I На пути построения единой теории поля 6.1. Теорема Нетер и законы сохранения

В 2.2 уже говорилось о принципе наименьшего дей­ствия, о вариационном принципе в физике. Следует ска­зать, что при формулировании общей теории относитель­ности Эйнштейн пытался вывести уравнения гравитацион­ного поля с использованием вариационных принципов, однако они оказались неверными. Д. Гильберту удалось получить верные уравнения из вариационных принципов, но при этом он не обратил внимание на то, что из сфор­мулированной им теоремы вытекают законы сохранения. Примерно в тот же период времени в математике развивал­ся подход, связывающий геометрию с теорией групп, состав­ляющей ядро современной абстрактной алгебры. Так, в 1872 году немецким математиком Феликсом Клейном была выдвинута «Эрлангенская программа», в которой вы­ражалась идея систематического применения групп симмет­рии к изучению конкретных геометрических объектов. Все разнообразие геометрических систем удалось понять бла­годаря этому подходу с единой теоретико-инвариантной

точки зрения. Инвариантный принцип построения теории относительности привлек внимание Феликса Клейна. Он явно видел связь теории относительности с идеями «Эрлан-генской программы», что стимулировало его к поиску вы­вода законов сохранения с использованием вариационных принципов. В это же время (1918 г.) Эмми Нетер была до­казана теорема, из которой следует, что если некоторая система инвариантна относительно некоторого глобального преобразования, то для нее существует определенная сохра­няющая величина. Теорема Нетер, доказанная ею во вре­мя участия в работе целой группы по проблемам общей теории относительности как бы побочно, стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившей особую роль принципов симметрии при построении физической теории. Можно сказать, что теоретико-инвариантный под­ход, эрлангенский принцип проник в физику и определил целесообразность формулирования физических теорий на языке лагранжианов. Так, упоминаемые выше законы со­хранения являются следствиями симметрий, существую­щих в реальном пространстве-времени. Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии — однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (которые зави­сят от времени). Несложными математическими преобра­зованиями можно показать, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается не­изменной.

Закон сохранения импульса является следствием транс­ляционной инвариантности пространства (однородности пространства). Если потребовать, чтобы функция Лагран­жа оставалась неизменной (инвариантной) при любом бес­конечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, то получим закон сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса является след­ствием симметрии относительно поворотов в пространстве, свидетельствует об изотропности пространства. Если потре­бовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной при любом бесконечно малом повороте замкнутой систе­мы в пространстве, то получим закон сохранения момен­та импульса. Эти законы сохранения характерны для всех

частиц, являются общими, выполняющимися во всех вза­имодействиях.

До недавнего времени в физике проводилось четкое раз­деление на внешние и внутренние симметрии. Внешние симметрии — это симметрии физических объектов в реаль­ном пространстве-времени, называемые также простран­ственно-временными или геометрическими. Законы сохра­нения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями внешних симметрий.

К классу внутренних симметрий относят симметрии относительно непрерывных преобразований во внутренних пространствах, не имеющих, как считалось до недавнего времени, под собой физической основы, связывающих их со структурой пространства-времени. Такой, к примеру, явля­ется глобальная калибровочная симметрия для электро­магнитного поля, следствием которой является закон со­хранения электрического заряда, и многие другие. Совре­менный этап развития физики раскрывает возможность сведения всех внутренних симметрий к геометрическим, пространственно-временным симметриям, что само по себе свидетельствует об очень сложной структуре самого про­странства-времени нашей Вселенной. Основанием для это­го является тот факт, что все внутренние симметрии име­ют одну калибровочную природу, о чем подробнее будет сказано ниже. Однако современная теоретическая физика дает еще один чрезвычайно важный результат, свидетель­ствующий о том, что все многообразие физического мира проявлено вследствие нарушений определенных видов сим­метрии. Поэтому для более глубокого понимания происхо­дящих в физической теории процессов следует более под­робно рассмотреть функционирование понятий симметрии и асимметрии в науке.

Понятие симметрии

Симметрия как философская категория означает про­цесс существования и становления тождественных момен­тов в определенных условиях и определенных отношени­ях между различными и противоположными состояниями явлений мира. Это означает, что, изучая симметрию каких-либо систем, необходимо рассматривать их поведение при различных преобразованиях. То есть из всей совокупнос-

ти преобразований выделяются такие, которые оставляют неизменными, инвариантными некоторые функции, соответ­ствующие рассматриваемым системам. Самым емким, удоб­ным и простым языком для выражения симметрий ока­зался математический язык. Математическая теория, рас­сматривающая такие преобразования или совокупности преобразований, называется математиками теорией групп. Корни идеи теории групп восходят к работам великих ма­тематиков П. Руффини (1765-1822), Н. Абеля (1802-1829) и Эвариста Галуа (1811-1832). Одной из центральных за­дач классической алгебры того времени была задача о на­хождении корней алгебраического уравнения n-степени по известным коэффициентам, входящим в это уравнение. Руффини, а впоследствии Абель и Галуа доказали неразре­шимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой и более степени. Так что проблема общего изучения закона образования корней из известных коэффициентов не была решена, несмотря на многочисленные усилия матема­тиков. Результат был получен Эваристом Галуа лишь на основе введения абстрактных понятий более высокой сте­пени общности, на основе создания совершенно новой ал­гебраической теории, развившейся впоследствии в теорию групп. Интерес к теории групп со стороны Феликса Клей­на передался норвежскому математику М. Ли, который и явился создателем математического аппарата теории групп (групп Ли) и их инвариантов, ставшего важнейшим инструментом современной теоретической физики.