Барометрическая формула

Атмосфера, то есть воздушная оболочка Земли, обязана своим существованиям наличию теплового движения молекул и силы притяжения их к Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное распределение молекул по высоте. Соответственно этому, устанавливается определенный закон изменения давления воздуха с высотой, который нетрудно найти.

Возьмем вертикальный столб воздуха. Считаем, что при х=0, y поверхности Земли р=р₀ , а на высоте х давление равно р. При изменении (увеличении) высоты на dx давление изменяется (уменьшается) на dp. Известно, что давление воздуха на некоторой высоте равно весу вертикального столба воздуха с площадью равной единице, находящегося над этой высотой. Поэтому, dp равно разности весов столбов воздуха с площадью s=1 м² на высотах x и x+dx, то есть, равно весу столба воздуха высотой dx с площадью основания 1 м²:

p-dp-p= -dp= ρgdx, т. е., dp= -ρgdx, плотность ρ= m₀N/V= m₀n, (m₀N = m – масса всех молекул).

Из молекулярной физики известно, p= nkT => n= p/kT => ρ= m₀ p/kT

и тогда, подставляя значение плотности, получим: dp= (-m₀g/kT)pdx. После разделения переменных: dp/p= (-m₀g/kT)dx

Считая температуру постоянной на всех высотах (что не так) после интегрирования найдем:

lnp= (-m₀g/kT)x +lnC , откуда: p= Ce^(-m₀^g/kT)x . Постоянную C находим из начальных

условий х= 0 р= р₀ то есть р₀=C и тогда:

р= р₀e^(-m₀^g/kT)x

или с учетом m₀= M/N_A : р= р₀e^(-Mg/RT)x - барометрическая формула, т.е., давление с высотой убывает по экспоненциальному закону.

Для градуировки барометров необходимо внести поправки на Т. Так как, давление пропорционально концентрации молекул в единице объема, то: n= n₀ e^(-mg/kT)x - закон убывания концентрации молекул, а значит, плотности с высотой.

Видно, что атмосфера Земли в принципе, простирается до ∞. На больших высотах необходимо учесть, что g – меняется с высотой: g(r)= γM/(r+x)² .

рис.10

Распределение Больцмана

Барометрическая формула выражает зависимость концентрации молекул газа, находящегося в поле сил тяжести. Величина mgx представляет собой потенциальную энергию молекул на высоте х. Можно также сказать, что формула

n= n₀e^(-m₀ ^g/kT)x

дает нам число частиц n, энергия которых n=m₀gx, если число частиц с энергией, равной 0 равно n₀ (отсчет х снизу).

Нет оснований считать, что поведение газа изменится, если вместо силы тяжести на него будет действовать какая либо другая сила, а выражение для энергии будет иметь другой вид.

Если газ находится в каком - либо другом силовом поле, так, что его частицы обладают некоторой потенциальной энергией, то число частиц, имеющих заданную потенциальную энергию U, определяется формулой

n= n₀e^-U/kT – формула Больцмана

Она позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового равновесия обладают энергией U:

n/n₀= e^-U/kT

Отсюда видно, что доля n/n₀ частиц с энергией U, т.е., их распределение по энергии определяется (кроме U) температурой.

При данной Т доля молекул с той, либо иной энергией зависит от U и быстро уменьшается с ростом энергии. Доля молекул с большой энергией мала. И чем ниже Т, тем быстрее n/n₀ убывает с ростом U.

Величина n/n₀ в формуле имеет также смысл вероятности n молекул из всего числа n₀ иметь энергию U.

