Глава 2. Тайны квантовой механики 1 страница
В гл. 1 я попытался показать, что структура окружающего нас физического мира очень сильно зависит от законов математики (как это было показано на рис. 1.3), причем точность, с которой математика описывает фундаментальные физические аспекты, иногда представляется просто поразительной и заставляет вспомнить название знаменитой лекции Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Список блестящих математических описаний природных явлений действительно выглядит весьма впечатляюще. Сюда входят, например:
Геометрия Евклида, которая на расстояниях порядка метров имеет точность порядка диаметра атома водорода. Как я уже отмечал в гл. 1, общая теория относительности не позволяет ей быть абсолютно точной, однако для практических целей точность евклидовой геометрии всегда исключительно высока.
Механика Ньютона, точность которой доходит до10-7 (для дальнейшего повышения точности необходимо учитывать релятивистские эффекты).
Электродинамика Максвелла, которая в сочетании с квантовой механикой достаточно хорошо описывает взаимодействия при изменении масштаба в 1035 раз, т. е. от размеров элементарных частиц до межгалактических расстояний.
Эйнштейновская теория относительности, о которой я уже рассказывал в гл. 1. В той области, где она применима (и где она обобщает и включает в себя квантовую механику), точность этой теории доходит до 10-14, что на семь порядков превышает точность механики Ньютона.
Квантовая механика, которая является темой этой главы и также представляет собой весьма точную теорию. Например, в квантовой электродинамике, представляющей собой сочетание квантовой механики, электродинамики Максвелла и специальной теории относительности, точность некоторых расчетов доходит до 10-11. В частности, можно особо отметить, что используемая в квантовой электродинамике так называемая «система единиц Дирака» включает в себя вычисленное значение магнитного момента электрона 1,001159652(46), которое прекрасно согласуется с экспериментально найденным значением 1,0011596521(93).
Особенно важно то, что во всех указанных теориях применение математических методов не только обеспечивает исключительную эффективность и точность описания физической картины, но и представляет интерес для развития самой математики, поскольку некоторые наиболее плодотворные идеи ее развития возникли именно на основе теоретических построений физики. В качестве примера можно указать обширные разделы математики, возникновение и развитие которых было обусловлено физическими исследованиями:
• теория действительных чисел;
• геометрия Евклида;
• математический анализ и теория дифференциальных уравнений;
• геометрия симплексов;
• дифференциальные формы и уравнения в частных производных;
• геометрии Римана и Минковского;
• теория комплексных чисел;
• теория гильбертова пространства;
• теория функциональных интегралов... и т. д.
Одним из наиболее ярких примеров такого рода является, безусловно, дифференциальное и интегральное исчисление, которое Ньютон и ряд других выдающихся математиков разработали в качестве математического основания обширного раздела физики, ныне известного под названием ньютоновской механики. Дальнейшее использование разработанных ими методов для решения различных чисто математических задач оказалось исключительно благотворным для развития самой математики.
В гл. 1 я уже говорил о масштабах физических объектов, измеряемых в пределах от фундаментальных единиц (длина Планка и время Планка, которые столь малы, что для описания даже самой маленькой элементарной частицы нам необходимо увеличивать их в 1020 раз), через размеры и время жизни человека (интересно, что мы, люди, являемся наиболее устойчивыми структурами физического мира), и наконец до возраста и радиуса Вселенной. При этом я особо подчеркивал важность того, что мы используем два совершенно разных метода для описания объектов физического мира, которые лежат на разных концах пространственно-временной шкалы. Как показано на рис. 2.1 (он просто повторяет рис. 1.5 первой лекции), мы используем квантовую механику для описания малых, квантовых уровней активности и классическую механику на уровне крупных объектов. Я обозначу эти уровни через U (унитарность, квантовый уровень) и С (классический уровень) и еще раз хочу подчеркнуть, что мы имеем дело, по-видимому, с совершенно разными законами в зависимости от масштаба изучаемых объектов.
Рис. 2.1.
