линиями индукции равен 60°. Найти поток, пронизывающий контур, если на него со стороны магнитного поля действует момент сил 81 Н × см. Сила тока в контуре равна 14 А.

425. Виток, по которому течет ток силой 47 А, свободно установился в однородном магнитном поле, индукция которого равна 394 мТл. Диаметр витка 20 см. Какую работу надо совершить, чтобы переместить виток в область пространства без магнитного поля?

426. В однородное магнитное поле, индукция которого равна 58 мТл, помещена квадратная рамка со стороной 8 см, состоящая из 42 витков. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол 30°. Какая будет совершена работа при повороте рамки в устойчивое равновесное положение, если по ней пропустить ток силой 19 А?

427. Рамка гальванометра, состоящая из 224 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити в однородном магнитном поле, индукция которого равна 232 мТл. Плоскость рамки параллельна направлению напряженности поля, а ее площадь равна 2 см². При пропускании через рамку тока 6 мкА она повернулась на 30°. Какая при этом была совершена работа?

428. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 457 мТл, проводник переместился перпендикулярно линиям магнитного поля на 37 см. При этом была совершена работа, равная 54 мДж. Чему равна сила тока в проводнике, если его длина равна 45 см?

429. Два длинных параллельных проводника с токами 34 и 32 А расположены на расстоянии 15 см друг от друга. Токи в проводниках текут в одном направлении. Какую по величине работу нужно совершить на каждый метр длины проводника, чтобы раздвинуть их до расстояния 31 см?

430. Плоский квадратный контур со стороной 10 см свободно установился в однородном магнитном поле, индукция которого равна 0.4 Тл. При повороте контура внешними силами вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон, на угол 60° была совершена работа 2 мДж. Определить силу тока, текущего в контуре. Ток при повороте не изменяется.

431. В одной плоскости расположены длинный прямой проводник с током 11 А и квадратная рамка со стороной 8 см и током 5 А. Ось, проходящая через середины противоположных сторон, параллельна проводнику и удалена от него на 24 см. Определить максимальную по величине работу по перемещению рамки в аналогичное положение с другой стороны проводника.

432. В однородное магнитное поле, индукция которого равна 50 мТл, помещен длинный прямой проводник с током так, что на каждый метр его длины действует максимальная сила 7 Н/м. Найти силу тока в проводнике.

433. В однородное магнитное поле, индукция которого равна 59 мТл, помещен прямой проводник с током 7 А так, что угол между направлением тока и вектором магнитной индукции составляет 30°. Определить длину проводника (подводящие ток провода находятся вне поля). На проводник со стороны магнитного поля действует сила 15 мН.

434. Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 2 см, содержащая 109 витков тонкой проволоки, находится в однородном магнитном поле, индукция которого равна 575 мТл. Плоскость рамки параллельна направлению магнитного поля. Найти момент сил, действующий на рамку со стороны магнитного поля, когда по ней пропускают ток силой 8 мА.

435. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле. В поле помещен проводник с током так, что на него действует максимальная сила. На какой угол (в радианах) надо повернуть проводник, не меняя ток, чтобы уменьшить силу в 12 раз?

436. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые по величине токи 89 А каждый. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии, равном периметру рамки.

437. На проволочный виток радиусом 13 см, помещенный в однородное магнитное поле, действует максимальный момент сил 497 мкН × м. Сила тока в витке равна 9 А. Определить магнитную индукцию поля. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

438. По двум параллельным прямым проводникам одинаковой длины по 9 м, находящимся на расстоянии 15 см друг от друга, текут одинаковые по величине токи – 1113 А каждый. Вычислить максимальную силу взаимодействия этих токов.

439. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 0.1Тл по окружности. Определить угловую скорость вращения электрона.

440. Протон, прошедший разность потенциалов 1731 В, влетел в однородное магнитное поле с напряженностью 423 кА/м и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус.

441. Контур в виде полуокружности радиусом 4 см, являющийся частью замкнутой цепи с сопротивлением 36 Ом, вращают вокруг его диаметра с угловой скоростью 17 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией 2646 мкТл. Найти максимальную мощность, выделяющуюся в цепи. Линии поля перпендикулярны оси вращения. Полем тока индукции пренебречь.

