Определение периода квантования

Наиболее универсальный способ определения величины квантования по времени Т для цифровых САУ является частотный метод. Изначально задача временного квантования или частотного кодирования решалась в начале тридцатых годов прошлого столетия применительно к проблеме передачи частотных сигналов по каналам связи. Было определено, что частотная полоса пропускания канала связи должна быть в два раза шире, чем частотный спектр передаваемого сигнала. Эти выводы можно использовать и для определения периода квантования сигналов в цифровых (импульсных) системах. Рассмотрим эти выводы подробнее.

Особенностью частотной характеристики цифровых САУ является ее периодичность. Это следует из разложения в спектр решетчатой функции х^*(t) с помощью преобразования Фурье:

(1.34)

Учитывая, что

,

получим

(1.35)

Решетчатая функция в выражении (1.35) является периодической, с периодом квантования Т (см. рис 1.3 б). Следовательно, ее можно представить рядом Фурье, т.е. бесконечной суммой гармоник, кратных частоте .

В комплексной форме такой ряд имеет вид:

(1.36)

где

.

Учитывая, что существует только при t=0, получим

или

(1.37)

Подставив (1.37) в (1.35) будем иметь

(1.38)

Т.к. интеграл от суммы слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то знак å можно вынести за знак интеграла

(1.39)

Интеграл Фурье в выражении (1.39) даёт частотную характеристику, зависящую от двух аргументов – частоты и номера такта

Следовательно,

(1.40)

представляет собой периодический спектр с периодом повторения .

Если частотный спектр непрерывной функции х(t) ограничен частотным

диапазоном от до , как показано на рис 1.6., то частотный спектр импульсной функции х^*(t), в соответствии с выражением (1.40), будет иметь вид периодически повторяющегося спектра этой непрерывной функции x(t) (рис. 1.7.).

Получается, что решетчатый сигнал имеет неограниченный спектр частот по сравнению с ограниченным спектром соответствующего непрерывного сигнала.

Появление эффекта периодически появляющихся боковых спектров поясняется рисунком 1.8. Из рисунка видно, что одной и той же периодической решетчатой функции соответствует бесконечное количество кратных частот. Т.е. импульсный квантователь не фильтрует частоты, а наоборот при восстановлении непрерывного сигнала из дискретного появляется спектр боковых частот.

	А(w)

w

Рис. 1.8. Двум сигналам разной частоты соответствует

одна и та же решетчатая функция

Для того, чтобы из бесконечного периодического спектра выделить спектр непрерывного сигнала и затем однозначно его определить как функцию времени, достаточно пропустить его через идеальный фильтр с диапазоном ±w_С ( рис. 1.9.).

Но такое восстановление исходной непрерывной функции возможно не во всех случаях. При увеличении периода квантования Т, соответствующая ему частота w₀ уменьшится и спектральная характеристика х^*(t) примет другой вид. Спектры, соответствующие непрерывной функции х(t), будут, как показано на рис.1.10, накладываться друг на друга.

В этом случае восстановить непрерывный сигнал с помощью идеального фильтра не представляется возможным. Т.е. период квантования выбран слишком велик, что ведет к потере информации.

Из изложенного следует известная теорема Котельникова-Шеннона: для восстановления непрерывного сигнала из его импульсного аналога необходимо, чтобы частота квантования была не меньше удвоенной частоты самой высокой значимой частоты непрерывного сигнала

w₀ > 2w_C или (1.41)

Следовательно, если на объект управления действует возмущающее воздействие, спектр которого имеет максимально значимую частоту w_ЗМ, то для того, чтобы цифровая замкнутая система могла нейтрализовать действие такого возмущения, необходимо, согласно теореме Котельникова-Шеннона, чтобы величина квантования по времени была

(1.42)

За w_вм обычно принимают частоту, у которой амплитуда

А(w_ВМ) = (0,01 ¸ 0,1)А_М(w_в), (1.43)

где А_М(w_в) – максимальная амплитуда в частотном спектре возмущающего сигнала.

Частотный подход, очевидно, можно применить и к задающему сигналу. Для того, чтобы цифровая САУ отрабатывала задающий сигнал, по аналогии с (1.42) получим, что

(1.44)

где w_З – максимальная значащая частота задающего сигнала.

Еще один условие определения периода квантования основывается на принципе управляемости объектом. Если среди корней характеристического уравнения объекта имеется пара комплексно-сопряженных корней a₀ ± jw₀, то чтобы управлять колебательной составляющей свободного движения такого объекта, необходимо обеспечить условие

(1.45)

Период квантования можно определить также по амплитудно-частотной характеристике объекта управления. Рассмотрим на примере объекта первого порядка с передаточной функцией

(1.46)

Заменив р на jw получим частотную передаточную функцию объекта

или

.

Максимальная амплитуда в частотном спектре будет при w = 0, т.е. А(0)=К₀. За частоту среза w_С примем ту частоту, у которой А(w_С) = 0,1А(0). Таким образом:

.

Отсюда следует, что

(1.47)

Соответственно, согласно (1.41)

(1.48)

Если объект более высокого порядка, то период квантования удобно определять из длительности переходного процесса t_П. За величину времени t_П принимают время, за которое объект попадает в пятипроцентную зону от установившегося режима. Известно, что для объекта первого порядка t_П » 3То. С учетом (1.48), получим

(1.49)

Для объектов более высокого порядка период квантования должен быть взят в 2¸3 раза меньшим, чем даёт выражение (1.49).

Таким образом, при выборе периода квантования необходимо учитывать частотные спектры возмущающих воздействий и задающего сигнала, а также динамику объекта управления. Из полученных по формулам (1.42), (1.44),

(1.45), (1.48) и (1.49) значений периода квантования, необходимо, очевидно, взять наименьшее, т.е.

(1.50)

Часто возникает также вопрос об определении величины Т, при которой квантованием по времени можно пренебречь. Для этого необходимо определить: с какой точностью формирователь нулевого порядка преобразует импульсный сигнал в непрерывный. Ошибка такого преобразования в интервале времени от kT до (k+1)T с приемлемой точностью находится по формуле

.

Для синусоидального сигнала

.

Определим для объекта первого порядка, учитывая выражение (1.47), зависимость между периодом квантования и постоянной времени из условия получения 10 % аппроксимирующей ошибки

(1.51)

Из этого следует, что период квантования должен быть в 50 раз меньше постоянной времени объекта.

Подчеркнем ещё раз, что при больших величинах Т качество переходных процессов в цифровых АСУ, закон регулирования которых был определён без учета квантования по времени, может оказаться хуже, чем при использовании непрерывного регулятора. Точная оценка погрешности аналитических расчётов наиболее эффективно определяется путем математического моделирования.