Мне, как и любому другому физику, представляется очевидным, что если мы правильно понимаем законы квантовой физики, то из нее должны выводиться законы классической физики. Проблема, однако, заключается в том, что на практике мы всегда пользуемся либо классическим, либо квантовым уровнем описания, что, к сожалению, напоминает подход древних греков, для которых было абсолютно естественным наличие в мире двух совершенно различных наборов законов природы, действующих соответственно на Земле и в мире Идей или божественных установлений. Величие и мощь подхода, развитого Галилеем и Ньютоном, заключаются именно в объединении этих двух наборов, позволяющем понимать мир в рамках единой системы физических законов. Похоже, что современная физика вновь возвращает нас к ситуации, когда мы имеем разные наборы законов для классического и квантового уровней описания мира.
Во избежание недоразумения мне бы хотелось сразу оговорить одно обстоятельство, связанное с рис. 2.1. Помещая рядом с именами Ньютона, Максвелла и Эйнштейна слова «классический уровень» или «детерминизм», я вовсе не хочу сказать, будто эти ученые сами верили в детерминизм поведения Вселенной. Мы просто не знаем этого точно, хотя почти с уверенностью можно утверждать, что Ньютон и Максвелл, например, не разделяли этой точки зрения, в то время как Эйнштейн ее поддерживал. Пометки «детерминизм» и «вычислимость» относятся лишь к созданным этими учеными теориям, а не к их личной вере. Точно так же к квантовому уровню добавлены слова «уравнение Шредингера», хотя я не думаю, что сам Шредингер считал свое уравнение пригодным для описания «всей физики». Я еще вернусь к этому вопросу, а пока просто напоминаю читателю, что люди и создаваемые ими теории – вовсе не одно и то же.
Двухуровневая картина на рис. 2.1 сразу вызывает очевидные вопросы: «Развивается ли Вселенная только в соответствии с законами квантовой механики? Можно ли объяснить все поведение Вселенной в рамках квантовой механики?» Прежде чем перейти к их обсуждению, я должен хотя бы очень кратко перечислить те проблемы, которые может описывать и объяснять квантовая механика.
• Стабильность атомов. До появления квантовой механики оставалось совершенно непонятным, почему электроны в атомах не падают по спирали на ядро. В классической физике существование устойчивых атомов запрещено.
• Спектральные линии. Только наличие в атомах квантовых энергетических уровней и переходов между ними позволяет объяснить появление линий излучения, частоты которых мы можем наблюдать и предсказывать совершенно точно.
• Химические силы. Образование и существование молекул обусловлены силами, имеющими принципиально квантово-механический характер.
• Излучение черного тела. Вид спектра абсолютно черного тела может быть объяснен только при условии квантового характера излучения.
• Надежность передачи наследственной информации. Биологические организмы осуществляют эту передачу квантовомеханическим путем на уровне молекул ДНК.
• Лазеры. Действие лазера основано на существовании индивидуальных квантовых переходов между квантовыми уровнями молекул, а также на квантовой природе самого светового излучения (фотоны являются частицами Бозе-Эйнштейна).
• Сверхпроводимость и сверхтекучесть. Эти явления, наблюдаемые при очень низких температурах, связаны с дальнодействующими квантовыми корреляциями (электронов и других частиц) в некоторых веществах.
•... и т. д., и т. д.
Другими словами, квантовая механика почти вездесуща и давно используется в окружающих нас бытовых приборах и в различных высокотехнологических изделиях (например, в компьютерах). Элементарные частицы описываются квантовой теорией поля (представляющей собой сочетание квантовой механики и специальной теории относительности Эйнштейна), точность которой, как я уже отмечал, доходит до10-11. Разумеется, приведенный список лишь частично отражает огромную роль квантовой механики в современной науке.
Мне хочется рассказать еще кое-что о квантовой механике. Рассмотрим рис. 2.2, на котором представлена схема типичного квантовомеханического эксперимента. В соответствии с квантовой механикой свет состоит из частиц, называемых фотонами. На рисунке показаны соответственно источник s (испускающий отдельные фотоны), экран р (на котором регистрируется попадание фотонов) и расположенная между ними перегородка с двумя щелями t и b. Если бы фотоны были просто отдельными частицами, то попадание каждого фотона на экран можно было регистрировать как отдельное событие. Закрыв одну из щелей, экспериментатор видит на экране некоторое распределение «попадания фотонов», а закрыв другую – некоторое другое распределение. Необычное, квантовое поведение фотонов проявляется, например, в том, что, открыв обе щели, экспериментатор вдруг обнаруживает на экране места, куда фотоны совершенно перестают попадать. По какому-то неожиданному правилу два различных события, в которых фотон мог участвовать, взаимно исключают (гасят) друг друга. Ничего подобно классическая физика не знает, в ней из двух возможных событий происходит либо одно, либо другое. Два варианта развития событий в классике всегда приводят к одному из результатов, варианты не могут «сговориться» и взаимно «исчезнуть».