442. В однородное магнитное поле помещена катушка, имеющая 65 витков, площадь сечения 6 мм², а ее ось параллельна линиям поля. При повороте катушки на 180° вокруг диаметра по ее обмотке протекает заряд 6 мкКл (сопротивление цепи 78 Ом). Определить индукцию магнитного поля.

443. Электрон в бетатроне движется по орбите радиусом 41 см и приобретает за один оборот кинетическую энергию 15 эВ. Вычислить скорость изменения магнитной индукции <В>, считая ее постоянной в течение периода. <В> – среднее значение магнитной индукции в пределах круга, очерченного орбитой электрона.

444. Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длиной 79 см с индуктивностью 8108 мкГн, если диаметр сечения соленоида много меньше его длины?

445. Найти индуктивность соленоида длиной 67 см, обмоткой которого является медная проволока массы 6 кг. Сопротивление обмотки 23 Ом. Диаметр сечения соленоида много меньше его длины. Для меди удельное сопротивление равно 0.016 мкОм × м, плотность 8900 кг/м ³.

446. Магнитный поток 84 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС. индукции, возникающей в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за время 7 мс.

447. Прямой провод длиной 23 см движется в однородном магнитном поле с постоянной скоростью 1 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов между концами провода равна 8 мВ. Найти индукцию магнитного поля.

448. Рамка площадью 232 см² равномерно вращается с частотой 12 Гц относительно оси, которая лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям однородного магнитного поля с индукцией 1654 мкТл. Найти среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения.

449. В однородном магнитном поле с индукцией 8240 мкТл равномерно с частотой 377 мин^–1 вращается рамка, которая содержит 108 витков и имеет площадь 80 см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям поля. Найти максимальную величину ЭДС индукции, возникающей в рамке.

450. Короткая катушка, имеющая 321 виток, вращается с угловой скоростью 6 рад/с в однородном магнитном поле (В = 3065 мкТл) вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной линиям поля. Найти значение ЭДС индукции для момента времени, когда плоскость поперечного сечения (s = 79 см²) катушки составляет угол 60° с линиями поля.

451. Катушка из 417 витков, площадью 80 см² каждый, присоединена к прибору для измерения заряда. Катушка помещена в однородное магнитное поле с индукцией 2163 мкТл так, что линии индукции магнитного поля перпендикулярны площади витков. Определить величину заряда, протекающего через прибор при перемещении катушки в пространство без поля. Сопротивление цепи 22 Ом.

452. Магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и его индукция с течением времени изменяется по закону косинуса с частотой 30 Гц. Радиус соленоида 3 см, число витков 521. Определить максимальное значение индукции магнитного поля, если максимальное напряжение, возникающее на обмотке соленоида, равно 89 В.

453. В однородное магнитное поле помещена катушка, обмотка которой имеет сопротивление 126 Ом, число витков 263 и площадь сечения 7 см². Ось катушки параллельна линиям поля. В течение некоторого времени индукция магнитного поля уменьшилась от 680 до 102 мТл. Найти заряд, возникающий в катушке. Катушку считать короткой.

454. Катушка состоит из 330 витков и по ее обмотке течет ток силой 1 А. Возникающий при этом магнитный поток равен 17 мВб. Найти энергию магнитного поля внутри катушки.

455. В однородное магнитное поле с индукцией 5 Тл помещен плоский виток, имеющий сопротивление 6 Ом, площадь 9 см², а его плоскость перпендикулярна линиям поля. Сам виток замкнут на гальванометр. При повороте витка через прибор прошел заряд 90 мкКл. На какой угол повернули виток?

456. В одной плоскости лежат длинный прямой проводник с током и плоская прямоугольная рамка со сторонами 2 и 7 см, содержащая 746 витков Расстояние от прямого проводника до ближайшей к нему (большей) стороны рамки 4 см. Определить взаимную индуктивность проводника и рамки.

