Свойства частиц и взаимодействий 3 страница

где E_св(A, Z) и E_св(A, Z-1) - энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_p и m_e - массы нейтрона, протона и электрона.

Q_e = E_св( ⁷Li) - E_св( ⁷Be) - 0.78 МэВ = (39.3 - 37.6 - 0.78) МэВ ~ 0,9 МэВ.

Из законов сохранения энергии и импульса следует

где T_Li, - кинетические энергии отдачи ядра и нейтрино. Нейтрино - релятивистская частица, а ядро - нерелятивистское:

; ;

Окончательно имеем

.

11. Определить кинетическую энергию конечного ядра при ^--распаде ядра ⁶⁴Cu ⁽⁶⁴Cu ⁶⁴Zn + e + _e) когда
1) энергия антинейтрино = 0, 2) энергия электрона T_e = 0. Энергии связи ядер ⁶⁴Cu - 559.32 Мэв и ⁶⁴Zn - 559.12 МэВ.

Энергия ^-- распада

= E_св(A,Z+1) - E_св(A, Z) + (m_n - m_p)c² - m_ec² = E_св(A,Z+1) - E_св(A,Z) + 0.78 МэВ = 0.58 МэВ,

где E_св(A, Z) и E_св(A, Z + 1) - энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_p и m_e - массы нейтрона, протона и электрона. Энергия отдачи ядра при ^-- распаде будет:

1) = 0. Запишем законы сохранения энергии и импульса

Для импульсов, учитывая, что p_Zn - нерелятивистский импульс, p_e - релятивистский импульс, можно записать
где m_Zn - масса ядра ⁶⁴Zn. Из законов сохранения имеем

.

Далее, т.к. m_e << m_Zn, то T_Zn <<

.

2) T_e = 0. Аналогично как и в первом случае

Импульс антинейтрино ультрарелятивистский

.

Окончательно получим

.

12. Даны избытки масс атомов -
(¹¹⁴Cd) = -90.021 МэВ, (¹¹⁴In) = -88.379 МэВ и (¹¹⁴Sn) = -90.558 МэВ.
Определить возможные виды -распада ядра ¹¹⁴In.

Для ядра ¹¹⁴In b - распады выглядят так:

--распад - 114In 114Sn + e- + e,

+-распад - 114In 114Cd + e+ + e,

e- захват - 114In + e- 114Cd + e.

Если величина энергии распада положительна, то ядро неустойчиво к распаду этого типа.
Энергии распадов:

--распад -	= (A,Z) - (A,Z+1);
+-распад -	= (A,Z) - (A,Z-1) - 2meс2;
e- захват -	Qe = (A,Z) - (A,Z-1);

где (A, Z) - избыток масс исходного ядра, (A, Z + 1) и (A, Z - 1) - избытки масс конечных ядер, m_e - масса электрона. Подставим значения:

--распад -	= 90.558 - 88.379 = 2.179 МэВ > 0;
+-распад -	= 90.021 - 88.379 - 1.022 = 0.62 МэВ > 0;
e- захват -	Qe = 90.021 - 88.379 = 1.642 МэВ > 0;

Таким образом, ядро ¹¹⁴In испытывает все три вида - распада.

13. Показать, что в случае -распада ⁴²Sc имеет место разрешенный переход типа Ферми, а ³²P - типа Гамова-Теллера.

К разрешенным -переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный момент l, уносимый электроном и нейтрино, равен нулю. Разрешенные переходы делятся на переходы типа Ферми, при которых спины электрона и нейтрино антипараллельны, и типа Гамова-Теллера, при которых спины электрона и нейтрино параллельны. Для разрешенных -переходов справедливы соотношения

_i + _j = 0, P_i = P_f для переходов Ферми,
_i + _j = 0, 1 (кроме 0 0 переходов), P_i = P_f для переходов Гамова-Теллера, i и f обозначают начальное и конечное ядро.

Рассмотрим переход ⁴²Sc (0⁺) ⁴²Ca (0⁺): для него P_i = P_f и _i + _j = 0, то есть выполнены все условия для перехода типа Ферми.
Рассмотрим переход ³²P (1⁺) ³²Sc (0⁺): для него P_i = P_f и _i + _j = 1, то есть все условия для перехода типа Гамова-Теллера выполнены.

14. Определить порядок запрета следующих -переходов:

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) ⁸⁹Y(1/2^-);
2. ³⁶Cl(2⁺) ³⁶Ar(0⁺);
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺) ¹³⁷Ba(3/2⁺).

Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который определяется суммарным орбитальным моментом l, уносимым электроном и нейтрино. Если l = 1, то это запрещенный переход первого порядка, l = 2 - второго порядка и т.д. Справедливы следующие соотношения:

.

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) ⁸⁹Y(1/2^-) - возможны два варианта:
   J = 2; l = 1; P_i = (-1)³ P_f - первого порядка запрета и
   J = 3; l = 3; P_i = (-1)³ P_f - третьего порядка запрета.
   Так как вероятность -переходов сильно падает при увеличении порядка запрета, то в данном случае будет преобладать -переход первого порядка запрета.
2. ³⁶Cl(2⁺) ³⁶Ar(0⁺) - возможен всего один вариант:
   J = 2; l = 2; P_i = (-1)² P_f - это -переход второго порядка запрета.
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺) ¹³⁷Ba(3/2⁺) - возможны два варианта:
   J = 2, 3; l = 2; P_i = (-1)^2,4 P_f - -переход второго порядка запрета и
   J = 4, 5; l = 4; P_i = (-1)^4,6 P_f - это b -переход четвертого порядка запрета.
   Преобладающим будет -переход второго порядка.

15. Для ядра ¹⁷Ne определить максимальную энергию запаздывающих протонов, вылетающих из ядра ¹⁷F, образующегося в результате e-захвата на ядре ¹⁷Ne. Энергии связи E_св(¹⁷Ne) = 112.91 МэВ, E_св(¹⁷F) = 128.23 МэВ и E_св(¹⁶O)=126.63 МэВ.

Рассматриваемый процесс ¹⁷Ne + e^{- 17}F* + _e ¹⁶O + p. Максимальная энергия возбуждения ядра ¹⁷F* равна энергии e-захвата

E_max(¹⁷F*) = Q_e = E_св(¹⁷F) - E_св.(¹⁷Ne) - 0.78 МэВ = 128.23 МэВ - 112.91 МэВ = 14.54 МэВ.

Энергия отделения протона для ядра ¹⁷F

_p = E_св(A, Z) - E_св(A-1, Z-1) = E_св(¹⁷F) - E_св(¹⁶O) = 128.23 МэВ - 126.63 МэВ = 1.6 МэВ.

Максимальная энергия запаздывающих протонов есть

16. Определить типы и мультипольности -переходов:

1)	1- 0+,	4)	2+ 3-,
2)	1+ 0+,	5)	2+ 3+,
3)	2- 0+,	6)	2+ 2+.

Изменения состояний атомных ядер, сопровождающиеся испусканием или поглощением квантов электромагнитного поля, называются -переходами. Полный момент количества движения фотона J называется его мультипольностью. Значение спина фотона J_min= 1. Полный момент J может принимать только целочисленные значения (кроме нуля).
Различаются переходы электрические (EJ) и магнитные (MJ). Для электрических фотонов четность P = (-1)^J. Для магнитных фотонов P = (-1)^J+1.

1. 1^- 0⁺ - J = 1; P = -1, фотоны типа E1;
2. 1⁺ 0⁺ - J = 1; P = +1, фотоны типа M1;
3. 2^- 0⁺ - J = 2; P = -1, фотоны типа M2;
4. 2⁺ 3^- - J = 1, 2, 3, 4, 5; P = -1, фотоны типа E1, M2, E3, M4, E5; преобладают фотоны типа E1;
5. 2⁺ 3⁺ - J = 1, 2, 3, 4, 5; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4, M5; преобладают фотоны типа M1 и E2;
6. 2+ 2⁺ - J = 1, 2, 3, 4; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4; преобладают фотоны типа M1 и E2.

17. По схеме низших возбужденных состояний ядра ²⁰⁸Pb определить наиболее вероятный путь распада возбужденного состояния 4^- с энергией 3.475 МэВ. Указать мультипольности переходов.

Период полураспада T_1/2 -переходов зависит от мультипольности перехода J и длины волны излучения .

Для электрических переходов EJ -	,
для магнитных переходов MJ -	,

где R - радиус ядра.

Рассмотрим переходы с уровня E(J^P = 4^-) = 3.475 МэВ:

· переход (4^- 5^- ) имеет J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; P_i / P_f = +1 и типы переходов M1 + E2 + M3 + E4 + M5 + E6 + M7 + E8 + M9; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1 + E2;

· переход (4^- 3^- ) имеет J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; P_i / P_f = +1 и типы переходов M1 + E2 + M3 + E4 + M5 + E6 + M7; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1 + E2;

· переход (4^- 0⁺) имеет J = 4; P_i / P_f = - 1 и тип перехода M4.