Рис. 2.2. Эксперимент по рассеянию монохроматических фотонов при использовании перегородки с двумя щелями.
Результаты такого эксперимента могут быть описаны только в рамках квантовой теории, в соответствии с которой фотон по дороге к экрану вовсе не проходит через какую-нибудь одну из двух реально существующих щелей в перегородке. Его состояние описывается таинственной комбинацией из двух соответствующих вероятностей, усредненных по некоторым комплексным числам, т. е. имеет вид
w x (вероятность А) + z x (вероятность В),
где w и z – комплексные числа. Для описанного эксперимента «вероятность А» соответствует траектории stp (источник-верхняя щель-экран), а «вероятность В» – траектории sbp (источник-нижняя щель-экран).
Вероятности событий могут взаимно «погашаться» именно потому, что множители перед вероятностями являются комплексными числами. При рассмотрении поведения фотона в рамках обычной теории вероятностей множители w и z всегда являются действительными. В квантовой механике они представляют собой комплексные числа, что сразу усложняет картину и разрушает простую вероятностную интерпретацию эксперимента. Это же обстоятельство не позволяет также описывать волновую природу частиц введением неких «волн вероятности», поскольку мы имеем дело с комплексными волнами вероятностей. Комплексные числа образуются из действительных чисел и так называемой мнимой единицы i = √(-1). Их удобно изображать на двумерной плоскости, откладывая по оси х чисто действительные, а по оси у – чисто мнимые числа. В общем случае мы имеем комбинацию типа 2 + 3√(-1) = 2 + 3i, которая изображается точкой на плоскости, как показано на рис. 2.3 (такое геометрическое представление комплексных чисел иногда называют диаграммой Аргана, а также комплексной плоскостью Весселя или Гаусса).
Рис. 2.3.
а – представление комплексных чисел на комплексной плоскости Веселя-Аргана-Гаусса; б – геометрическое представление операции сложения комплексных чисел; в – геометрическое представление операции умножения комплексных чисел.
Для комплексных чисел, представленных точками на такой диаграмме, определены разнообразные правила сложения, умножения и т. д. Например, для сложения таких чисел используется правило параллелограмма, в соответствии с которым действительные и мнимые части этих чисел просто складываются по отдельности (рис. 2.3, б), для умножения – так называемое правило подобия треугольников (рис. 2.3, в) и т. п. Для специалистов, привыкших работать с такими диаграммами, комплексные числа быстро перестают казаться чем-то абстрактным и таинственным, поэтому читатель не должен думать, что их использование в квантовой механике делает эту теорию особенно сложной или трудно воспринимаемой. В действительности комплексные числа широко используются в самых различных областях науки и техники, они являются достаточно простыми, и очень многие люди воспринимают их весьма конкретно. Так что читателя не должна беспокоить их кажущаяся (мнимая) сложность.
Однако проблемы квантовой механики не сводятся только к суперпозиции состояний с использованием комплексных чисел. До сих пор мы говорили лишь о квантовом уровне (правила которого я обозначил выше буквой U), на котором состояние системы действительно задается суперпозицией всех возможных состояний, усредненных посредством некоторых комплексных множителей. Временная эволюция такого квантового состояния называется шредингеровской или унитарной (именно поэтому я использовал в обозначениях букву U). Важнейшим свойством эволюции такого типа является линейность, т. е. для эволюции суперпозиции двух состояний можно считать, что каждое из состояний изменяется по индивидуальному закону, однако комплексные коэффициенты, по которым осуществляется усреднение, остаются постоянными. Такая линейность является характерной особенностью уравнения Шредингера, и на квантовом уровне это условие действительно выполняется для любой суперпозиции состояний.