457. В однородном магнитном поле с индукцией 1229 мкТл вращается с постоянной угловой скоростью 54 рад/с квадратная рамка со стороной 2 см. Ось вращения перпендикулярна линиям индукции и совпадает с одной из сторон квадрата. Определить максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке.

458. На картонный каркас круглого сечения виток к витку намотан в один слой провод, толщина которого равна 765 мкм. Найти плотность энергии магнитного поля внутри катушки при силе тока в обмотке 602 мА. Поле внутри катушки считать однородным.

459. На деревянном цилиндре имеется обмотка из медной проволоки, масса которой 77 г. Расстояние между крайними витками много больше диаметра цилиндра и равно 79 см. Сопротивление обмотки 24 Ом. Найти энергию магнитного поля на оси цилиндра, если по обмотке течет ток 4 А. Удельное сопротивление меди равно 0.016 мкОм × м и плотность меди 8900 кг/м³.

460. Соленоид содержит 2468 витков, а сила тока в его обмотке равна 2 А. Найти энергию магнитного поля внутри соленоида, полагая его бесконечно длинным. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида равен 314 мкВб.

461. Контур состоит из катушки с индуктивностью 83.4 мкГн и сопротивлением 1 Ом и конденсатора емкостью 23.2 нФ. Какую мощность должен потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение на конденсаторе равно 0.981 В?

462. Контур с индуктивностью 33.4 мГн, сопротивлением 20.73 Ом и некоторой емкостью возбуждается короткими электрическими импульсами. С какой максимальной частотой их можно подавать, чтобы возникающие колебания не накладывались друг на друга? (Колебания не накладываются, если их амплитуда за период между импульсами уменьшается не менее чем в 10 раз.)

463. Контур состоит из катушки с индуктивностью 2.05 × 10^–2 Гн и сопротивлением 8 Ом и конденсатора емкостью 6.59 нФ. Найти логарифмический декремент затухания колебаний в контуре.

464. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за один период колебаний в контуре, если индуктивность контура 40 мкГн, емкость 180 пФ и сопротивление 60 Ом?

465. Какую мощность потребляет контур с активным сопротивлением 603 Ом при поддержании в нем незатухающих колебаний с амплитудой тока 854 мА?

466. Определите добротность Q колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L = 2мГн, конденсатора ёмкостью C = 0.2 мкФ и резистора сопротивлением R = 80 Ом.

467. Какая часть запасенной энергии сохранится в контуре через 0.560 мс, если контур настроен на частоту 77.3 кГц, а добротность контура равна 89.

468. Индуктивность, емкость и сопротивление колебательного контура равны соответственно 70 Гн, 26 мкФ, 17 Ом. При какой частоте внешней ЭДС амплитудное значение напряжения на конденсаторе максимально? Ответ дать в радианах в секунду.

469. На каком ближайшем расстоянии от источника колебаний с периодом 1 мс через время, равное половине периода после включения источника, смещение точки от положения равновесия по синусоидальному закону равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний равна 331 м/с. Считать, что в момент включения источника все точки находятся в положении равновесия.

470. Емкость и индуктивность колебательного контура равны
С = 61.9 мкФ и L = 0.145 Гн. Через сколько времени после начала зарядки конденсатора его энергия в 31 раз превысит энергию катушки индуктивности? Сопротивлением контура пренебречь.

471. Колебательный контур с емкостью 5.22 нФ настроен на частоту 369 кГц. При колебаниях максимальное напряжение на конденсаторе равно 116 В. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определите максимальный ток в контуре.

472. Колебательный контур состоит из конденсатора с емкостью 0.902 мкФ и катушки с индуктивностью 8.23 мГн. На какую длину волны настроен контур? Активным сопротивлением контура пренебречь.

473. Батарея, состоящая из двух последовательно соединенных конденсаторов с емкостью по 0.811 мкФ каждый, разряжается через катушку
(L = 462 мкГн, R = 54 Ом). Возникнут ли при этом колебания?

474. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0.9 предельного значения?

475. Колебательный контур состоит из параллельно соединенных конденсатора емкостью 1 мкФ и катушки с индуктивностью 1 мГн. Сопротивление контура очень мало. Определить частоту колебаний.

