Взаимодействие токов. Магнитная индукция

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

Им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

А.Д. Андреев

Л.М. Черных

ФИЗИКА

МАГНЕТИЗМ

Конспект лекций

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

УДК 532.6(075.8)

ББК В334я73

А 65

Рецензент

И.П. Арешев

Рекомендован к печати редакционно-издательским советом

СПбГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Андреев, А.Д.

А65 Физика. Магнетизм : конспект лекций / А.Д. Андреев, Л.М. Черных;

ГОУВПО СПбГУТ. – СПб., 2009. – 56 с.

Содержит теоретический материал по разделу «Магнетизм» дисциплины «Физика».

Предназначен для оказания помощи студентам технических специальностей всех форм обучения в самостоятельной работе, а также при подготовке к упражнениям, коллоквиумам и экзаменам.

УДК 537.6 (075.8)

ББК В334я73

© Андреев А.Д., Черных Л.М., 2009

Ó Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича», 2009

ВВЕДЕНИЕ

В 1820 г. профессор университета в Копенгагене Ганс Христиан Эрстед читал лекции по электричеству, гальванизму и магнетизму. В то время электричеством называли электростатику, гальванизмом назывались явления, вызываемые постоянным током, получаемым от батарей, магнетизм был связан с известными свойствами железных руд, со стрелкой компаса, с магнитным полем Земли.

В поисках связи между гальванизмом и магнетизмом Эрстед проделал опыт с пропусканием тока через проволоку, подвешенную над стрелкой компаса. При включении тока стрелка отклонялась в сторону от меридионального направления. Если изменялось направление тока или стрелка помещалась над током, она отклонялась в другую сторону от меридиана.

Таким образом, опыт Эрстеда можно считать прямым доказательством существования магнитного поля в пространстве, где есть постоянный ток (упорядоченное движение носителей заряда).

Открытие Эрстеда явилось мощным стимулом для дальнейших исследований и открытий. Прошло немного времени и Ампер, Фарадей и другие провели полное и точное исследование магнитного действия электрических токов. Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции произошло через 12 лет после опыта Эрстеда. На основе этих экспериментальных открытий была построена классическая теория электромагнетизма. Максвелл придал ей окончательный вид и математическую форму, а Герц в 1888 г. блестяще подтвердил, экспериментально доказав существование электромагнитных волн [1].

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Взаимодействие токов. Магнитная индукция

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Электрические токи взаимодействуют между собой. Как показывает опыт, два прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи, притягиваются, если токи в них имеют одинаковое направление, и отталкиваются, если токи противоположны по направлению (рис. 1). При этом сила их взаимодействия на единицу длины проводника прямо пропорциональна силе тока в каждом из проводников и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Закон взаимодействия токов был установлен Андре Мари Ампером в 1820 г. экспериментально.

В металлах суммарный заряд положительно заряженной ионной решетки и отрицательно заряженных свободных электронов равен нулю. Заряды распределены в проводнике равномерно. Таким образом, электрическое поле вокруг проводника отсутствует. Именно поэтому проводники при отсутствии тока не взаимодействуют друг с другом.

Однако при наличии тока (упорядоченного движения свободных носителей заряда) между проводниками возникает взаимодействие, которое принято называть магнитным.

В современной физике магнитное взаимодействие токов трактуется как релятивистский эффект, возникающий в системе отсчета, относительно которой имеет место упорядоченное движение зарядов [2]. В данном пособии будем использовать понятие магнитного поля как свойство пространства, окружающего электрический ток. Существование магнитного поля тока проявляется при взаимодействии с другими проводниками с током (закон Ампера), или при взаимодействии с движущейся заряженной частицей (сила Лоренца, подразд. 2.1), или при отклонении магнитной стрелки, помещенной вблизи проводника с током (опыт Эрстеда).

