Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный закон Ома (см. (100.3)) по­зволяет рассчитать практически любую сложную цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источни­ков э.д.с. и т. д.), довольно сложен. Эта задача решается более просто с помощью двух правил Кирхгофа.

Любая точка разветвления цепи, в ко­торой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом.При этом ток, входящий в узел, считается положитель­ным, а ток, выходящий из узла,— отрица­тельным.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru Первое правило Кирхгофа:алгебраи­ческая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

I1-I2+I3-I4-I5=0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке про­водника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические за­ряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий

из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за по­ложительное, отметив, что выбор этого на­правления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с на­правлением обхода контура, считаются по­ложительными, не совпадающие с на­правлением обхода — отрицательными. Источники э.д.с. считаются положительны­ми, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

Складывая почленно эти уравнения, по­лучим

I1R1-I2R2+I3R3= ξ 1- ξ 2+ ξ 3.(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа:в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в развет­вленной электрической цепи, алгебраиче­ская сумма произведений сил токов Ii, на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраиче­ской сумме э.д.с. ξ k, встречающихся в этом контуре:

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

При расчете сложных цепей постоян­ного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действитель­ное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток полу­чится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицатель­ным — его истинное направление противо­положно выбранному.

2. Выбрать направление обхода кон­тура и строго его придерживаться; про­изведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, счита­ются положительными, против — отрица­тельными.

3. Составить столько уравнений, что­бы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рас­сматриваемой цепи); каждый рассматри­ваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в преды­дущих контурах, иначе получатся уравне­ния, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измери­тельного моста Уитстона.Сопротивления R1, R2, R3и R4 образуют его плечи. Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. ξ и со­противлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG. Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

Для контуров АСВξА, ACDA и CBDC, соглас­но второму правилу Кирхгофа, можно запи­сать:

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2, R3и R4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG=0). Тогда из (101.3) найдем

I1=I2, I3 = I4, (101.5)

а из (101.4) получим

I1R1=I4R4, I2R2=I3R3. (101.6) Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

R1/R4=R2/R3, или R1=R2R4/R3 (101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (IG=0) при определении искомого сопротивле­ния R1э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

Правила Кирхгофа для разветвленных цепей - student2.ru

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона(рис. 151), где сопротивле­ния R3 и R4 представляют собой длинную одно­родную проволоку (реохорд) с большим удель­ным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4. Тогда, ис­пользуя выражение (101.7), можно записать

R1=R2l4/l3. (101.8)

Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, a R2всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное со­противление R1.

Наши рекомендации