476. Катушка (без сердечника) длиной 50 см и сечением 3 см² имеет 1000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин площадью 75 см² каждая. Расстояние между пластинами 5 мм, диэлектрик – воздух. Определить период колебаний контура.

477. Колебательный контур имеет индуктивность 1.6 мГн, емкость 0.04 мкФ и максимальное напряжение на зажимах 200 В. Определить максимальную силу тока в контуре. Сопротивление контура очень мало.

478. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 2мГн, конденсатора ёмкостью C = 0.2 мкФ и резистора сопротивлением R = 80 Ом. Определите логарифмический декремент затухания колебаний.

479. Колебательный контур состоит из индуктивности 0.01 Гн, емкости 0.405 мкФ и сопротивления 2 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за время одного периода.

480. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротивлением контура пренебречь.

РАЗДЕЛ 5. ОПТИКА

Основные формулы

1. Абсолютный показатель преломления среды

n = c/V,

где с – скорость света в вакууме; V – скорость света в данной среде.

2. Относительный показатель преломления

n₂₁ = n₂/n₁ = V₁/V₂,

где n₂₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой; n₁ – абсолютный показатель преломления первой среды; n₂ – абсолютный показатель преломления второй среды; V₁, V₂ – скорости света в первой и во второй средах.

3. Закон преломления света

sin a / sin b = n₂₁,

где a – угол падения луча; b – угол преломления луча.

4. Условие полного отражения света на границе раздела двух сред (при движении луча из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду)

sin a₀ = n₂₁,

где a₀ – предельный угол полного внутреннего отражения; n₂₁ – относительный показатель преломления.

5. Оптическая длина пути луча

L = n l,

где n – показатель преломления среды; l – геометрическая длина пути луча.

6. Оптическая разность хода двух лучей

D = L₁ – L₂.

7. Оптическая разность фаз

Dφ = 2π (D/λ),

где λ – длина световой волны.

8. Условие максимума при интерференции света

D = kl , (k = 0, 1, 2,…),

где D – оптическая разность хода лучей; k – целое число; l – длина световой волны.

9. Условие минимума при интерференции света

D = (2k + 1) l/2 , (k = 0, 1, 2,…).

10. Оптическая разность хода лучей, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки:

или

,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; a – угол падения света; b – угол преломления света в пленке.

11. Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете

где k – номер кольца (k = 1, 2, 3,…); R – радиус кривизны линзы.

12. Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

13. Условие максимума для дифракции на одной щели

а sin j = (2k+1)l/2, (k = 1, 2, 3,…);

условие минимума для дифракции на одной щели

а sin j = kl, (k = 1, 2, 3,…),

где а – ширина щели; k – порядковый номер максимума или минимума.

14. Условие главного максимума для дифракционной решетки

d sin j = kl, (k = 0, 1, 2,…);

условие главного минимума для дифракционной решетки

a sin j = kl, (k = 1, 2, 3,…),

где j – угол дифракции; k – целое число (порядок спектра); l – длина волны; d – период решетки; d = a + b, где a – ширина прозрачных щелей решетки, b – ширина непрозрачных промежутков между щелями.

15. Условие добавочных минимумов для дифракционной решетки

d sin j = kl/N, (k = 1, 2,…,N-1,N+1,…),

где N– количество щелей.

16. Разрешающая способность дифракционной решетки

R = λ/Δλ = kN,

где Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ + Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N – полное число щелей решетки; k – порядок спектра.

17. Формула Вульфа – Брэгга

2d sin Θ = kλ, (k = 0, 1, 2,…),

где Θ – угол скольжения; d – расстояние между атомными плоскостями кристалла.

18. Формулы Френеля

,

где I_┴ – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света; I_|| – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения света; I₀ – интенсивность падающего естественного света; a – угол падения; b – угол преломления.

19. Закон Брюстера

tg a_Б = n₂₁,

где a_Б – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; n₂₁ – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

20. Закон Малюса

I = I₀ cos²α,

где I – интенсивность этого света после анализатора; I₀ – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; α – угол между направлением колебаний света, падающего на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.

