Основные физические величины и законы. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

, ,

где – масса электрона; – скорость электрона на n-й орбите радиусом ; .

Второй постулат Бора

,

где – энергия фотона, излученного (поглощенного) при переходе электрона из стационарного состояния с энергией в стационарное состояние с энергией .

Энергия электрона на n-й стационарной орбите для ионизованного атома (лишь один электрон на оболочке)

,

где – порядковый номер элемента в таблице Менделеева.

Соответственно, для атома водорода

.

Длины волн , излучаемых атомом водорода при переходе электрона с n-й орбиты на m-ю, определяются (как это и следует из второго постулата Бора) обобщенный сериальной формулой

,

где – постоянная Ридберга; – определяет спектральную серию ( ; – определяет отдельные линии соответствующей серии ;

– серия Лаймана (ультрафиолетовая область),

– серия Бальмера (видимый свет),

– серия Пашена (инфракрасная область),

– серия Брэкета (инфракрасная область),

– серия Пфунда (инфракрасная область),

– серия Хэмфри (инфракрасная область).

Длина волны (длина волны де Бройля), связанная с движением частицы, обладающей импульсом , выражается формулой

.

В классическом приближении ( )

,

где – масса покоя частицы.

В релятивистском случае ( )

.

Импульс частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию :

- в классическом случае ;

- в релятивистском случае ,

где – энергия покоя частицы.

Нейтральный атом и его ядро обозначаются одним и тем же символом

,

где – обозначение элемента, – порядковый номер (число протонов в ядре, равное числу электронов в электронной оболочке нейтрального атома), – массовое число (число нуклонов-протонов и нейтронов – в ядре, равное округленной до ближайшего целого числа массе атома, выраженной в а.е.м.).

Дефект массы атомного ядра есть разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося ядра

или

,

где – масса атома водорода, – масса рассматриваемого атома.

Энергия связи ядра определяется по общей формуле

.

Удельная энергия связи .

Энергия ядерной реакции

,

где и – массы покоя ядра мишени и бомбардирующей частицы; – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

Если , то энергия освобождается, реакция экзотермическая. Если , то энергия поглощается, реакция эндотермическая.

Правила смещения:

- для – распада ;

- для – распада ;

- для – распада .

Закон радиоактивного распада

,

где – число нераспавшихся ядер в момент времени ; – начальное число нераспавшихся ядер (при ); – постоянная радиоактивного распада.

Период полураспада – время, за которое число нераспавшихся ядер уменьшается в два раза, связан с постоянной распада

.

Среднее время жизни радиоактивного изотопа – время, за которое число нераспавшихся атомов уменьшается в раз

.

Активность изотопа измеряется числом ядер, распавшихся в единицу времени

.

Число атомов , содержащихся в образце изотопа

,

где – масса образца; – молярная масса изотопа; – число Авокадро.

Активность образца в начальный момент ( )

.

Активность образца изменяется со временем по закону

.

Пример 1.Найти радиус, скорость, кинетическую, потенциальную и полную энергию электрона на пятой стационарной орбите в атоме водорода.

Дано: ; ; ; ;

.

Найти: .

Решение. Второй закон Ньютона для электрона, движущихся по n-й орбите радиуса под действием кулоновской силы со скоростью и нормальным ускорением принимает вид

или

. (1.1)

Согласно постулату Бора, момент импульса электрона, движущегося по n-й орбите

. (1.2)

Из системы двух уравнений (1.1) и (1.2) находим

,

где .

Соответственно, радиус пятой орбиты электрона

.

,

где .

Соответственно, скорость электрона на пятой орбите

.

Кинетическая энергия электрона на n – й орбите

,

где .

.

Кинетическая энергия электрона на пятой орбите

.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона (заряд ) и ядра атома водорода – протоном (заряд ) на n-й орбите

.

Потенциальная энергия электрона на пятой орбите

.

Полная энергия электрона на n-й орбите

.

.

Полная энергия электрона на пятой орбите

.

Пример 2.Определить длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Дано: ; ; ; ;

.

Найти: .

Решение. Связь длины волны де Бройля частицы с ее импульсом

.

В классическом приближении ( )

.

В релятивистском случае

,

где – соответственно масса покоя, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , определяется работой электрического поля и равна

,

,

а энергия покоя электрона

.