Однако при увеличении масштаба какой-либо характерной величины происходит изменение правил. В теории увеличение масштабов соответствует переходу от квантового уровня U к классическому уровню С (этот переход обозначен на рис. 2.1 буквой R), а для физического эксперимента это означает, например, рассмотрение участка на экране. При таком переходе мелкомасштабное, квантовое событие срабатывает в качестве триггера, «запуская» значительно более крупное событие (какое только и может наблюдаться на классическом уровне!). Обычно этот переход в квантовой механике называют коллапсом волновых функций или редукцией вектора состояний.
В детали этого процесса (который я на рис. 2.1 обозначил буквой R) физики вдаваться не любят, поскольку при этом осуществляются операции, не имеющие ничего общего с упомянутой мною унитарной эволюцией. В суперпозиции двух возможных состояний необходимо рассматривать два комплексных числа и квадраты их модулей (это сводится лишь к вычислению квадратов расстояний до соответствующих точек на диаграмме Аргана), а вероятность этих состояний определяется просто отношением квадратов этих модулей. Однако эту операцию можно осуществить лишь после проведения «измерения» или «наблюдения», и вы можете считать, что этот процесс соответствует эффекту изменения масштаба при переходе от уровня U к уровню С на рис. 2.1. При этом вам необходимо изменить «правила игры», поскольку перестает сохраняться линейность суперпозиции. Именно в этот момент отношения квадратов модулей мгновенно обращаются в вероятности, т. е. при переходе от уровня U к уровню С система становится (вы делаете ее) недетерминированной. На уровне U все было в порядке, и система была детерминирована, но вы сами делаете ее недетерминированной, как только осуществляете «измерение».
Эта схема обычна для квантовой механики, но она весьма необычна для теории, претендующей на звание фундаментальной. Описываемый переход был бы полон глубокого смысла, если бы он выступал в качестве приближения к некой более общей фундаментальной теории, но проблема состоит в том, что именно эта странная процедура рассматривается физиками-профессионалами в качестве основы фундаментальной теории!
Мне хочется рассказать еще кое-что о комплексных числах. На первый взгляд они действительно представляются довольно отвлеченными понятиями, которые витают где-то рядом, а потом неожиданно, как только кому-то вздумается вычислить квадраты их модулей, обращаются в привычные нам вероятности. В действительности они имеют, как я уже пытался показать, очень простой геометрический смысл, который легко продемонстрировать на следующих простых примерах. Для этого мне придется ввести еще некоторые простые обозначения из квантовой механики. Речь пойдет, в частности, о так называемых скобках Дирака, форма записи которых может показаться кому-то из вас даже забавной. Они представляют собой своеобразные профессиональные «стенографические» значки. Например, выражение | А > означает, что система находится в квантовом состоянии A, а внутри скобки заключено просто некое описание этого состояния. Очень часто полное квантовомеханическое состояние системы (которое принято обозначать греческой буквой ψ) является суперпозицией других состояний, вследствие чего, например, для описанного выше эксперимента с двумя щелями имеет место соотношение
| ψ > = w| А > + z| B >.
В квантовой механике нас интересуют не столько значения каких-то чисел, сколько их отношения. Поэтому в ней существует и правило, в соответствии с которым умножение состояния на любое комплексное число (за исключением нуля, разумеется) не изменяет общей картины. Другими словами, физический смысл имеют лишь отношения комплексных чисел. При переходе R мы должны рассматривать вероятности (т. е. отношения квадратов модулей), однако, оставаясь на квантовом уровне, мы еще можем надеяться на какую-нибудь прямую физическую интерпретацию самих комплексных чисел и их отношений, даже не переходя к вычислению модулей. Для этого можно воспользоваться, например, описанной выше так называемой сферой Римана (см. рис. 1.10, в), которая, строго говоря, относится не к самим комплексным числам, а к их отношениям. Разумеется, используя отношения, мы всегда должны заботиться о том, чтобы знаменатель не обращался в нуль (в результате чего вся дробь будет стремиться к бесконечности). На такой сфере может быть представлено все множество комплексных чисел (включая значения на бесконечности), причем в результате изящного метода проекции (рис. 2.4) экваториальное сечение такой сферы представляет собой окружность единичного радиуса на плоскости Аргана. Очевидно, что, используя южный полюс сферы в качестве центра проекции, мы можем перевести каждую точку из экваториальной плоскости на сферу Римана. При этом, как видно из рисунка, сам полюс соответствует бесконечно удаленным точкам на этой плоскости.
