Вихідна потужність та оптимальний зв’язок
РОЗДІЛ 5
ЛАЗЕР. РЕЖИМ ГЕНЕРАЦІЇ
Пропозиція про використання вимушеного випромінювання в системах з інверсною населеністю для підсилення НВЧ сигналів були висловлені незалежно Вебером, Гордоном, Таунсом, Басовим і Прохоровим. Середовище з інвертованою населеністю рівнів може підсилювати випромінювання на частотах поблизу атомного переходу. В цьому розділі ми розглянемо процеси, що протікають в середині оптичного резонатора, заповненого активним середовищем. Слабі флуктуаційні поля мод в цьому випадку будуть підсилюватися. Для деяких мод з найменшими втратами (висока добротність Q) підсилення може перевищити втрати. Ці моді будуть наростати по інтенсивності до того часу, поки ефект насичення не обмежить підсилення на рівні втрат і не встановиться стаціонарна генерація. В цьому ж розділі будуть розглядатися режими роботи лазера
Лекція 13
Виникнення генерації
Умови генерації.
Найдемо умови генерації лазера, тобто визначимо густину інверсної заселеності рівнів активного середовища, яка відповідає порогу генерації, і частоту, на якій випромінює лазер. Для того, щоб краще зрозуміти природу генерації, можливо, виведемо умову генерації двома незалежними способами.
В цій лекції викладається перший підхід, який ґрунтується на законіABCD. Умова генерації випливає з вимоги відтворення пучка, його амплітуди і фази після кожного повного обходу резонатора. Для опису пучка зручно ввести функцію
. (13.1)
Параметр є комплексним параметром пучка і визначається співвідношенням
(13.2)
а множник – комплексна амплітуда хвилі в точці . Комплексну величину представимо у вигляді , так що інтенсивність поля в точці відноситься до інтенсивності в точці як , а відповідна зміна фази стає рівною – .
Проходження гаусового пучка через деякий оптичний елемент, що відмічений індексом , описується рівнянням:
, (13.3)
яке перетворюється до виду:
, (13.4)
де – коефіцієнт перетворення комплексної амплітуди, що здійснюється –елементом. Оптичний елемент тепер характеризується матрицею ABCD і крім цього коефіцієнтом перетворення . З попередніх лекцій відомо, що для шару однорідного середовища, яке може підсилювати або поглинати електромагнітну хвилю, і яке обмежене площинами і :
. (13.5)
Тут – комплексна постійна поширення, яка враховує зміну фази і зміну амплітуди в результаті затухання чи підсилення хвилі. Сферичне дзеркало, матриця ABCD якого приведена в попередніх лекціях, має коефіцієнт перетворення , де – коефіцієнт відбивання по потужності, – фазовий зсув, що виникає при відбиванні.
Результат послідовного проходження гаусового пучка через оптичних елементів можна представити в наступній формі:
, (13.6)
де ABCD – елементи добутку декількох AsBsСsDs – матриць, – фаза коливань при проходженні тих же елементів.
Застосуємо цей формалізм до виведення умови генерації лазера. Розглянемо резонатор, який зображений на рис. 13.1.
Рис.13.1 Поширення гаусового пучка з комплексним параметром в прямому і зворотному напрямах в резонаторі, заповненого активним середовищем,
Він складається з двох дзеркал з коефіцієнтами відбивання по амплітуді i відповідно. Резонатор заповнений підсилювальним середовищем, яке характеризується комплексною постійною поширення Прослідкувавши еволюцію гаусового пучка за один прохід резонатора, будемо мати:
(13.7)
Використовуючи (13.5) і (16.6), вважаючи, що отримаємо:
. (13.8)
Будемо вимагати, щоб форма пучка, а також його комплексна амплітуда відновлювалась після кожного обходу резонатора. Це буде тоді коли:
(13.9)
де – ціле число. Перша умова виконується у випадку Друга умова задовольняється тоді, коли або з врахуванням (13.8):
(13.10)
Це і є умова генерації лазера, яка відповідає інтуїтивному уявленню про те, що в стаціонарному режимі генерації амплітуда і фаза поля приймають одні і ті ж значення після кожного проходу пучка по резонатору. Ця обставина буде використана нижче для визначення порогової густини інверсії, а також частоти генерації.
Порогова інверсія
Порогове підсилення знаходьмо з рівняння:
(13.11)
яке виникає в результаті прирівнювання один одному модулів обох частин (13.10). Рівність (13.11) означає, що після повного циклу обходу резонатора амплітуда пучка співпадає з вихідним значенням. Використовуючи (13.10), його можна написати у вигляді:
(13.12)
Комплексна постійна поширення , яка приведена в 11 лек. (11.48), можна переписати так:
(13.13)
де – коефіцієнт, який враховує всі види розподілених втрат. Лазерний перехід описується доданками, що містить i .