Итак, в данном случае ( ) имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

,

.

Пример 3. В результате соударения дейтрона с ядром бериллия образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную реакцию и определить ее энергетический эффект.

Дано: .

Найти: .

Решение. Из законов сохранения электрического заряда и массовых чисел следует, что , а , то есть образовавшееся в результате ядерной реакции ядро – изотоп бора . Поэтому ядерную реакцию можно записать в виде

.

Энергетический эффект ядерной реакции

, (1.1)

где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции. При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых чисел, в ядерной реакции (а зарядное число нейтрального атома равно числу электронов в его оболочке) получаются одинаковые результаты.

Массы нейтральных атомов в выражении (1.1)

, , ,

.

Вычисляя, получим

.

Энергетический эффект положителен, реакция экзотермическая.

Пример 4.Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона (период полураспада ( ) равна . Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Дано: , , ,

.

Найти: .

Решение. Начальная активность изотопа

,

где – постоянная радиоактивного распада; – число ядер изотопа в начальный момент времени: , где – молярная масса радона ( ); – постоянная Авогадро. Учитывая эти выражения, найдем искомую начальную активность изотопа

.

Активность изотопа , где, согласно закону радиоактивного распада, – число нераспавшихся ядер в момент времени . Учитывая, что найдем, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

.

Вычисляя, получим

.

.

Задачи

6.01. Определить максимальную энергию фотона серии Пашена в спектре излучения атомарного водорода.

6.02. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии водорода (серия Пашена),

6.03. Определить энергию фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона со второй орбиты на первую.

6.04. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией . Определить энергию фотона.

6.05. Электрон в атоме водорода находится на втором энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П иполную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

6.06. Вычислить по теории Бора частоту обращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным квантовым числом .

6.07. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны . Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.

6.08. В однозарядном ионе электрон перешел со второго энергетического уровня на первый. Определить длину волны излучения, испущенного ионом гелия.

6.09. Вычислить по теории Бора радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на этой орбите для иона Не⁺.

6.10. Определить первый потенциал возбуждения и энергию ионизации , иона Не⁺, находящегося в основном состоянии.

6.11. Сколько длин волн де Бройля уложится на третьей орбите однократно ионизированного возбужденного атома гелия?

6.12. Электрон обладает кинетической энергией . Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона возрастает вдвое?

6.13. Определить кинетическую энергию Т электрона, дебройлевская длина волны которого равна комптоновской длине волны .

6.14. Определить длины волн де Бройля электрона и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов .

6.15. Кинетическая энергия Т электрона равна его энергии покоя . Вычислить длину волны де Бройля для такого электрона.

6.16. Электрон обладает кинетической энергией . Определить величину дополнительной энергии , которую необходимо сообщить электрону для того, чтобы дебройлевская длина волны уменьшилась вдвое.

6.17. Определить дебройлевскую длину волны электрона, кинетическая энергия которого .

6.18. Определить скорость электрона, при которой длина волны де Бройля .

6.19. Вычислить длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , равную: 1) 1 кВ; 2) 1 MB.

6.20. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы дебройлевская длина волны была равна: 1) 1 нм; 2) 1 пм?

6.21. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна . Определить массу нейтрального атома, обладающего этим ядром.

6.22. В ядерной реакции выделяется энергия . Определить массу атома , если масса атома равна .

6.23. Определить массу изотопа , если изменение массы при образовании ядра составляет .

6.24. Какую массу воды можно нагреть от 0⁰ С до кипения, если использовать все тепло, выделяющееся при реакции при полном разложении 1 г лития?

6.25. Определить энергию связи ядер и . Какое из этих ядер наиболее устойчиво?

6.26. Определить энергию β - распада ядра углерода .

6.27. Определить наименьшую энергию, необходимую для разделения ядра углерода на три одинаковые части.

6.28. Какой изотоп образуется из после трех – распадов и двух – распадов? Напишите вариант промежуточных реакций.

6.29. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома кислорода .

6.30. Вычислить энергию ядерной реакции

.

Указать, освобождается или поглощается энергия при этой реакции.

6.31. Из каждого миллиарда атомов препарата радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 1600 атомов. Определить период Т полураспада.

6.32. Активность а препарата некоторого изотопа за время суток уменьшилась на 30%. Определить период Т полураспада этого препарата.