Для характеристики магнитного поля тока введем понятие вектора магнитной индукции. Для этого, аналогично тому как при определении характеристик электростатического поля использовалось понятие пробного точечного заряда [3], при введении вектора магнитной индукции будем использовать пробный контур с током. Пусть это будет плоский замкнутый Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru контур произвольной формы и малых размеров. Настолько малых, что в точках места его расположения магнитное поле можно считать одинаковым. Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать вектором нормали к контуру, связанным с направлением тока в нем правилом правого винта (буравчика): при вращении ручки буравчика в направлении тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (рис. 2) поступательное движение кончика буравчика определяет направление единичного вектора нормали Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru к плоскости контура.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Характеристикой пробного контура является его магнитный момент Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru, где s – площадь пробного контура.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Если поместить пробный контур с током в выбранную точку рядом с прямым током, то токи будут взаимодействовать. При этом на пробный контур с током будет действовать вращательный момент пары сил М (рис. 3). Величина этого момента, как показывает опыт, зависит от свойств поля в данной точке (контур мал по размеру) и от свойств контура (его магнитного момента).

На рис. 4, представляющем собой сечение рис. 3 горизонтальной плоскостью, показаны несколько положений пробного контура с током в магнитном поле прямого тока I. Точка в кружке обозначает направление тока к наблюдателю. Крест обозначает направление тока за рисунок. Положение 1 соответствует устойчивому равновесию контура (М = 0), когда силы растягивают его. Положение 2 соответствует неустойчивому равновесию (М = 0). В положении 3 на пробный контур с током действует максимальный вращающий момент сил. В зависимости от ориентации контура величина вращающего момента может принимать любые значения от нуля до максимального Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Как показывает опыт, в любой точке Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , т. е. максимальное значение механического момента пары сил зависит от величины магнитного момента пробного контура и не может служить характеристикой магнитного поля в исследуемой точке. Отношение максимального механического момента пары сил к магнитному моменту пробного контура не зависит от последнего и может служить характеристикой магнитного поля. Эта характеристика называется магнитной индукцией (индукцией магнитного поля)

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Введем ее как векторную величину. За направление вектора магнитной индукции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru будем принимать направление магнитного момента пробного контура с током, помещенного в исследуемую точку поля, в положении устойчивого равновесия (положение 1 на рис. 4). Это направление совпадает с направлением северного конца магнитной стрелки, помещенной в эту точку. Из сказанного следует, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru характеризует силовое действие магнитного поля на ток и, следовательно, является аналогом напряженности поля в электростатике. Поле вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru можно представить при помощи линий магнитной индукции. В каждой точке линии вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru направлен по касательной к ней. Так как вектор магнитной индукции в любой точке поля имеет определенное направление, то и направление линии магнитной индукции – единственное в каждой точке поля. Следовательно, линии магнитной индукции, так же как и силовые линии электрического поля, не пересекаются. На рис. 5 представлено несколько линий индукции магнитного поля прямого тока, изображенных в плоскости, перпендикулярной току. Они имеют вид замкнутых окружностей с центрами на оси тока.

Следует отметить, что линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. Это отличительная черта вихревого поля, в котором поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю (теорема Гаусса в магнетизме).

1.2. Закон Био–Савара–Лапласа.
Принцип суперпозиции в магнетизме

Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей токов различной формы. Они установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока, создающего магнитное поле. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле тока I любой конфигурации может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Длина Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru каждого участка тока настолько мала, что его можно считать прямым отрезком, расстояние от которого до точки наблюдения много больше Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Удобно ввести понятие элемента тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru где направление вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru совпадает с направлением тока I, а его модуль равен Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (рис. 6).

Для индукции магнитного поля Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , создаваемого элементом тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru в точке, находящейся на расстоянии r от него (рис. 6), Лаплас вывел формулу, справедливую для вакуума:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.1)

Формула закона Био–Савара–Лапласа (1.1) написана в системе СИ, в которой постоянная Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru называется магнитной постоянной.

