Другие энтропии, другие стрелы

В наших рассуждениях мы дали четкие определения энтропии и стрелы време-

ни . Энтропия — это число состояний, неразличимых с точки зрения макро-

скопического наблюдателя, а стрела времени возникает, потому что во всей

обозримой Вселенной энтропия непрерывно увеличивается . Несмотря на то

что, формулируя эти определения, мы отталкивались от свойств реального

мира, другие люди, употребляя те же самые термины, могут подразумевать

что-то совершенно иное .

Определение энтропии, с которым мы работаем, — то самое, что выграви-

ровано на могильной плите Больцмана, — связывает с каждым индивидуальным

микросостоянием определенную энтропию . Главная особенность этого опре-

деления — его двухэтапность . Сначала мы принимаем решение о том, что же

можно считать «макроскопически неразличимыми» характеристиками со-

стояния, а затем на основании этого разбиваем все пространство состояний

на части — набор макросостояний . Для вычисления энтропии микросостояния

мы берем общее число макроскопически неотличимых от него микросостояний

и вычисляем ее логарифм .

Однако обратите внимание на то, что здесь происходит кое-что очень ин-

тересное . Пусть некоторое состояние эволюционирует с течением времени из

низкоэнтропийной области в высокоэнтропийную . Пусть мы потеряли всю

информацию об этом состоянии, кроме макросостояния, которое оно проходит

в данный момент времени . Тогда со временем мы будем обладать все меньшей

информацией о микросостоянии, которое рассматриваем . Другими словами,

когда нам говорят, что система принадлежит определенному макросостоянию,

вероятность того, что она находится в конкретном микросостоянии из этого

макросостояния, с увеличением энтропии уменьшается — просто потому, что

число вариантов стремительно возрастает . Точность нашей информации о со-

стоянии — насколько верно мы определили микросостояние — уменьшается

по мере того, как энтропия увеличивается .

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

Это подразумевает необходимость иного подхода к определению энтро-

пии, и альтернативный взгляд традиционно связывают с именем Джозайи

Уилларда Гиббса (в действительности Больцман исследовал похожие опреде-

ления, но нам удобнее ассоциировать новый подход именно с Гиббсом, по-

тому что у Больцмана уже один есть) . Вместо того чтобы рассматривать эн-

тропию как характеристику состояний, а именно числа других состояний,

макроскопически неотличимых от рассматриваемого, — мы могли бы считать

энтропию мерой того, что нам известно о состоянии . В больцмановском

подходе сведения о том, в каком макросостоянии мы находимся, по мере

увеличения энтропии теряют информативность: мы не понимаем, о каком

микросостоянии идет речь . Гиббс то же самое рассматривает с другой сто-

роны, и у него энтропия определяется в терминах того, как много мы знаем .

Вместо того чтобы фильтровать пространство состояний, мы начинаем с рас-

пределения вероятностей, указывающего для каждого возможного микро-

состояния шанс, что система действительно сейчас находится в нем . Также

Гиббс дает нам формулу, аналогичную больцмановской, для расчета энтропии,

связанной с данным распределением вероятностей .18 Ничего огрублять не

приходится .

И все же ни больцмановскую формулу для энтропии, ни формулу Гиббса

нельзя назвать «правильной» . Мы сами вводим эти определения, манипули-

руем ими и используем для того, чтобы лучше понять мир; у каждой свои

преимущества и недостатки . Формулу Гиббса часто применяют в прикладных

задачах по одной простой причине: ее проще использовать . Поскольку огру-

бление отсутствует, дискретного изменения значения энтропии при пере-

ходе системы от одного макросостояния к другому не происходит — это

важное преимущество, упрощающее решение уравнений .

Однако подход Гиббса обладает двумя заметными недостатками . Один из

них эпистемологический: идея «энтропии» здесь связывается с нашими зна-

ниями о системе, а не с самой системой . У людей, старающихся с большой

осторожностью рассуждать о том, что же такое на самом деле энтропия, это

продолжает вызывать страшную головную боль, и споры насчет обоснован-

ности этого подхода не утихают . Но тот подход, которого я решил придер-

живаться в этой книге: считать энтропию характеристикой состояния, но не

характеристикой наших знаний о нем, — вроде бы позволяет избежать боль-

шинства проблемных вопросов .