6.33. Найти среднюю продолжительность жизни атомов радия .

6.34. На сколько процентов уменьшится активность препарата радона ( ) за время суток?

6.35. Найти период полураспада Т радиоактивного препарата , если его активность за время суток уменьшилась на 62% по сравнению с первоначальной.

6.36. Определить, какая доля радиоактивного препарата распадается в течение времени лет.

6.37. Определить массу препарата изотопа , имеющего активность .

6.38. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени:

1) сутки; 2) год, в радиоактивном препарате церия массой .

6.39. Во сколько раз уменьшится активность препарата через время суток?

6.40. Счетчик α-частиц, установленный вблизи препарата , при первом измерении регистрировал частиц в минуту, а через время

суток — только . Определить период Т полураспада препарата.

Приложение

СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ

Таблица1 .

Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная	Обозначение	Числовые значения
Ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2
Гравитационная постоянная	γ	6,67 ·10-11 м3/(кг·с2)
Число Авогадро	NA	6,02 ·1023 моль-1
Универсальная газовая постоянная	R	8,31 Дж/ (моль ·К)
Постоянная Больцмана	k	1,38 ·10-23 Дж/К
Заряд электрона	Е	1,60 ·10-19 Кл
Скорость света в вакууме	с	3,00 ·108 м/с
Постоянная закона Стефана- Больцмана	σ	5,67 ·10-8 Вт/(м2 ·К4)
Постоянная закона смещения Вина	в	2,90 ·10-3 м·К
Постоянная второго закона Вина	С	1,3 ·10-5 Вт/(м3 ·К5)
Постоянная Планка	h	6,63 ·10-34 Дж ·с
Постоянная Планка, деленная на 2π	ħ	1,05 ·10-34 Дж·с
Постоянная Ридберга (для атома водорода )	R	1,097 ·107 м-1
Радиус первой боровской орбиты	ri	0,529 ·10-10 м
Комптоновская длина волны электрона	Λ	2,43 ·10-12 м (2,43 пм)
Магнетон Бора		0,927 ·10-23 А·м2
Энергия ионизации атома водорода	Ei	2,18 ·10-18 Дж(13,6эВ)
Атомная единица массы	а.е.м.	1,660 ·10-27 кг
Коэффициент пропорциональности между энергией и массой	c2	9,00 ·1016 Дж/кг (931 МэВ/а. е. м.)

Таблица 2

Некоторые астрономические величины

Наименование	Величина (среднее значение)
Радиус Земли	6,37 · 106 м
Масса Земли	5,98 · 1024 кг
Радиус Солнца	6,95 · 108 м
Масса Солнца	1,98 · 1030 кг
Радиус Луны	1,74 · 106 м
Масса Луны	7,33 · 1022 кг
Расстояние от центра Земли до центра Солнца	1,49 · 1011 м
Расстояние от центра Земли до центра Луны	3,84 · 108 м

Таблица 3

Плотность твердых тел

Твердое тело	Плотность, кг/м3	Твердое тело	Плотность, кг/м3
Алюминий	2,7 ·103	Медь	8,9 ·103
Барий	3,5 ·103	Никель	8,9 · 103
Ванадий	6,0 · 103	Свинец	11,3 · 103
Висмут	9,8 · 103	Серебро	10,5 · 103
Железо	7,8 · 103	Цезий	1,9 · 103
Литий	0,53 · 103	Цинк	7,1 · 103

Таблица 4

Плотность жидкостей

Жидкость	Плотность, кг/м3	Жидкость	Плотность, кг/м3
Вода (при 40 С)	1,00 · 103	Ртуть	13,6 · 103
Глицерин	1,26 · 103	Спирт	0,80 · 103
		Сероуглерод	1,26 · 103

Таблица 5

Эффективный диаметр молекулы

Газ	Диаметр, м	Газ	Диаметр, м
Азот	3,0 · 10-10	Гелий	1,9 · 10-10
Водород	2, 3 · 10-10	Кислород	2,7 · 10-10

Таблица 6

Диэлектрическая проницаемость

Вещество	Проницаемость	Вещество	Проницаемость
Парафин	2,0	Вода
Стекло	7,0	Масло трансформаторное	2,2

