Принцип неопределенности Гейзенберга

Если микрочастицы обладают свойствами волны, то, как и для волны, нельзя абсолютно точно указать точку локализации волны и ее направление распространения. Чем длиннее волновой цуг, тем точнее определено направление распространения, но тем больше неопределенность положения цуга. И наоборот, чем короче цуг волн, тем точнее определено положение цуга, но больше неопределенность направления распространения (рис. 3).

Рассмотрим в качестве примера дифракцию частицы на узкой щели. Положение частицы в момент прохождения через щель известно с точностью до ширины щели Δх. Но после прохождения щели направление распространения частицы становится неопределенным, где-то в пределах угла расположения хотя бы центрального дифракционного максимума. Появляется неопределенность импульса частицы . Из теории дифракции для световых волн известно, что угловому положению первого минимума, или краю центрального максимума, соответствует соотношение . Исключая синус угла φ, подставляя формулу длины волны де Бройля, получим соотношение, называемое принципом неопределенности Гейзенберга

. 7.3

Произведение неопределенности координаты частицы на неопределенность ее импульса не может быть меньше постоянной Планка. Принцип неопределенности Гейзенберга накладывает принципиальные ограничения на точность одновременного измерения пар величин. Например, чтобы точнее определить положение микрочастицы, наблюдаемой в микроскоп, надо освещать светом как можно меньшей длины волны, так как погрешность измерения равна длине волны. Но чем меньше длина волны фотонов, тем больший импульс они передают микрочастице

Аналогичное соотношение существует для пары величин энергия – время

. 7.4

Произведение времени нахождения частицы в некотором состоянии на неопределенность энергии частицы не может быть меньше постоянной Планка. Для стабильной частицы (Δt →∞) энергия может быть измерена с высокой точностью.

Принцип неопределенности не является применимым только к волнам де Бройля. Аналогичные соотношения существуют в радиотехнике, в акустике при излучении и приеме коротких сигналов. Например, чем короче сигнал, тем больше погрешность с измерения частоты.

Для квантовых микрочастиц неопределенность импульса и энергии сопоставима с самой величиной импульса и энергии. Это позволяет оценивать импульс и энергию частиц с помощью принципа неопределенности.

Уравнение Шредингера

Движение свободной, вне силовых полей, частицы описывается уравнением гармонической функции (функции синуса, косинуса, экспоненты с мнимым показателем) для волны де Бройля. Запишем, для удобства преобразований, при движении частицы вдоль координаты х уравнение волны де Бройля в виде экспоненты с мнимым показателем:

. (1)

Часть функции, зависящая от времени, определяет частоту колебаний. Часть, зависящая от координаты х, определяет распределение амплитуды пси-функции по направлению координаты х. Для свободной частицы это уравнение плоской волны . Здесь – волновой вектор, – длина волны де Бройля, i – мнимая единица..

Определим вид дифференциального волнового уравнения, решением которого может быть уравнение для амплитуды пси-функции. Для этого достаточно продифференцировать уравнение амплитуды дважды по координате х: . Откуда . Представим квадрат волнового вектора в виде и волновое уравнение для амплитуды пси-функции свободной частицы примет вид

. (2)

Преобразуем это уравнение для волны де Бройля свободной частицы в уравнение для движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией U, не зависящей от времени. Для этого запишем соотношение между импульсом и кинетической энергией частицы . Кинетическую энергию определим как разность между полной и потенциальной энергиями . Подставив в волновое уравнение квадрат импульса , получим

. (3)

Это так называемое амплитудное уравнение Шредингера для простейшего случая одномерного движения частицы для стационарных состояний, то есть не зависящих от времени. Здесь m – масса частицы, ħ = 1,056∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка.

При движении частицы в произвольном направлении следует определять производную для трех пространственных координат:

. (4)

Здесь – символ оператора Лапласа.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, подобно уравнениям Ньютона в классической механике.