Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Теоретический материал

Уравнения состояния идеального газа:

а) уравнение Менделеева-Клапейрона: ;

б) соотношение между давлением и концентрацией: ,

где р, V, T – давление, объем, температура идеального газа; m, M - масса газа и молярная масса; R=8,31 Дж/(моль·К) – универсальная газовая постоянная; = 1,38·10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана; - концентрация молекул; N_A =6×10²³ моль^-1 – постоянная Авогадро; V_M – молярный объем.

Закон Дальтона

,

где p – давление смеси различных газов, p_i – парциальное давление газа, входящего в состав смеси.

Основное уравнение кинетической теории газов

,

где E_к - кинетическая энергия поступательного движения N молекул газа, - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа, m₀ – масса одной молекулы; - средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа:

.

Средняя арифметическая скорость: ;

Наиболее вероятная скорость: .

Распределение Максвелла по скоростям

где dN – число молекул идеального газа из общего числа N его молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале от u до (u+du), - относительная скорость молекул.

Распределение Максвелла по энергиям

где dN – число молекул идеального газа из общего числа N его молекул в единице объема, кинетические энергии которых заключены в интервале от Е до (Е+dЕ).

Барометрическая формула

,

где p – давление на высоте h, p₀ – давление на уровне моря (h=0).

Закон распределения частиц в потенциальном силовом поле (распределение Больцмана)

,

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и h₀=0 соответственно, Е_п – потенциальная энергия молекулы в поле консервативных сил.

Основные типы задач и методы их решения

Классификация

1. Определение неизвестных параметров идеального газа, смеси нереагирующих между собой газов.

Метод решения. Использование уравнения состояния идеального газа, закона Дальтона и основного уравнения кинетической теории газов.

2. Определение характеристик молекулярного движения по распределению Максвелла.

Метод решения. Прямое использование распределения Максвелла.

3. Определение характеристик молекулярного движения по распределению Больцмана.

Метод решения. Применение распределения Больцмана, барометрической формулы.

Примеры

Задача 1. Сколько молекул кислорода находится в объеме 1 л при температуре 0° С и давление 133,3 Па?

Решение

Воспользуемся формулой, выражающей давление газа через концентрацию молекул

= .

Откуда искомое число частиц

.

После подстановки значений, получим:

Задача 2. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p₁=1 MПа и температуре T₁=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до T₂=290 К. Определить давление p₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение

Выразим искомое давление из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

.

Массу гелия в баллоне в конечном состоянии m₂ выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона

.

Массу m₁ можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

.

С учетом этого выражения масса m₂

.

Окончательно для искомого уравнения имеем:

,

или

.

После подстановки значений, получим:

Задача 3. Определить давление и молекулярную массу смеси газов, состоящей из 10 г кислорода (О₂) и 10 г азота (N₂), которые занимают объем 20 л при температуре 150° С.

Решение

По закону Дальтона давление смеси газа

,

где парциальное давление p_i каждого газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона

_.

Тогда давление смеси

.

После подстановки значений, получим:

Молярную массу смеси выразим через массу и количество вещества смеси газа

После подстановки значений, получим:

Задача 5. Давление газа равно 10⁴ Па, а средняя квадратичная скорость равна 500 м/c. Найти плотность r этого газа.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории может быть представлено следующим образом:

.

Следовательно,

кг/м³.

Задача 4. Какая часть молекул воздуха (M=29·10^-3 кг/моль) при температуре 17°С обладает скоростями, отличающимися не более чем на 0,5 м/с от скорости u = u_В?

Решение

Наиболее вероятная скорость

.

Относительная скорость и относительная величина интервала

; = 1,2×10^-3.

Поскольку можно считать, что ,

и согласно распределению Максвелла

.

Задача 6. Найти отношение числа молекул газа, скорости которых лежат в интервале от u до (u+ ) при температуре Т₁ к числу молекул, скорости которых лежат в том же интервале при температуре Т₂ = 2Т₁. Считать, что , .

Решение

Согласно распределению Максвелла, учитывая, что , число молекул газа, скорости которых лежат в интервале от u до (u+ ) в первом и втором случаях:

, ,

где

, ;

, .

Найдем отношение числа молекул газа:

.

Задача 7. На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшается в 2 раза? Температура воздуха 0° С. Считать, что температура воздуха Т, молярная масса M и ускорение силы тяжести g не зависят от h.

Решение

Исходя из определения плотности и с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона имеем

.

Давление воздуха на высоте h в соответствиис барометрической формулой равно

.