У відповідності до (13.13) показник підсилення середовища визначається виразом:
(13.14)
Таким чином умова генерації приймає вид:
(13.15a)
або (13.15б,)
де – порогове значення показника підсилення. Використовуючи залежність показника підсилення від величини інверсної заселеності можна умову (13.15) перетворити в умову для порогової густини інверсії в центрі лінії.
(13.16а)
де – ширина лінії підсилення. Використовуючи вираз для постійної часу релаксації поля в резонаторі (середній час життя фотона в резонаторі) запишемо вираз (13.16) у формі:
(13.16б)
Приклад. Інверсія в He–Ne лазері . Зробимо оцінку порядку величини порогової інверсії для наступних даних: мкм, Гц, c і см. Підставивши ці дані в формулу (13.16), знаходимо, що см-3.
В твердотільних лазерах більш ширші лінії і більші часи спонтанного розпаду приводить до значно вищого значення порогової інверсії. Типове значення порогової інверсії на рубіні ( ) складає см-3.
Частота генерації.
Частота генерації знаходиться прирівнюванням фаз обох частин (13.10). Отже набіг фази за повний обхід резонатора рівний , де – ціле число,
(13.17)
Резонансна частота “холодного” резонатора, позначена індексом знаходиться з (13.17) підстановкою
(13.18)
Використовуючи цей вираз перепишемо (13.17) у вигляді:
(16.19)
З лекції 11 випливає, що і з (13.14) В зв’язку з цим (16.19) приймає вигляд:
(13.20)
Очікуючи, що буде значно ближче до , ніж до замінимо в (13.20) на Завдяки цьому Порогове підсилення розраховується по формулі (13.15), і тому а з врахуванням (7.10):
(13.21)
де – ширина резонансної кривої холодного резонатора. Якщо частота атомного переходу не співпадає з частотою резонатора , то частота генерації згідно (13.21) зсунута від в напрямку до . Це явище носить назву “затягування” частоти. Здебільшого і частота генерації близька до .
Приклад.Затягування частоти в He-Ne лазері. Скористаємося наступними значеннями параметрів He-Ne лазера, який працює на мкм, Гц, По формулі (7.10) Гц, тому Якщо і відрізняються на Гц, частота генерації затягнута на Гц від . Це малий, але для деяких застосувань досить помітний ефект. На рис.13.2 відображено графічно затягування частити.
Рис.13.2. Ефект затягування частоти генерації лазера. 1 – залежність фазової затримки для холодного резонатора (пунктирна пряма лінія), 2 – дисперсійна крива активного середовища при наявності накачування, 3 – контур підсилення активного середовища.
Лекція 14
Вихідна потужність лазера
В попередніх лекціях було розглянуто порогові умови генерації. Було отримано вираз для мінімальної інверсії, необхідної для виникнення генерації. В цій лекції буде обговорюватися проблема перетворення надлишку потужності накачування над пороговою в когерентне вихідне лазерне випромінювання. Зокрема будуть отримані вирази для вихідної потужності лазера в залежності від параметрів активного середовища, резонатора і накачування.
Швидкісні рівняння
Аналіз почнемо з ознайомлення з широко поширеною чотирирівневою енергетичною схемою, зображеній на рис. 14.1
Рис. 14.1. Енергетична діаграма, яка пояснює роботу чотирирівневого лазера: 0 – основний стан, 1 – нижній лазерний рівень, 2 – верхній лазерний рівень, 3 – четвертий рівень, через який проходить накачування 2 рівня
Лазерний перехід є перехід між рівнями . Рівень 0 відповідає основному стану системи. Повні часи життя рівнів 2 і 1 відповідно рівні і Час життя верхнього лазерного рівня визначається випромінювальним спонтанним переходом на рівень 1 з ймовірністю , безвипромінювальним переходом на рівень 1, а також випромінювальними і безвипромінювальними переходами на інші рівні:
(14.1)
де
Густини атомів на рівнях 1 і 2 позначимо відповідно через і , кратності виродження рівнів — через і , а швидкість накачування (атомів/c×м3) — і . Накачка на нижній лазерний рівень небажана, оскільки вона приводить до зниження підсилення. В багатьох випадках, наприклад при накачуванні вільними електронами або в результаті хімічних реакцій деяке заселення нижнього рівня не уникнути, і його потрібно враховувати при аналізі роботи лазера.