рис.11

Функция распределения

В уравнение кинетической теории идеальных газов входит средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, которая определяется в свою очередь их средней квадратичной скоростью. Смысл средней квадратичной скорости заключается в том, что это та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы (если бы их скорости были одинаковы, а направления равновероятны), чтобы давление было таким, каким оно является в действительности. На самом деле, однако, скорости молекул не одинаковы и это учитывалось при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории. На это указывают и опытные факты, в частности, эксперименты Штерна и Ламмерта. Полоска мишени в этих опытах оказывалась не резкой, а размытой. Об этом свидетельствует и закон распределения молекул по высоте, то есть, барометрическая формула. Если бы все молекулы имели одинаковую скорость, то распределение было бы иным. Они все поднимались бы до одной высоты mgh = mv²/2 => h= v²/2g, а затем возвращались бы к Земле с первоначальной v, то есть вели бы себя, как брошенное тело. Все молекулы были бы равномерно распределены по высоте. Атмосфера имела бы резкую границу, чего нет на самом деле.

Благодаря хаотичным движениям молекул и их взаимным столкновениям, молекулы газа каким-то образом распределены по скорости, так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные. Несмотря на хаотичность движений, на случайный характер столкновений и, вызываемых ими изменений скорости молекул, их распределение по скорости, как показывают теория и опыт, оказывается не случайным, не произвольным, а вполне определенным. На его характер не влияют ни столкновения между молекулами, ни даже внешние поля. Оно является однозначным и единственным. И это не только не противоречит представлению о хаотичности молекулярных движений, а именно этим и обусловлено.

При поиске распределения частиц по скорости требуется найти число частиц, скорости которых (или их компоненты v_х, v_y, v_z) лежат в определенном интервале значений скорости (или компонентов скорости). Очевидно, что число ∆n частиц в единице объема, скорости которых лежат в некотором интервале от v до v+∆v, тем больше, чем больше этот интервал, то есть ∆n~∆v или ∆n=k∆v, где k – коэффициент пропорциональности.

Ясно, что ∆n зависит от самой скорости, т. к., в одинаковых интервалах, но для разных значений скорости число частиц будет разное, как не одинаково, например число людей возраста 99-100 лет и 30-31 года при одинаковом размере интервала – 1 год. Значит коэффициент пропорциональности k зависит от скорости, т.е., k = f(v).

Кроме того, величина Dn должна быть пропорциональна общему числу частиц в единице объема, значит формула для Dn имеет вид: Dn = nf(v) ∆v или ∆n/n = f(v) ∆v.

Значит, ∆n/n – доля частиц в единице объема газа, скорости которых лежат в

интервале от v до v+∆v , а f(v) – функция распределения. Задачей статистики является найти её вид. Её смысл ясен из выражения

f(v)= ∆n/n∆v при ∆v=1 м/с

Т.е., это доля частиц, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей вблизи скорости v.

Переходя к пределу можно записать:

dn/n=f(v)dv

здесь величина dn/n имеет смысл вероятности того, что любая частица, содержащаяся в единице его объема, имеет скорость в интервале dv вблизи скорости v.

Величине же функции распределения f(v) можно приписать смысл вероятности любой частице в единице объема иметь скорость заключенную в единичном интервале скоростей dv вблизи скорости v. Ее называют, поэтому плотностью вероятности.

f(v)=dn/ndv

Полученная ранее барометрическая формула обязана своим видом тому, что скорости молекул не одинаковы, а распределены определенным образом. Характер этого распределения и определяет вид зависимости плотности молекул от высоты.

n= n₀е^(-mg/kT)x

Пользуясь этой формулой можно найти вид функции распределения молекул по скорости.

Возьмем сосуд с газом в пустом пространстве в поле сил тяжести. Газ находится в состоянии равновесия и его молекулы каким-то образом распределены по скорости. Сила тяжести на Z компоненту скорости (по вертикали), поэтому найдем распределение молекул по значению составляющей скорости v_z. Движение вверх вдоль оси Z сопровождается уменьшением Z компоненты скорости. Если на начальной высоте Z₀ скорость равна v_z0, то на высоте Z значение v_z можно найти из закона сохранения энергии:

m(v_z0)²/2= m(v_z0)²/2+mgZ (*)

Молекулы с энергией m(v_z0)²/2≤mgZ не могут подняться выше Z=(v_z0)²/2g, они после подъема до Z падают вниз c ускорением.