Рис. 2.4. Сфера Римана.
Проекция южного полюса сферы S через точку Р (соответствующую отношению u = z/w на комплексной плоскости) обозначается точкой Р' на сфере. Направление ОР' (от центра сферы O) соответствует ориентации спина при суперпозиции двух частиц со спином ½.
Сфера Римана (пока мы будем рассматривать ее в качестве абстрактного, математического объекта) очень удобна для описания квантовых систем, которые могут находиться в двух разных квантовых состояниях или являться суперпозицией таких состояний. В этом примере мне очень нравится то, что для частиц с половинным спином (а такими являются электроны, протоны, нейтроны) различные комбинации спиновых состояний легко могут быть представлены в геометрическом виде. Частицы с полуцелым спином могут находиться в двух спиновых состояниях (эти состояния соответствуют двум направлениям момента собственного вращения), которые можно назвать просто верхним и нижним состояниями. Суперпозицию двух состояний при этом можно символически записать в виде уравнения
Различные комбинации таких спиновых состояний соответствуют вращениям относительно других осей, положение которых зависит от отношения комплексных чисел w и z, дающего нам еще одно комплексное число u = z/w. Направление спиновой оси определяется прямой, проведенной через центр сферы Римана и точку на сфере, соответствующую числу u, так что комплексные числа в данном случае имеют совершенно конкретный физический смысл. Вообще говоря, уловить этот смысл бывает иногда достаточно трудно, но для частиц с полуцелым спином он очевиден.
Мне хотелось бы обратить ваше внимание на следующее обстоятельство. Конкретная направленность спинов (вверх-вниз) в рассмотренном примере несущественна, и спины в принципе могут быть направлены как угодно (влево-вправо, вперед-назад), т. е. исходное значение двухчастичного состояния не играет никакой роли (исключение составляет выделенное начальное состояние с противоположено направленными спинами). В соответствии с одним из законов квантовой механики все спиновые состояния одинаково удобны для рассмотрения, что и было показано выше.
Квантовая механика представляет собой непростой объект. Эта очень красивая и элегантная теория содержит также много таинственного и является, в сущности, весьма загадочной, обескураживающей и парадоксальной наукой. Мне хотелось бы особо подчеркнуть, что тайны можно довольно четко разделить на два разных класса, которые я буду далее обозначать буквами Z и X.
Термином Z -тайны, или тайны-головоломки (я выбрал для их обозначения букву Z из соответствующего английского слова puZZle), я называю некоторые явления физического мира, а именно, те прекрасные эксперименты, которые наглядно демонстрируют нам загадочное поведение квантовых объектов. Некоторые из этих явлений даже не изучены до конца, но они не оставляют сомнений в правильности квантовой механики. В частности, к Z -тайнам можно отнести корпускулярно-волновой дуализм, уже упоминавшийся спин, а также нуль-измерение и нелокальные эффекты, о которых я расскажу позднее. Эти явления действительно загадочны и непонятны, но почти никто не отрицает их реальность – они являются частью окружающего нас мира.
Существуют, однако, проблемы совсем другого типа, которые можно назвать тайнами-парадоксами или Х -тайнами (от последней буквы в слове paradoX). На мой взгляд, их существование наглядно показывает нам, что разработанная теория не является полной или даже в чем-то ошибочна, т. е. нуждается в существенной дальнейшей доработке. Наиболее важной Х -тайной является так называемая проблема измерения, о которой я уже упоминал. Она заключается в том, что при переходе R (от квантового уровня к классическому) правила изменяются. Пока нам неясно даже то, станет ли природа операции R понятнее при глубоком понимании поведения более сложных и больших квантовых систем (т. е. возникает ли она из-за некоторой приблизительности нашего подхода или является вообще иллюзорной). Наиболее известным вариантом X -тайны выступает знаменитый парадокс, связанный с котом Шредингера. В этом эксперименте (разумеется, мысленном, поскольку сам Шредингер был весьма гуманным человеком) несчастный кот находится в странном (полуживом-полумертвом) состоянии. Разумеется, вы не встретите таких котов в реальности, но связанная с этим задача имеет глубокий смысл, и я расскажу о ней подробнее ниже.