21. Энергия фотона

Е = hn,

где h – постоянная Планка; n – частота излучения.

22. Импульс фотона

p = hn/c.

23. Масса фотона

m = hn/c².

24. Релятивистская масса

,

где m₀ – масса покоя частицы; V – ее скорость; с – скорость света в вакууме.

25. Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

где (E₀ = m₀c²) – энергия покоя частицы.

26. Полная энергия свободной частицы

Е = Е₀ + Т,

где Т – кинетическая энергия релятивистской частицы.

27. Кинетическая энергия релятивистской частицы

T = (m – m₀) c².

28. Импульс релятивистской частицы

.

29. Закон Стефана – Больцмана

R_э= σ T⁴, ,

где R_э – излучательность (энергетическая светимость) абсолютно черного тела; σ – постоянная Стефана – Больцмана; Т – термодинамическая температура.

30. Закон смещения Вина

λ_max= b/T,

где λ_max – длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела; b – первая константа Вина, b = 2,9 × 10^–3 м × К.

31. Второй закон Вина

(r_λ)_max = C T⁵,

где (r_λ)_max – максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела; С – вторая константа Вина,
С = 1,29 × 10^–5 Вт/(м³ × К⁵).

32. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

hn = A_вых + mV²_max/2,

где А_вых – работа выхода электрона из фотокатода; mV²_max/2 – кинетическая энергия фотоэлектрона.

33. Формула Комптона

Δλ = λ' – λ = h(1 – cos Θ)/(m₀c),

где λ – длина волны фотона, встретившегося со свободным электроном; λ' – длина волны фотона, рассеянного на угол Θ после столкновения с электроном; m – масса электрона.

34. Комптоновская длина волны

Λ = h/(m₀c) = 2,426 пм.

Примеры решения задач

Пример 1. Для измерения показателей преломления прозрачных веществ используют интерферометр (см. схему). Здесь S – узкая щель, освещаемая монохроматическим светом (λ₀ = 0.589 мкм); 1 и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых l = 10 см; Д – диафрагма с двумя щелями; Л – собирающая линза. Когда воздух в трубке 2 заменили аммиаком, то ранее наблюдавшаяся на экране Э интерференционная картина сместилась вверх на N = 17 полос. Определить показатель преломления ń аммиака, если для воздуха n = 1.00029.

Решение.Согласно принципу Гюйгенса, две щели в освещаемой диафрагме можно рассматривать как вторичные источники световых волн. Так как при этом на диафрагму падает свет от одного источника S, то обе щели являются когерентными источниками и на экране возникает интерференционная картина.

Результат интерференции света в какой-либо точке А экрана определяется из соотношения

, (1)

где Δ = L₂ – L₁ – оптическая разность хода лучей S1A, S2A; k – целое число; λ₀ – длина световой волны в вакууме.

Так, для светлых интерференционных полос имеем

(2)

где k – номер данной полосы (отсчет ведется от центральной полосы, для которой k = 0).

Оптическая длина пути, проходимого световым лучом в однородной среде с показателем преломления n,

L = ns, (3)

где s – геометрическая длина пути луча.

Замена воздуха аммиаком в трубке 2 вызвала изменение оптической длины пути L₂ светового луча S2A на величину

δ = ńl –nl. (4)

На столько же изменилась величина Δ = L₂ – L₁. При этом, согласно формуле (1), изменилось условие интерференции света в точке А.

В процессе замены воздуха аммиаком, когда величина Δ непрерывно изменялась, в точке А экрана постепенно сменяли друг друга светлые и темные интерференционные полосы – интерференционная картина перемещалась по экрану. Ее смещению на одну полосу соответствует в формуле (2) изменение числа k на единицу и, следовательно, изменение Δ на величину ±λ₀. Значит, при смещении интерференционной картины на N полос оптическая разность хода Δ изменилась на величину ±Nλ₀. Но это изменение выражается формулой (4), поэтому

ńl – nl =±Nλ₀. (5)

Знак в правой части (5) определяется направлением смещения интерференционной картины на экране. Действительно, рассмотрим центральную интерференционную полосу (k = 0). Когда в обеих трубках был воздух, она располагалась на экране на равных расстояниях от щелей в диафрагме. Перемещение полосы вверх в процессе замены воздуха в трубке 2 аммиаком свидетельствует, как это видно из чертежа, об увеличении оптической длины пути L₁ луча S1A. Но для центральной интерференционной полосы, как бы она ни перемещалась по экрану, всегда

Δ = L₂ – L₁ = ± kλ₀ = 0.

