Свойства частиц и взаимодействий 10 страница

Законы сохранения момента количества движения и четности для рассматриваемого распада имеют вид

( ⁺) = (p) + ( ⁺) + ,
.

Учитывая, что J( ⁺) = 3/2, J( p) = 1/2 и J( ⁺) = 0 из первого уравнения имеем l = 1 или 2. Т.к. внутренние четности участвующих частиц следующие: = +1; P_p = +1 и = -1, то второе уравнение оставляет единственную возможность l = 1.

47. Захват отрицательных каонов в гелии иногда приводит к образованию гиперядер (ядер, в которых нейтрон заменен -гипероном) в соответствии с реакцией K^- + ⁴He + ⁰. При изучении относительных мод распада и, в частности, из изотропии распадных продуктов установлено, что
J( ) = 0. Покажите, что это означает отрицательную четность для K^-, независимо от углового момента состояния, из которого K^- был захвачен.

Если l – орбитальный угловой момент, а спины всех участвующих частиц равны нулю, то, перемножая четности в начальном и конечном состояниях, находим

(-1)^lP_K = (-1)l

(внутренние четности ⁴He и положительны). Откуда P_K = = -1.

48. Покажите, что реакция p^- + d n + n + ⁰ не может идти для покоящихся пионов.

Т.к. J_d = 1 и рассматривается захват из s-состояния, в реакции будут участвовать состояния с J = 1 в начале и конце. Поскольку энерговыделение Q всего 0.5 МэВ, конечное состояние n и ⁰ должно быть s–состоянием. Следовательно, два нейтрона должны находиться в триплетном спиновом состоянии, что запрещено принципом Паули.

49. Ядро ³⁴Cl испытывает ⁺-распад: ³⁴Cl ³⁴S + e⁺ + _e. Такой же тип -распада имеет место и для
⁺-мезона: ^{+ 0} + e⁺ + _e. Что еще сближает эти два ⁺-распада? Оцените отношение вероятностей сравниваемых распадов и время жизни ⁺ относительно ⁺-распада, учитывая, что средние времена жизни ³⁴Cl и пиона собственно = 1.5 с, = 2.6 10^-8 с и вероятность распада пиона по каналу e⁺ _e около 10^-4.

Основные состояния ³⁴Cl и ³⁴S, также как ⁺ и ⁰, имеют нулевые спины. Поэтому оба -распада разрешенные фермиевского типа: 0⁺ 0⁺ и 0^- 0^- соответственно. Начальное и конечное ядро принадлежат к изоспиновому мультиплету с I = 1. То же самое относится и к пионам, участвующим в процессе. Кроме того, близки энерговыделения Q этих двух распадов (соответственно 5.0 и 4.1 МэВ). Вероятности распадов в единицу времен обратны средним временам жизни. Поэтому отношение вероятностей ⁺-распада ³⁴Cl и пиона с учетом того, что вероятность распада последнего по каналу e⁺ _e всего 10^-4, оказывается равной

Время жизни ⁺ относительно ⁺-распада равно

10⁴ = 2.6 10^-8 с 10⁴ = 2.6 10^-4 с.

50. Среднее время жизни нейтрона _n = 890 с, а мюона = 2.2 10^-6 с. Покажите, что если принять во внимание разницу в энерговыделении (правило Сарджента), то константы взаимодействия в обеих случаях совпадают с точностью до фактора 10.

В распаде нейтрона энерговыделение 0.78 МэВ, а мюона - около 105 МэВ. Имеем для отношения констант распада _n/ с учетом правила Сарджента:

51. Среднее время жизни мюона равно 2.2 10^-6 с. Рассчитайте время жизни -лептона, считая, что относительная вероятность распада ⁺ e⁺ + _e + составляет 18% и что c² = 1777 МэВ,
c² = 105.7 МэВ. Сравните результат с измеренным временем жизни -лептона 2.9 10^-13 с.

Используя правило Сарджента получаем для времени жизни -лептона

где K - относительная вероятность распада по каналу e⁺ n _e , равная 0.18. Окончательно имеем

52. W-бозон распадается за счет слабого взаимодействия и время этого распада, оказывается

где G_W = 2.1 ГэВ - ширина распада W-бозона. Объяснить, почему это время столь мало и даже на два порядка ниже характерного времени распада за счет сильного взаимодействия.

Главная причина "сверхбыстрого" слабого распада W-бозона - большое энерговыделение Q_w m_wc² = 80 ГэВ. Согласно правилу Сарджента вероятность слабого распада зависит от энерговыделения в пятой степени. Оценим среднее время жизни W-бозона, исходя из времени распада -мезона = 2.6 10^-8 с. Энерговыделение при распаде -мезона ( ^{+ +} + )

= ( - ) c² = 140 МэВ - 106 МэВ = 34 МэВ.

Для _w имеем оценку

близкую к табличному значению.

Нуклеосинтез

1. Оценить поток солнечных нейтрино на поверхности Земли.

Выделение солнечной энергии происходит в основном в результате реакций так называемого водородного цикла или водородной цепочки. Основные реакции этой цепочки следующие

p + p d + e⁺ + _e,
d + p ³He + ,
³He + ³He ⁴He + 2p.

В процессе этих реакций выделяется 24.6 МэВ энергии. Есть еще дополнительные разветвления этой цепочки, например

³He +⁴He ⁷Be + ,
⁷Be + e^{- 7}Li + _e,
⁷Li + p ⁴He + ⁴He.

Однако, приведенная вначале цепочка является основной. Кратко ее можно записать так

4p ⁴He + 2e⁺ + 2 _e.

Таким образом, на каждые E = 24.6 МэВ излученной Солнцем энергии вылетает два нейтрино. Светимость Солнца W = 4 10³³ эрг/c, радиус орбиты Земли R_З = 1.5 10¹³ см. Общее число нейтрино, излучаемых Солнцем в единицу времени N = 2 W /E. Площадь сферы с радиусом, равным радиусу орбиты Земли

Тогда плотность потока нейтрино на земной орбите будет

2. Почему реакции синтеза ядер в звездах начинаются с реакции p + p d + e⁺ + _e, идущей за счет слабого взаимодействия, а не с реакции p + n d + , идущей за счет электромагнитного взаимодействия, или других реакций, идущих в результате сильного взаимодействия?

К моменту начала ядерных реакций синтеза элементов звезды имеют следующий химический состав: 90% по числу атомов составляет водород и ~10% по числу атомов составляет гелий. Суммарный состав остальных элементов меньше 1%.
При столкновении двух протонов, двух ядер гелия, или протона и ядра гелия не образуется долгоживущих связных атомных ядер. Ядер ²He и ⁵Li в природе не существует. Ядро ⁸Be имеет среднее время жизни ~10^-16 сек.

p + p ²He + ,
p + ⁴He ⁵Li + ,
⁴He+ ⁴He ⁸Be+ g.

Единственной возможной реакцией в звездной среде ядер гелия и водорода является реакция образования дейтрона в результате слабого взаимодействия

p + p d + e⁺ + _e.

Из теоретических оценок следует, что при кинетической энергии сталкивающихся протонов примерно ~1 МэВ, сечение этой реакции ~10^-23 барн.
Реакция p + n d + оказывается невозможной, так как в звездной среде на этой стадии эволюции Вселеннной нейтроны отсутствуют.

3. Удельная мощность падающего на Землю солнечного излучения составляет w_уд = 0.14 Вт/см². С какой скоростью солнце теряет свою массу? Если эта скорость сохранится и в будущем, то сколько времени еще будет существовать Солнце?

Площадь сферы, имеющей радиус, равный среднему радиусу орбиты Земли R_З, S = 4 . Полная мощность, излучаемая Солнцем

W = w_удS = 4 w_уд = 4 ^x 3.14 ^x 0.14 Вт/см^{2 x} (1.5 10¹³ см)² 4 10²⁶ Вт = 4 10³³ эрг/с

Излучение Солнцем энергии E соответствует потере массы m = E/c². Скорость потери массы Солнцем можно оценить как

= W / c² = (4 10³³ эрг/с)/(3 10¹⁰ см/с)² = 4.4 10¹² г/с.

Масса Солнца M_С = 1.99 10³⁰ кг, при сохранении скорости потери массы Солнце будет существовать

t = M_С / = 1.99 10³⁰ кг / 4.4 10⁹ кг/с = 4.5 10²⁰ с = 1.4 10¹³ лет.

Эта оценка является завышенной, так как если масса Солнца уменьшится ниже определенной величины протекание ядерных реакций синтеза на Солнце станет невозможно.

4. Определить, какую часть своей массы M потеряло Солнце за последние t = 10⁶ лет (светимость Солнца W = 4 10³³ эрг/с, масса Солнца M = 2 10³³ г).

Из светимости определим потери массы Солнцем за единицу времени -

m = W/c² = (4 10³³ эрг/с)/(3 10¹⁰ см/с)² = 4.4 10¹² г/с.

Соответственно, за t = 10⁶ лет потери массы Солнца будут

M = m t = 4.4 10¹² г/с ^x 10⁶ лет ^x 3.16 10⁷ с/год = 1.4 10²⁶ г.

Относительная потеря массы Солнцем M за время t = 10⁶ лет

M = M / M = 1.4 10²⁶ г / 2 10³³ г = 7 10^-8 .

5. Гравитационный радиус объекта, имеющего массу M, определяется соотношением r_G = 2GM/c², где G - гравитационная постоянная. Определить величину гравитационных радиусов Земли, Солнца.

Гравитационный радиус Земли

= 2GM_З /c² = 2 ^x (6.67 10^-11 м³/кг с²) ^x 5.98 10²⁴ кг/(3 10⁸ м/с)² = 8.86 10^-3 м.

Гравитационный радиус Солнца

= 2GM_С /c² = 2 ^x (6.67 10^-11 м³/кг с²) ^x 1.99 10³⁰ кг/(3 10⁸ м/с)² = 2.95 10³ м.