Таблица 7

Удельное сопротивление металлов

Металл	Удельное сопротивление, Ом·м	Металл	Удельное сопротивление, Ом·м
Железо Нихром	9,8 · 10-8 1,1 · 10-6	Медь Серебро	1,7 · 10-8 1,6 · 10-8

Таблица 8

Показатель преломления

Вещество	Показатель
Вода	1,33
Глицерин	1,47
Стекло	1,5
Алмаз	2,42

Таблица 9

Работа выхода электронов

Металл	Дж	эВ
Калий	3,5 · 10-19	2,2
Литий	3,7 ·10-19	2,3
Платина	10 ·10-19	6,3
Рубидий	3,4 ·10-19	2,1
Серебро	7,5 ·10-19	4,7
Цезий	3,2 ·10-19	2,0
Цинк	6,4 ·10-19	4,0

Таблица 10

Относительные атомные массы (атомные веса) А и

порядковые номера Z некоторых элементов

Элемент	Химический символ	A	z
Азот	N
Алюминий	Аl
Аргон	Аг
Водород	Н
Вольфрам	W
Гелий	Не
Железо	Fe
Золото	Аu
Калий	К
Кальций	Са
Кислород	O
Магний	Mg
Марганец	Мn
Медь	Сu
Молибден	Мо
Натрий	Na
Неон	Ne
Никель	Ni
Олово	Sn
Платина	Pt
Ртуть	Hg
Сера	S
Серебро	Ag
Уран	U
Углерод	С
Хлор	Cl

Таблица 11

Массы атомов легких изотопов

Изотоп	Символ	Масса (а. E. М.)
Нейтрон		1,00867
Водород		1,00783 2,01410 3,01605
Гелий		3,01603 4,00260
Литий		6,01513 7,01601
Бериллий	4Ве7 4Ве9	7,01693 9,01219
Бор	5B10 5B11	10,01294 11,00930
Углерод	6C12 6C13 6C14	12,00000 13,00335 14,00324
Азот	7N14	14,00307
Кислород	8O16 8O17	15,99491 16,99913

Таблица 12

Периоды полураспада радиоактивных изотопов

Изотоп	Символ	Период полураспада
Магний	12Mg27	10 мин
Фосфор	15P32	14,3 суток
Кобальт	27Co60	5,3 года
Стронций	38Sr90	27 лет
Йод	53I131	8 суток
Церий	58Ce144	285 суток
Радон	86Rn222	3,8 суток
Радий	88Ra226	1620 лет
Актиний	89Ac225	10 суток

Таблица 13

Масса и энергия покоя некоторых частиц

Частица	m0	Е0
кг	а. е. м.	Дж	МэВ
Электрон	9,11·10-31	0,00055	8,16·11-14	0,511
Протон	1,672·10-27	1,00728	1,50·10-10
Нейтрон	1,675·10-27	1,00867	1,51·10-10
Дейтрон α -частица	3,35·10-27 6,64·10-27	2,01355 4,00149	3,00·10-10 5,96·10-10	1876 3733
Нейтральный π-мезон	2,41·10-28	0,14498	2,16·10-11

Таблица 14

Внесистемные единицы

Наименование Величины	Единицы
Название	Обозначение	Соотношение с единицей СИ
а) Допущенные к применению наравне с единицами СИ
Масса	Тонна	Т	1 т=103 кг
Время	Минута час сутки	мин ч сут	1 мин=60 с 1 ч=3600 с 1 сут=86400 с
Плоский угол	градус минута секунда	0 / //	10=1,75·10-2 рад 1/=2,91·10-4 рад 1//=4,85·10-6 рад
Площадь	гектар	га	1 га=104 м2
Объем	литр	л	1 л=10-3 м3
Относительная величина	процент промилле миллионная доля	% %0 млн-1	1%=10-2 %0=10-3 1 млн-1=10-6
Температура Цельсия	градус Цельсия	0С	10С=1 К
Логарифмическая величина	бел децибел	Б дБ	- -
б) Допущенные к применению временно
Длина	ангстрем	А0	1 А0=10-10 м
Масса	центнер	ц	1 ц=100 кг
Частота вращения	оборот в секунду оборот в минуту	об/с об/мин	1 об/с=1 с-1 1 об/мин= =1/60 с-1= =0,0167 с-1

Продолжение таблицы 14