Второй недостаток куда значительнее: если вам известны законы физики

и вы примените их для изучения эволюции «энтропии Гиббса» с течением

времени, вы обнаружите, что ее величина не меняется . Если вдуматься, то ни-

Часть III . Энтропия и ось времени

какой ошибки здесь нет . Энтропия Гиббса описывает то, насколько хорошо мы

понимаем текущее состояние системы . Однако при условии обратимости

физических законов данная величина меняться не будет, ведь информация не

возникает и не разрушается . Для того чтобы энтропия увеличивалась, в будущем

у нас должно стать меньше сведений о состоянии системы, чем есть сейчас; но

мы всегда можем прокрутить пленку назад и посмотреть, что было раньше,

поэтому такая ситуация невозможна . Вывести второе начало термодинамики

или что-то подобное, придерживаясь подхода Гиббса, можно только в том

случае, если «забыть» часть информации о движении . Но если копнуть по-

глубже, то станет очевидно, что с философской точки зрения это то же самое,

что огрубление, с которым мы имели дело в больцмановском подходе; просто

мы перенесли процедуру «забывания» из пространства состояний на уравне-

ния движения .

Тем не менее практическая польза формулы Гиббса для определенных

приложений не вызывает сомнения, и ученые продолжают активно пользо-

ваться ею . Однако и это еще не конец истории; существует несколько других

известных подходов к изучению энтропии, а в литературе непрерывно про-

должают появляться упоминания о новых . Ничего странного в этом нет;

в конце концов, определения Больцмана и Гиббса должны были заменить

вполне достойное определение энтропии, данное Клаузиусом, но оно и по

сей день используется под названием термодинамической энтропии . После

появления на сцене квантовой механики Джон фон Нейман предложил фор-

мулу для энтропии, особым образом адаптированную под квантовый мир .

Клод Шеннон сформулировал определение энтропии, очень близкое по духу

к гиббсоновскому, однако в рамках информационной теории, а не физики —

об этом мы поговорим в следующей главе . Смысл не в том, чтобы найти одно-

единственное истинное определение энтропии . Ученые придумывают по-

нятия, служащие полезным целям в определенных случаях, и это абсолютно

нормально . Не позволяйте никому одурачить вас заявлениями о «единствен-

но верном определении», уникальным образом раскрывающем суть такого

явления, как энтропия .

Точно так же, как существует несколько определений энтропии, есть мно-

жество различных «стрел времени» — еще один потенциальный источник

мошенничества . Мы рассматривали термодинамическую стрелу времени,

определяемую энтропией и вторым началом термодинамики . Но можно также

говорить о космологической стреле времени (Вселенная расширяется), пси-

хологической стреле времени (мы помним прошлое, но не будущее), стреле

времени излучения (электромагнитные волны расходятся прочь от движущих-

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

ся зарядов, а не притягиваются к ним) и т . д . Все это разнообразие стрел вре-

мени естественным образом подразделяется на несколько категорий . Часть из

них, например космологическая стрела, отражает факты об эволюции Вселен-

ной, но тем не менее обладает свойством обратимости . Вполне возможно, что

окончательное объяснение термодинамической стрелы времени также рас-

кроет нам глаза на космологическую стрелу (и это действительно кажется

весьма вероятным); в то же время с точки зрения микроскопических законов

физики расширение Вселенной не представляет никакой загадки в отличие от

увеличения энтропии . Другие стрелы, отражающие поистине необратимые

процессы, — психологическую стрелу, стрелу излучения и даже стрелу, опре-

деляемую квантовой механикой, мы будем исследовать позже . Все они кажутся

отражениями одних и тех же глубинных причин, характеризуемых изменением

энтропии . Разобраться в подробностях, как они все взаимосвязаны, несомнен-

но, важно и интересно, однако я продолжу использовать термин «стрела вре-

мени», имея в виду одну конкретную стрелу — ту, что основывается на увели-

чении энтропии .