Таким образом, плотность воздуха на высоте h дается выражением

.

После логарифмирования и преобразования данного выражения, получим окончательно

=5,4 км.

Задача 8. Определить массу m газа, заключенного в вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h. Давление газа на уровне нижнего основания цилиндра p₀, температура газа Т, молярная масса газа M. Считать, что Т и g не зависит от h.

Решение

Поскольку давление, а, следовательно, и плотность газа, заключенного в вертикальном сосуде, зависит от высоты, то массу газа необходимо находить путем интегрирования выражения

.

С учетом того, что плотность газа уменьшается с высотой согласно закону , получим

.

Приведем данный интеграл к табличному виду, используя метод замены переменной:

, где .

Откуда

.

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Найти число молекул в 1 см³ и плотность азота при давлении 1,0×10^{-11 мм.рт.ст. и температуре 15}°С. [n=3,4×10⁵ см^-3; r = 1,56×10^-14кг/м³]

2. В баллоне вместимостью V=25 л находится водород при температуре T=290 К. После того как часть водорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Dp=0,4 МПа. Определить массу m израсходованного водорода. [8,3 г]

3. Оболочка аэростата вместимостью V=1600 м³, находящегося на поверхности Земли, на k=7/8 наполнена водородом при давлении p₁=100 кПа и температуре T₁=290 К. Аэростат подняли на некоторую высоту, где давление p₂=80 кПа и температура T₂=280 К. Определить массу Dm водорода, вышедшего из оболочки при его подъеме. [6,16 кг]

4. В баллоне, объем которого 0,250 м³, находится газ при температуре 327°С, состоящий из смеси СО₂ и паров воды. Число молекул углекислого газа N₁ = 6,6×10²¹ , молекул воды N₂ = 0,9×10²¹. Вычислить давление и молярную массу газовой смеси. [p = 244 Па, M = 41 г/моль]

5. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона при давлении 1,5 атм. и температуре и 27°С, равна r = 2,0 г/л. Сколько атомов гелия содержится в 1 см³ газовой смеси? [7×10¹⁸ см^-3].

6. В баллоне емкостью 2 м³ при температуре 300 К и давлении 0,6 мкПа содержится смесь азота (N₂) и окиси азота (NO) общей массой 14 кг. Определить массу окиси азота. [13,5 кг]

7. Найти плотность газовой смеси, состоящей по массе из одной части водорода к восьми частей кислорода при давлении Р = 100 кПа и температуре Т = 300 К. [0,4 кг/м³]

8. В сосуде емкостью 0,5 л находится 1 г парообразного йода. При температуре 1000° С давление в сосуде оказалось равным 700 мм.рт.ст. Найти степень диссоциации молекул йода J₂ на атомы J при этих условиях. Масса одного киломоля йода равна 234 кг/кмоль. [a = 0,12]

9. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на = 1 % от: а) наиболее вероятной скорости; б) средней квадратичной скорости. [а) ; б) ]

10. Какая часть молекул кислорода при 0° С обладает скоростью от 100 м/c до 110 м/c? [0,4%]

11. Найти отношение числа молекул газа, скорости которых лежат в интервале от до ( ) при температуре Т₁, к числу молекул, скорости которых лежат в том же интервале при температуре Т₂ = 2 Т₁. Рассмотреть случаи: а) , б) . [а) 2,5; б) 0,052]

12. Установленная вертикально закрытая с обоих концов труба наполнена кислородом (О₂). Высота трубы h = 200 м, объем V = 200 л. Стенки трубы имеют всюду одинаковую температуру Т = 293 К. Давление газа внутри трубы, вблизи ее основания равно Р₀ = 10⁵ Па. Определить количество молекул кислорода, содержащихся в трубе. [N = 4,19×10²⁴]

13. На какой высоте h плотность кислорода уменьшается на 1%? Температура кислорода 27° С. [h = 78 м]

14. У поверхности Земли отношение концентраций газов с массами m₁ и m₂ в атмосфере равно К₀. Каким будет это отношение на высоте h километров? Температуру считать постоянной и равной Т К. [ ]

15. На какой высоте содержание водорода в воздухе по отношению к углекислому газу увеличится вдвое? Среднюю по высоте температуру считать равной 40° С. [h = 4,19 км]

16. Зная закон распределения молекул по скоростям, получить его выражение для распределения молекул по относительной скорости , где - наиболее вероятная скорость молекул.

17. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление а) на высоте 10 км, б) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для Т = 300 К. Давление на уровне моря принять равным p₀. [p₁ = 0,33p₀; p₂ = 1,26 p₀]