Наибольшую вероятность имеют переходы с наименьшей мультипольностью, в данном случае это (4^- 5^- ) и (4^- 3^- ). Из этих двух переходов большую вероятность имеет переход (4^- 3- ), так как энергия этого перехода
E (4^- 3^-) = 3.475 - 2.610 = 0.865 МэВ больше энергии перехода
E (4^- 5^-) = 3.475 - 3.197 = 0.278 МэВ, и, соответственно, длина волны излучения, входящая в знаменатель выражения для вероятности перехода, меньше.

Таким образом, распад возбужденного состояния ядра ²⁰⁸Pb с E(J^P = 4^- ) = 3.475 МэВ происходит в основном по каналу (4^- 3^- 0⁺).

18. Согласно классической электродинамике, электрический диполь размера l в единицу времени излучает энергию, определяемую соотношением

,

где w - циклическая частота колебаний диполя, Ze и l - заряд и размер диполя. Используя это соотношение, оценить среднее время для электрических дипольных переходов -квантов с энергией 1 МэВ в ядре A 70.

Предположим, что для ядра с массовым числом A=70 зарядовое число Z=30 и определим радиус диполя равным радиусу ядра - R = r₀A^1/3, где величина r₀ = 1.2 Фм. Число -квантов в единицу времени N, учитывая, что :

.

Оценим среднее время жизни:

19. Оценить допплеровское уширение спектральной линии с энергией = 1 МэВ при комнатной температуре (T = 300 K).

Допплеровское уширение спектральной линии

,

где T - температура в абсолютной шкале, k - постоянная Больцмана. Энергия отдачи ядра при испускании -кванта

.

Предположим, что масовое число ядра A = 50. Учитывая, что для комнатной температуры T = 300 K величина kT = 0.025 эВ, получаем

20. Используя формулу Вайцзеккера, получить соотношение для вычисления энергии спонтанного деления на два одинаковых осколка и рассчитать энергию симметричного деления ядра ²³⁸U.

Энергия деления ядра на два одинаковых осколка Q_f = (m_исх - 2m_оск) = 2W_оск - W_исх, где m_исх и m_оск - массы исходного ядра и каждого из осколков, а W_исх и W_оск - их энергии связи. Формула Вайцзеккера для энергии связи ядра

,

где a₁ = 15.78 МэВ, a₂ = 17.8 МэВ, a₃ = 0.71 МэВ, a₄ = 94.8 МэВ, a₅ = 0 для ядер с нечетным A, a₅ = +34 МэВ для четно- четных ядер и a₅ = - 34 МэВ для нечетно- нечетных ядер. Последний член a₅/A^3/4 вследствие его малости рассматривать не будем.

При делении исходного ядра (A_исх, Z_исх) на два одинаковых осколка (A_оск, Z_оск) их массовые числа и заряды имеют следующие соотношения: A_оск = A_исх/2 и Z_оск = Z_исх/2. Энергия деления ядра будет зависеть только от второго и третьего членов формулы Вайцзеккера - поверхностной и кулоновской энергии:

Поверхностная энергия осколков

.

Кулоновская энергия осколков

.

Энергия деления ядра Q_f выделяется в результате изменения кулоновской и поверхностной энергии исходного ядра и осколков

Свойства частиц и взаимодействий

Ядерные реакции

1.Перечислить несколько ядерных реакций, в которых может образоваться изотоп ⁸Be.

Используя закон сохранения заряда и закон сохранения числа нуклонов, получим

1. + 8Be + ,	5. + 10Be 8Be + d,
2. d + 6Li 8Be + ,	6. p + 10B 8Be + 3He,
3. p + 7Li 8Be + ,	7. p + 11B 8Be + ,
4. + 9Be 8Be + n,	8. p + 10B 8Be + .

2.Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе T_min должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция ¹⁶O(n, )¹³C?

Минимальная энергия, при которой возможна реакция, равна порогу реакции. Вычислим энергию реакции:

Q=8.071 - 4.737 - 2.424 -3.125 = -2.215 МэВ

Для вычисления пороговой энергии T_пор используем нерелятивистское приближение (2.14a):

T_min = T_пор = 2.215(1 + 1/17) = 2.35 МэВ.

3. Является ли реакция ⁶Li(d, )⁴He эндотермической или экзотермической? Даны удельные энергии связи ядер в МэВ: (d) = 1.11; ( ) = 7.08; (⁶Li) = 5.33.