Уже отмечалось, что в магнетизме, как и в электричестве, имеет место принцип суперпозиции полей, т. е. индукция магнитного поля, создаваемого системой токов, в данной точке пространства равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых в этой точке каждым из токов в отдельности:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (1.2)

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru На рис. 7 приведен пример построения вектора магнитной индукции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru в поле двух параллельных и противоположных по направлению токов Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru : Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

1.3. Применение закона Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим отрезок прямого тока. Элемент тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru создает магнитное поле, индукция которого в точке А (рис. 8) по закону Био–Савара–Лапласа находится по формуле:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , (1.3)

где Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – угол между направлением тока и вектором Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , характеризующим положение точки А относительно Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

На рис. 9 представлен фрагмент рис. 8. Опустив перпендикуляр из точки С на сторону ОА, получим два прямоугольных треугольника. Из треугольника ODC следует, что СD = Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , а из треугольника CDA следует, что CD= Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Учитывая, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru бесконечно малые величины, получим

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.4)

После подстановки (1.4) в (1.3) получим:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Из рис. 8 следует, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , где b – расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки А. Следовательно,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

По принципу суперпозиции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . В точке А все Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru от различных элементов отрезка прямого тока имеют одинаковое направление. Величина магнитной индукции в точке А равна алгебраической сумме Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru от всех элементов прямого тока:

I
Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Таким образом, для индукции магнитного поля отрезка прямого тока конечной длины (рис. 10) получаем формулу

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.5)

В случае бесконечно длинного прямого проводника с током Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Следовательно, Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Отсюда следует, что индукция магнитного поля бесконечно длинного прямого проводника с током находится по формуле

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.6)

1.4. Применение закона Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим проводник в форме окружности радиуса R, по которому протекает ток I (рис. 11). Разобьем круговой ток на элементы тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , каждый из которых создает в центре кругового тока (точка О) магнитное поле Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . По закону Био–Савара–Лапласа (1.1), с учетом, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , магнитная индукция, создаваемая элементом тока в точке О, определяется формулой

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru По принципу суперпозиции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . В точке О все Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru от разных элементов кругового тока имеют одинаковое направление. Следовательно,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Таким образом, для индукции магнитного поля в центре кругового тока получаем

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.7)

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым током в других точках на оси z (рис. 12).

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

z
Любая пара равных по величине элементов тока ( Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ), расположенная симметрично относительно оси z, создает в точках на оси магнитное поле: Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ( Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ). Вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru в соответствии с законом Био–Савара–Лапласа направлен перпендикулярно плоскости, содержащей вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru направлен перпендикулярно плоскости, содержащей вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru образуют ромб, диагональ которого представляет вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , направленный вдоль оси Оz.

Как следует из рис. 12,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Учитывая, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , по закону Био–Савара–Лапласа

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Так как Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , получаем

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

По принципу суперпозиции результирующий вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru также направлен вдоль оси z, поэтому

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Окончательное выражение для индукции в точках на оси кругового тока имеет вид

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

1.5. Магнитное поле,
создаваемое движущейся заряженной частицей

Как было отмечено в подразд. 1.2, элемент тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru создает магнитное поле. Но такой элемент тока представляет собой совокупность упорядоченно движущихся заряженных частиц. Логично предположить, что в основе появления магнитного поля лежит движение отдельно взятой заряженной частицы, а упорядоченное движение множества таких частиц (носителей тока) приводит к пропорциональному увеличению значения магнитной индукции. Такое предположение подтверждается тем, что пучки движущихся заряженных частиц, например электронов в электронно-лучевой трубке, создают магнитное поле [4].

Вычислим значение индукции магнитного поля Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , создаваемого отдельной движущейся заряженной частицей, исходя из закона Био–Савара–Лапласа:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Для простоты предположим, что все носители тока в элементе тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru имеют одинаковый заряд Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и одинаковую скорость упорядоченного движения Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Пусть концентрация заряженных частиц, т. е. их число в единице объема, равна n, а площадь поперечного сечения элемента тока равна S. Тогда, в предположении равномерного распределения тока по сечению проводника, сила тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . Плотность тока Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru [5]. Выражение для элемента тока можно преобразовать следующим образом:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ,