Доказательство второго

Начала термодинамики

После того как Больцману открылся смысл энтропии как меры количества

микросостояний, соответствующих выбранному макросостоянию, он поставил

себе новую цель: уже на этом уровне понимания установить происхождение

второго начала термодинамики . Я уже рассказывал об основных причинах,

почему второе начало действительно работает: состояний с высокой энтропи-

ей намного больше, чем с низкой, а разные начальные состояния в процессе

развития приходят к разным конечным состояниям, поэтому большую часть

времени (с действительно подавляющей вероятностью) можно ожидать, что

энтропия будет увеличиваться . Однако Больцман был истинным ученым, и ему

недостаточно было лишь этого . Он хотел доказать, что второе начало термо-

динамики следует из его определения .

Довольно непросто вообразить себя на месте ученого, занимающегося

исследованием термодинамики в конце XIX века . Эти ребята чувствовали,

что неспособность энтропии уменьшаться в замкнутой системе не просто

отличная идея, а закон . Мысль о том, что энтропия, вероятно, будет увеличи-

ваться, казалась им не более правдоподобной, чем, например, предположение

о том, что энергия, вероятно, будет сохраняться . И правда, числа настолько

Часть III . Энтропия и ось времени

ошеломляюще велики, что вероятностные выводы статистической механики

можно было бы использовать как абсолютно верные для всех практических

задач . Тем не менее Больцман стремился продемонстрировать нечто более

определенное .

В 1872 году Больцман (в то время ему было двадцать восемь лет) опубли-

ковал статью, в которой предлагал использовать для доказательства того, что

энтропия всегда будет либо увеличиваться, либо оставаться постоянной, кине-

тическую теорию . Этот результат называется H-теоремой, которая с того само-

го времени остается источником множества споров в научной среде . Даже

сегодня одни люди уверены, что H-теорема объясняет незыблемость второго

начала термодинамики в реальном мире, тогда как другие полагают ее всего

лишь забавным пережитком истории интеллектуальной мысли . Правда в том,

что это действительно чрезвычайно интересный результат для статистической

механики, но «доказать» второе начало он все же не в силах .

Больцман размышлял следующим образом . В макроскопическом объекте,

таком как наполненная газом комната или чашка кофе с молоком, присутству-

ет невероятное количество молекул — более 1024 . Он рассматривал такой

случай, когда газ относительно разрежен; в этой ситуации столкнуться могут

две любые частицы, но редкие события, когда одновременно друг в друга вре-

заются три или более частиц, можно игнорировать (это на самом деле не вы-

зывающее претензий предположение) . Нам необходимо найти способ, как

охарактеризовать макросостояние всех этих частиц . Итак, вместо того чтобы

отслеживать положения и импульсы всех молекул (что дало бы нам полное

описание микросостояния), давайте следить за средним числом частиц, обла-

дающих данным положением и импульсом . Например, в контейнере с газом,

находящемся в равновесии при определенной температуре, среднее число

частиц в каждой точке равно, а также существует некоторое распределение

импульсов, такое, что средняя энергия частиц дает нам нужную температуру .

Имея на руках лишь эту информацию, можно вычислить энтропию газа . А затем

(если вы Больцман) доказать, что энтропия газа, пребывающего не в равно-

весном состоянии, будет со временем возрастать, пока не достигнет максималь-

ного значения, после чего останется на этом уровне . Очевидно, что мы вывели

второе начало термодинамики .19

Очевидно, однако, что здесь что-то не чисто . Мы начали с микроскопических

законов физики, совершенно инвариантных относительно направления вре-

мени, — они работают одинаково хорошо как вперед во времени, так и назад .

А Больцман утверждал, что получил на основе этих законов результат, абсо-

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

лютно точно не обладающий свойством инвариантности и приводящий к оче-

видной стреле времени, что подтверждается словами об увеличении энтропии

по направлению к будущему . Как же можно получить необратимые результаты

исходя из обратимых предположений?

