Квазиклассическое приближение в статистической физике

Мы говорили, что состояние квантово-механической системы описывается каноническим распределением:

, где - номер состояния

Потом учли, что энергетические уровни близко расположены друг к другу и ввели вместо дискретного спектра – непрерывный:

Ввели функцию

В нормировке функции перешли к интегралу:

- это число состояний в интервале энергий

Здесь - плотность состояний с энергией на единичный интервал энергии.

Мы вместо часто пользуемся функцией :

, где

Функция - размерная. Величина имеет размерность , тогда объёмчик имеет размерность . Значит, функция имеет размерность

Поэтому удобно ввести величину:

, - число степеней свободы системы

Тогда:

(здесь уже безразмерные величины)

При имеем квазиклассическое приближение. В этом случае характеризует величину числа состояний в интервале .

Как же посчитать число состояний при переходе из фазового пространства в квазиклассическое представление?

В квантовой механике:

т.е. это точность, с которой определяется фазовая точка в фазовом пространстве.

Но фазовая точка определяет состояние, тогда это точность, с которой определяется состояние:

- это площадка, описывающая состояние.

-точнее этого мы состояние не определим.

Более точные измерения дают:

- такая площадка выделяется на фазовую точку (в случае, когда - одна степень свободы).

- это объём, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении, при степенях свободы.

Тогда:

где - элементарный объём фазового пространства, а - объём на одно состояние, следовательно - число состояний.

Тогда в квазиклассическом приближении каноническое распределение выглядит так:

Множитель возникает по следующим причинам:

В квантовом случае - суммирование по числу состояний, и мы учитывали нетождественные перестановки. Но интегрирование по фазовому пространству не чувствительно к тождественным перестановкам – не выбрасываем их, поэтому возник множитель - учитывающий тождественные перестановки. Это имеет место при переходе в квазиклассическое приближение.

Замечание:

Принцип тождественности оказывает влияние только на расчёт статистического интеграла , при расчёте средних он не влияет.

Каноническое распределение для квантовых систем имеет вид:

- суммирование по квантовым состояниям

При переходе в квазиклассику, используя переход , получаем для вероятности состояния (здесь индекс не проставлен):

где и ,

- это вероятность того, что фазовая точка с координатами попадает в элементарный объём в фазовом пространстве.

Мы писали:

под понимаем

Очевидно, что константу можно выкинуть, если рассчитывать средние через вероятность, при переходах:

т.к. константа не влияет на расчёт средних.

Часто рассматривают случай, когда квазиклассичность имеет место не по всем степеням свободы, а лишь по некоторым. Тогда суммируем по квантовым степеням свободы и интегрируем по квазиклассическим степеням свободы, т.е. имеем «гибрид»:

и в этом случае имеется и статистическая сумма и статистический интеграл.

§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса

Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится.

здесь , а - число степеней свободы.

В квазиклассике:

Рассмотрим систему из материальных точек и в качестве степеней свободы выберем переменных:

т.е. это обычное трехмерное пространство.

Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии:

и

здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача.

И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных:

(15)

Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства.

Вероятность говорит о событии:

где .

Если имеем вероятность некоторого совместного события:

то вероятность одного из них:

тогда:

(16)

Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки):

Аналогично (16) получаем:

здесь интегралов

Для функции имеем:

При интегрировании функция даст константу, а выносится за интеграл тогда:

Из условия нормировки найдём константу :

Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое).

и

(Далее Т – температура)

Тогда:

, а

все переменные меняются в пределах от до , тогда получаем:

где

Тогда получаем:

Само распределение имеет вид:

Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана.

Эта вероятность говорит о событии:

здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.

§22. Использование распределения Максвелла для расчёта средних: , , ,

- кинетическая энергия

Посмотрим .

Если рассмотрим , то получим:

Запишем выражение для :

Подставим в наше выражение, тогда получим:

Тогда мы можем записать:

,

Тогда:

Аналогичные результаты имеем для и , тогда:

Легко найти :

здесь - температура в энергетических единицах.

При расчёте в произвольной степени , имеет место другая схема расчёта, а именно:

, где

При нечётном надо учитывать симметричность , т.е. - получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты:

Тогда:

Сделаем замену переменных:

, ,

Тогда получим:

Используем гамма функцию :

Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения: