Молекулярно-кинетическая теория

· Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы

n=N/V,

где V — объем системы.

· Основное уравнение кинетической теории газов

p=²/зn<e_п>,

где р — давление газа; <e_п>— средняя кинетическая энергия* поступательного движения молекулы.

· Средняя кинетическая энергия:

приходящаяся на одну степень свободы молекулы

<e₁>=½kT;

;

поступательного движения молекулы

,

где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера­тура; i — число степеней свободы молекулы;

вращательного движения молекулы

· Зависимость давления газа от концентрации молекул и тем­пературы

p=nkT.

· Скорость молекул:

средняя квадратичная

, или ;

средняя арифметическая

, или ;

наиболее вероятная

, или ,

где m₁ —масса одной молекулы.

Явления переноса

· Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени,

,

где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация моле­кул; <υ> — средняя арифметическая скорость молекул.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

· Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

,

где h— динамическая вязкость газа; —градиент (поперечный) скорости течения его слоев; DS — площадь элемента поверхности; dt — время переноса.

· Динамическая вязкость

h= r<υ><l>

где r — плотность газа (жидкости); <υ> — средняя скорость хаоти­ческого движения его молекул; <l> — их средняя длина свободного пробега.

· Закон Ньютона

,

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

· Закон Фурье

DQ= -l SDt,

где DQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время Dt; l — теплопроводность; -градиент температуры.

· Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l= c_vr<υ><l> или l= <υ><l>,

где c_v — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <υ> — средняя арифметическая скорость его молеку­лы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон Фика

,

где Dm — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt; D — диффузия (коэффициент Эффузии); -градиент концентрации молекул; m₁ —масса одной молекулы.

· Диффузия (коэффициент диффузии)

D= <υ><l>.

Статистические распределения

· Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n₀e^-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n₀ — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоян­ная Больцмана; T — термодинамическая температура.

· Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

р=p₀e^-mgz/(kT), или p=p₀e^-Mgz/(RT),

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р₀ — давление на этом уровне; g — ускорение свобод­ного падения; R — молярная газовая постоянная.

· Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

dW(x)=f(x)dx

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

· Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

dN=NdW(x)=Nf(x)dx.

· Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f(υ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от υ до υ+dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=υ/υ_в — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости υ_в; f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

· Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

· Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

· Среднее значение физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

<x>=òxf(x)dx

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость)

;

средняя квадратичная скорость

<υ_кв>=<υ²>^1/2,

где

;

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .

Тепловые свойства

· Молярная внутренняя энергия химически простых (состоя­щих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теп­лоемкости выражается формулой

U_m = 3RT,

где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура.

· Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме опре­деляется как производная от внутренней энергии U по температуре, т. е.

C = dU/dT.

· Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость C_m химиче­ски простых твердых тел

C_m=3R

· Закон Неймана — Коппа. Молярная теплоемкость химиче­ски сложных тел (состоящих из различных атомов)

С_m = n×ЗR,

где п — общее число частиц в химической формуле соединения.

· Среднее значение энергии квантового осциллятора, при­ходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштей­на выражается формулой

где e₀ — нулевая энергия (e₀ = ¹/₂ħw); ħ — постоянная Планка;

w — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.

· Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле

где U_mo = 3/2Rq_E — молярная нулевая энергия по Эйнштейну;

q_E = ħw/k — характеристическая температура Эйнштейна.

· Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории тепло­емкости Эйнштейна

При низких температурах (T<<q_E)

С_m =3R(q_E/T)exp(-q_E/T).

· Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемко­сти Дебая задается функцией распределения частот g(w). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от w до w dw, определяется выражением

dZ =g(w)dn

Для трехмерного кристалла содержащего N атомов,

,

где w_max — максимальная частота, ограничивающая спектр коле­баний.

· Энергия U твердого тела связана с средней энергией квантового осциллятора и функцией распределения частот g(w) соотношением

· Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю

где -молярная нулевая энергия кристалла по Дебаю; -характеристическая температура Дебая.

· Молярная теплоёмкость, кристалла по Дебаю

Предельный закон Дебая. В области низких температур1 (Т<<q_В) последняя формула принимает вид

.