Данное возражение было громко и ясно высказано Йозефом Лошмидтом

в 1876 году, после того как схожие сомнения появились у Уильяма Томсона

(лорда Кельвина) и Джеймса Клерка Максвелла . Лошмидт был близким другом

Больцмана, взявшим молодого физика под свою опеку в Вене в 1860-е годы .

И он не проявлял никакого скептицизма по отношению к атомной теории;

в действительности Лошмидт первым сумел точно оценить физические раз-

меры молекул . Однако ему было невдомек, как Больцман сделал вывод об

асимметрии времени, не прибегая к помощи его предположений .

Доводы, стоящие за тем, что нам сегодня известно под названием «воз-

ражения Лошмидта об обратимости», просты . Рассмотрим какое-то конкрет-

ное микросостояние, соответствующее макросостоянию с низкой энтропией .

Оно с огромной вероятностью будет развиваться в сторону высокоэнтро-

пийных состояний . Но инвариантность относительно отражения времени

гарантирует, что для каждого такого пути развития существует другой до-

пустимый путь — зеркальное отражение оригинала, — начинающийся

в высокоэнтропийном состоянии и эволюционирующий навстречу низкой

энтропии . В пространстве всех процессов, которые могут происходить

с течением времени, можно найти ровно столько же систем, начинающих

существование в условиях высокой энтропии и приходящих в состояние

с низкой энтропией, как и систем, переходящих из низкоэнтропийного со-

стояния к высокоэнтропийному . На рис . 8 .5, где показано пространство со-

стояний, разделенное на макросостояния, мы нарисовали траекторию, беру-

щую начало в макросостоянии с очень низкой энтропией . Однако траектория

не появляется из ниоткуда; она должна была существовать и до того, и в ее

истории должно было быть состояние с высокой энтропией, — явный пример

пути, вдоль которого энтропия уменьшилась . Очевидно, что если вы верите

в динамику, инвариантную относительно отражения времени (как все эти

ученые), то совершенно невозможно доказать, что энтропия всегда только

увеличивается .20

Однако Больцман что-то доказал, и, насколько можно было судить, в его

рассуждениях не было математических или логических ошибок . Скорее всего,

в его доводы каким-то образом проникло предположение об асимметричности

времени, даже если эта идея не была высказана явно .

Часть III . Энтропия и ось времени

Действительно, так и случилось . Одним из важнейших шагов в аргументах

Больцмана было предположение о молекулярном хаосе — Stosszahlansatz по-

немецки, что можно буквально перевести как «гипотеза о числе столкновений» .

Суть его в том, что мы считаем движение молекул произвольным, то есть они

не строят коварных заговоров с целью подчинить свое движение определенной

схеме . Но для того, чтобы энтропия уменьшалась, именно это и требуется —

коварный заговор! Таким образом, Больцман, в сущности, доказал, что энтро-

пия может увеличиваться только в том случае, если с самого начала отмести

любые альтернативные варианты . В частности, он предполагал, что импульсы

любой пары частиц до того, как они столкнутся, независимы или не скоррели-

рованы между собой . Однако это «до» как раз и иллюстрирует то самое пред-

положение об асимметричности времени; если частицы никак не скоррелиро-

ваны до столкновения, то после между ними установится взаимосвязь или

корреляция . Вот так предположение о необратимости прокралось в доказа-

тельство .

Если взять систему в состоянии с низкой энтропией и позволить ей раз-

виваться по направлению к увеличению энтропии (например, подождать, пока

растает кубик льда), то после того, как все закончится, между молекулами

можно будет найти огромное количество корреляций . В частности, среди них

будут корреляции, гарантирующие, что если мы инвертируем все импульсы, то

система вернется в низкоэнтропийное начальное состояние . В рассуждениях

Больцмана такая возможность учтена не была . Он доказал, что энтропия ни-

когда не будет уменьшаться, если отбросить обстоятельства, при которых эн-

тропия могла бы уменьшиться .