Следовательно, оптическая длина пути L₂ луча S2A также увеличилась. Очевидно, это могло произойти только вследствие неравенства ń > n. Таким образом, отбросив знак «минус» в правой части (5), получим

ń = n + (N λ₀ )/ l = 1.00039.

Пример 2. Для уменьшения потерь света при отражении от стекла на поверхность объектива (n = 1,7) нанесена тонкая прозрачная пленка (n = 1,3). При какой наименьшей толщине ее произойдет максимальное ослабление отраженного света, длина волны которого приходится на среднюю часть видимого спектра (λ = 0,56 мкм)? Считать, что лучи падают нормально к поверхности объектива.

Решение.Свет, падая на объектив, отражается как от передней, так и от задней поверхностей тонкой пленки. Ход лучей для случая их наклонного падения изображен на схеме. Отраженные лучи 1 и 2 интерферируют. Условие минимума интенсивности света при интерференции выражается формулой

где Δ – оптическая разность хода; (m = 2k + 1) – нечетное число (k = 0, 1, 2, 3,…); λ₀ – длина световой волны в вакууме, т. е.

(1)

Оптическая разность хода лучей, отраженных от двух поверхностей тонкой пленки, окруженной одинаковыми средами, определяется формулой

(2)

где h – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; b – угол преломления. В данном случае пленка окружена различными средами – воздухом (n = 1) и стеклом (n = 1.7). Из неравенства n₁<n<n₂ следует, что оба луча 1 и 2, отражаясь от границы с оптически более плотной средой, «теряют» полуволну. Так как это не влияет на их разность хода, то в (2) следует отбросить член λ₀/2. Кроме того, полагая b = 0, получим

(3)

Из равенств (1) и (3) находим толщину пленки:

Учитывая, что h – положительная величина и что значению h_min соответствует k = 0, получим

h_min = λ₀/4n = 0.11 мкм.

Пример 3. Монохроматический свет с длиной волны λ = 7 × 10^–7 м падает нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2 × 10^–6 м. Длина решетки l = 4 × 10^–2 м. Определить угловую ширину дифракционного максимума Δψ первого порядка.

Решение. Между двумя главными максимумами, соответствующими разности хода лучей от соседних щелей d·sin φ= kλ, где k = 0, ± 1, ± 2, …, лежат (N – 1) добавочных минимумов, определяемых разностью хода

где c может принимать целые значения от 1 до (N – 1).

Угловое расстояние между главными максимумом и соседним минимумом определяется требованием, чтобы разность хода возросла на λ/N, т. е.

или

,

отсюда

что составляет полуширину максимума.

но N = l / d; Δψ – полная ширина максимума. Угол j определим из условия первого максимума на дифракционной решетке:

d·sin φ = λ,

откуда

cos φ = 0.935.

Следовательно,

рад.

Пример 4. Экран Р находится на расстоянии 4 м от точечного монохроматического источника света. Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма М с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране Р, будет наиболее темным, если длина волны источника света равна 6 × 10^–7 м?

Решение.Проведем из точки А ряд концентрических сфер с радиусами, отличающимися на λ/2, и тем самым разобьем отверстие в диафрагме М на зоны Френеля (см. схему). Зная число зон, уложившихся в отверстии, можно определить освещенность в точке А экрана Р.

Пусть отверстие пропускает m зон Френеля, тогда радиус m-й зоны r_m есть одновременно радиус отверстия:

Очевидно, что освещенность центра колец, наблюдаемых на экране Р, минимальна при m = 2, так как в этом случае действие одной половины зон компенсирует действие другой половины.

Подставляя числовые данные, получаем

м.