Выделим на высоте Z слой dZ с площадью S=1. Газ в слое состоит из движущихся вверх и вниз молекул (нас интересуют молекулы вдоль границы Z). Разница между молекулами снизу и сверху состоит в том, что молекулы, приходящие снизу, имеют Z-компоненту скорости с v≥√2gZ, в то время, как молекулы, приходящие сверху, могут иметь Z-компоненту с любыми скоростями от 0 до ∞.

В условиях равновесия число молекул в слое должно быть постоянно, число молекул, проходящих сверху вниз, должно быть равно числу молекул, проходящих снизу вверх. На высоте Z₀ число молекул в единице объема с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_z0 до v_z0+dv_z0 определяется выражением: dn_z0= n_z0f(v_z0)dv_z0

∞ √2gz

∞ √2gz

В единицу времени слой на высоте Z пересекает n_z0f(v_z0)dv_z0 молекул, а общее число молекул, пересекающих слой снизу вверх (обозначим его через N_↑) равно

N_↑=∫n_z0v_z0f(v_z0)dv_z0= n_z0∫v_z0f(v_z0)dv_z0

∞

∞

Таким же образом число молекул, пересекающих слой сверху N↓=∫n_zv_zf(v_z)dv_z=n_z∫ v_zf(v_z)dv_z

∞

∞ √2gz

Приравняв N_↑ и N↓, разделив на n_z0 и учтя барометрическую формулу n_z/n_z0=е^(-mg/kT)z

Получим: ∫f(v_z0)v_z0dv_z0= е^(-mg/kT)z ∫ f(v_z)v_zdv_z

∞

∞

Из закона сохранения энергии (*) при дифференцировании получим: v_z0dv_z0= v_zdv_{z ,} тогда

∫f(v_z0)v_zdv_z=e^-∫f(v_z)v_zdv_z

заменили предел интегрирования т. к. v_Z изм. от 0 до µ

то есть f(v_z)=f(v_z0)е^(-mg/kT)z (**)

Сравнивая это с законом сохранения энергии (*) можно убедится, что функции f(v) должны иметь вид:

f(v_z)=Ае и f(v_z0)=Ae[D1]

Значит f(v_z)=Ае

Число молекул в единице объема, с Z компонентой скорости, лежащей в интервале от v_Z до v_Z+ dv_Z выражается формулой

dn=nAe dv_Z; a dn/n=Ae dv_z –

∞ -∞

∞ -∞

вероятность того, что Z-комп. скорости любой молекулы газа равна Z_Z с точностью до dv_Z.

Постоянная А находится из усл. нормировки ∫ dn/n=A∫ e^- dv_z=1

∞ -∞

Вероятность того, что молекула газа обладает скоростью с любым значением Z компоненты: А=(∫ е^- dv_z)^-1

∞ -∞

Вводится переменная х² = m(v_z)²/2kT => v_Z = √2kT/m x => dv_z = √ dx

Интеграл сводится к ∫ e^-х dx = √ π и тогда A = √m/2πkT

И формула распределения принимает вид: f(v_z) = dn/ndv_Z = (m/2πkT)^1/2×e[D2]

f(v_Z)→0 при v_Z→∞

Видно,что доля молекул с Z-компонентой скорости равной 0 не равна 0, она равна А и с повышением Т уменьшается.

Мы получили распределение молекул по Z- составляющей скорости в поле сил тяжести, но это не означает, что распределение связано с действием силы тяжести. И что mg создает это распределение. Сама барометрическая формула является следствием распределения молекул по скорости. Сила тяжести лишь «проявила» существование в газе распределения, поэтому в f(v) сила тяжести не входит (нет g).

рис.12