где учтено, что векторы Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru имеют одинаковое направление. Так как Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – объем элемента тока, то Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – число носителей тока в этом элементе. Тогда Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Умножим обе части равенства векторно на Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru : Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – и подставим в (1.1). В результате получим

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Последнее равенство перепишем в виде

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ,

где Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – индукция магнитного поля, создаваемого совокупностью движущихся заряженных частиц ( Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – число частиц). Отсюда индукция магнитного поля Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru в точке А от одной заряженной частицы, находящейся на расстоянии r от точки А (рис. 13), будет равна

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.8)

Модуль магнитной индукции

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . (1.9)

Из (1.8) и (1.9) следует: неподвижная Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru заряженная частица не создает магнитного поля ( Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ); индукция магнитного поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряженной частицы до рассматриваемой точки; индукция магнитного поля равна нулю на прямой, совпадающей с направлением скорости частицы Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ; максимальное значение магнитной индукции имеет место в направлениях, ортогональных вектору ее скорости Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Из выражения (1.8) следует, что вектор Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ортогонален плоскости, в которой находятся вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (рис. 13). Для частицы с положительным зарядом q направление вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru удобно определять по правилу правого винта: при ввинчивании буравчика в направлении скорости Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru конец ручки буравчика вращается в направлении линий магнитной индукции. При этом линии магнитной индукции представляют собой окружности, центры которых находятся на прямой ОС (рис. 13). Плоскости, в которых лежат линии магнитной индукции, перпендикулярны ОС. Одна из линий магнитной индукции показана на рис. 13. Если Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , то линии индукции имеют направление, противоположное указанному.

 
 

При применении формулы (1.8) предполагается, что всякое изменение положения частицы в пространстве, а также величины и направления ее скорости Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , мгновенно скажется на величине и направлении индукции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru . В действительности это не так. Если частица изменила свое положение или скорость, то только через время Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (τ – время запаздывания, Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – скорость света) сигнал об этом дойдет до точки наблюдения. По этой причине (1.9) можно применять, если Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

1.6. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции
(закон полного тока)

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме: циркуляция вектора магнитной индукции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru. Иначе говоря,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru где Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – элементарное перемещение вдоль замкнутого контура l.

Докажем теорему для случая, когда ток I течет по прямому бесконечно длинному проводнику, а замкнутый контур l расположен в плоскости, перпендикулярной току (рис. 14).

Циркуляция вектора магнитной индукции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ruможет быть записана в виде

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ,

где Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – индукция магнитного поля прямого тока; Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – проекция вектора элементарного перемещения Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru на направление вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Из рис. 15 видно, что Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru с хорошей степенью точности. Таким образом,

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (1.10)

Если изменить направление тока на рис. 14 на противоположное, то изменится направление вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru на противоположное в каждой точке пространства. Противоположной по знаку станет циркуляция вектора Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru для выбранного направления обхода контура. При этом в равенстве (1.10) ток следует считать отрицательным и подставлять его значение в формулу (1.10) со знаком минус. Таким образом, ток следует считать положительным, если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта. В противном случае ток надо считать отрицательным.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Если контур l не охватывает ток (рис. 16), то

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

В случае контура произвольной формы (рис. 17) элементарное перемещение Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru разложим на две составляющие, перпендикулярную Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и параллельную Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru вектору магнитной индукции:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru

Так как Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru доказательство теоремы для случая контура произвольной формы сводится к рассмотренному выше случаю.

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru Можно показать, что теорема о циркуляции Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru (или закон полного тока) справедлива в общем случае для системы токов произвольной формы и произвольного замкнутого контура:

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru , (1.11)

где Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – токи, охватываемые контуром, причем Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru берется с плюсом, если направление Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru и направление обхода контура связаны правилом правого винта, и с минусом в противном случае.

Если контур находится в проводящей среде, в которой существует упорядоченное движение зарядов, теорему (1.11) удобно представить в виде

Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru ,

где S – любая поверхность, ограниченная контуром l; Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru – проекция плотности тока на нормаль к элементу поверхности Взаимодействие токов. Магнитная индукция - student2.ru .

Наши рекомендации