Напишемо вирази для ймовірностей індукованих переходів між рівнями 1 і 2.
(14.2)
(14.3)
Зміна населеності рівнів у спектрально-однорідному середовищі в результаті сумісної дії накачування, спонтанних та індукованих переходів описується наступними рівняннями:
(14.4)
Стаціонарний розв’язок цих рівнянь , тобто маємо алгебраїчну систему рівнянь, яку можна розв’язати відносно
(14.5)
де
(14.6)
Рівноважне значення інверсії при відсутності поля знаходимо із рівняння (14.5) підставивши
(14.7)
Використовуючи останній вираз, перепишемо (14.5)
(14.8)
(2.18.9)
Вся складність залежності інверсії від швидкостей релаксації та кратностей виродження рівнів міститься в Ф. Перш ніж записати остаточний вираз, розглянемо найпростішу ідеалізацію, коли і В цьому випадку тоді підсилення ( ) має місце, коли
(14.10)
Зауважимо, що при можна отримати деяке підсилення ( ) і в випадку (або ), якщо виконана умова (14.10). Пояснення дуже просте: із (14.2) і (14.3) випливає, що при ймовірність індукованого переходу 2®1 більша від ймовірності оберненого переходу 1®2.
Для більшості лазерів умова виконується із запасом. В такому випадку і (14.8) приймає вигляд:
(14.11)
Цим співвідношенням будемо користуватися в наступних викладках, як основним при розрахунку вихідної потужності лазера.
Вихідна потужність та оптимальний зв’язок
Розглянемо співвідношення між підсиленням та втратами в резонаторі лазера при наявності генерації. З допомогою (14.11) вираз для показника підсилення можна привести до вигляду:
(14.12)
де
В стаціонарному режимі підсилення постійне і не може перевищувати порогову величину
(14.12a)
Інтенсивність випромінювання, яке генерується, повинно наростати з часом, так як при підсилення за прохід перевищує втрати. Якщо , можливе лише затухання. Отже, в режимі стаціонарної генерації . Підставши в (14.12) і розв’язавши це співвідношення відносно Wінд(n), отримаємо у випадку перевершення порогу
(4.13)
Повна потужність, яка вимушено випромінюється атомами, є рівною де – об’єм, який займає мода. Інверсна густина вище порогу залишається рівною пороговій величині (13.16)
(14.14)
поскільки , а остання величина в режимі стаціонарної генерації стабілізується на рівні Потужність вимушеного випромінювання атомів в надпороговому режимі роботи лазера є рівною:
(14.15)
Вияснимо роль параметрів, які входять в цю формулу. Візьмемо, наприклад, лазер з малим коефіцієнтом підсилення і дзеркалами, які однаково добре відбивають Тоді де – коефіцієнт к пропускання дзеркал. В даному випадку – – доля потужності, яка виводиться із резонатора на зовні. При цьому є являють собою відносні втрати, а – відносне підсилення за прохід. Спростимо трохи систему позначень, ввівши: – втрати в середині резонатора; – коефіцієнт зв’язку резонатора з вільним простором; – ненасичене підсилення за прохід. В цих позначеннях вихідна потужність лазера запишеться як
(14.16)
де – площа поперечного перерізу моди.
Максимум вихідної потужності досягається при
. (14.17)
Оптимальна величина вихідної потужності знаходиться підстановкою (14.17) в (14.16):
(14.18)
де – насичена інтенсивність, яка визначається з формули (12.):
.
Розраховані по формулі (14.16) типові графіки залежності від для різних значень , які фігурують в якості параметра, представлені на мал. 14.2. На цьому малюнку точками відмічені експериментальні значення вихідної потужності He-Ne лазера, який генерує на мкм. Відмітимо, що визначається перетином кривої з вісью і рівна в даному випадку 12%. Існування оптимального значення коефіцієнта зв’язку, який відповідає максимуму вихідної потужності, для кожного значення П очевидне.
Рис.14.2. Залежність вихідної потужності гелій-неонового лазера від коефіцієнта пропускання при різних рівнях втрат в резонаторі. 1– П=6%; 2 – П=3.5%; 3 – П=1.7%; 4 – П=0. Всі криві відносяться до
Розглянемо також залежність енергії, яка накопичена в резонаторі лазера, від коефіцієнта зв’язку . Енергія пропорційна відношенню Графіки залежності від Г приведені на рисунку 14.3. Як і треба було сподіватися накопичена енергія є монотонно спадаючою функцією коефіцієнта зв’язку :
Рис.14.3. Вихідна потужність і накопичена енергія в залежності від коефіцієнта пропускання дзеркал: ( )