Я считаю, что мы вполне можем «ужиться» с Z -тайнами, однако X -тайны не дают нам возможность создать достаточно серьезную физическую теорию (я подчеркиваю, что это мой подход к проблеме). Есть много других точек зрения на существующие (или кажущиеся?) парадоксы квантовой механики или (как мне иногда кажется) много разных подходов к точкам зрения!
Мне бы хотелось еще немного рассказать о Z -тайнах, а затем перейти к обсуждению более серьезных проблем, связанных с Х -тайнами. Я попробую описать две наиболее известные проблемы, связанные с Z -тайнами. Первая из них относится к квантовой нелокальности или, как предпочитают говорить некоторые физики, квантовой запутанности (иногда ее называют взаимосвязанностью или переплетенностью). Идея этого весьма необычного эффекта была выдвинута Эйнштейном, Подольским и Розеном, вследствие чего его часто называют просто ЭПР-парадоксом или ЭПР-экспериментом. Простейший вариант этого эксперимента был предложен Дэвидом Бомом и выглядит следующим образом. Предположим, что частица со спином 0 распадается на две частицы со спином ½ (например, на электрон и позитрон), которые разлетаются в противоположных направлениях. Затем в какой-то момент времени экспериментатор измеряет значения спинов этих частиц, когда они уже находятся в весьма удаленных друг от друга точках A и В.
Существует знаменитая теорема Джона Белла, которая утверждает, что смешанная вероятность, соответствующая результатам измерений в точках A и В (и любой другой «локально-реалистической» модели), будет противоречить предсказаниям квантовой механики. Под «локально-реалистической» моделью я подразумеваю любую модель, в которой электрон и позитрон (находящиеся в разных точках А и В) соответствуют двум различным и разделенным объектам, т. е. никак не связаны друг с другом. Джон Белл весьма убедительно показал, что смешанные вероятности после измерения будут противоречить квантовой теории. Это обстоятельство является весьма важным, поскольку результаты дальнейших экспериментов (проведенных, например, в Париже Аленом Аспектом) действительно соответствовали квантовомеханическим предсказаниям. В этом эксперименте (схема которого показана на рис. 2.5) измерялись поляризационные состояния двух фотонов, вылетающих в противоположных направлениях из одного источника.
Рис. 2.5.
а – частица со спином 0 распадается на две частицы со спином ½, например, на электрон Е и позитрон Р. Измерение спина одной из этих частиц, очевидно, приводит к мгновенной фиксации точного значения второй частицы; б – эксперимент группы Алена Аспекта. Два противоположно направленных фотона испускаются источником в запутанном состоянии. Решение о том, поляризацию какого из фотонов следует измерить, принимается только тогда, когда они уже удалены друг от друга на значительное расстояние, не позволяющее никаким образом передать информацию о результате измерения.
Решение о том, какое из направлений поляризации фотонов будет измерено, принималось лишь после того, как фотоны удалялись от источника на значительное расстояние и попадали в детекторы A и В. Результаты измерений показали, что смешанная вероятность поляризационных состояний фотонов, зарегистрированных в детекторах A и В, согласуется с квантовомеханическими предсказаниями (как ожидали почти все, включая и самого Белла), но противоречит естественному предположению о том, что эти два фотона являются отдельными, совершенно независимыми объектами. Эксперимент Аспекта продемонстрировал наличие эффектов квантовой запутанности на расстоянии около 12 метров, но я уже слышал, что в некоторых экспериментах по квантовой криптографии аналогичные эффекты зарегистрированы на расстояниях порядка километров.
Я еще раз хочу подчеркнуть, что в таких нелокальных эффектах события, происходящие в различных точках A и В, оказываются каким-то таинственным образом связанными друг с другом. Квантовая запутанность (entanglement) – штука довольно тонкая. События оказываются связанными таким образом, что характер связи исключает всякую возможность передачи сигнала из точки А в точку В (этот факт существенно важен для согласования квантовой механики с теорией относительности). В противном случае квантовую запутанность можно было бы просто использовать для передачи сигнала со скоростью большей, чем скорость света. Этот эффект является чисто квантовым, и в классической механике мы не можем даже представить себе его аналог (т. е. ситуацию, когда объекты одновременно следует считать и совершенно независимыми, и связанными друг с другом). Все это в самом деле весьма необычно.