Деконструкция Бенджамина Баттона

Вторую главу мы открыли несколькими литературными примерами необычной

стрелы времени — это были истории о людях или вещах, для которых время

текло в обратную сторону . В «Стреле времени» у повествователя были вос-

поминания о будущем, но не о прошлом; Белая Королева чувствовала боль от

Часть III . Энтропия и ось времени

укола еще до того, как булавка касалась ее пальца; а главный герой «Загадочной

истории Бенджамина Баттона» Фрэнсиса Скотта Фицджеральда становился

моложе с течением времени, хотя воспоминания и опыт у него накапливались

обычным образом, как у всех остальных людей . Теперь у нас есть инструменты,

благодаря которым мы можем обоснованно доказать, что ничего подобного

в реальном мире никогда не произойдет .

Если фундаментальные законы физики обратимы, то, зная точное состояние

всей Вселенной (или любой другой замкнутой системы) в произвольный момент

времени, мы с помощью этих законов можем определить, в каком состоянии

она окажется в любой момент в будущем или какой она была в любой момент

в прошлом . Обычно в качестве точки отсчета выбирают «начальный» момент

времени, но это, в принципе, может быть и любое другое мгновение . Более

того, в текущем контексте, когда нас больше всего волнуют стрелы времени,

указывающие во всевозможных направлениях, одного начального момента

времени для всего сущего мы и вовсе не найдем . Итак, вот что нам интересно:

почему настолько сложно, а то и вовсе невозможно найти состояние Вселенной,

обладающее интересующим нас свойством — чтобы по мере нашей эволюции

вперед во времени в некоторых ее частях энтропия увеличивалась, а в других

уменьшалась?

На первый взгляд кажется, что это элементарно . Возьмите два контейнера

с молекулами газа . Создайте в одном из них состояние с низкой энтропией, как

в левом верхнем углу на рис . 8 .6 . Как только молекулы начинают движение, их

энтропия возрастает, как и ожидалось . Второй контейнер мы возьмем в со-

стоянии с высокой энтропией, которое получилось из состояния с низкой

энтропией в результате временной эволюции . Изменим скорости всех содер-

жащихся в нем молекул на противоположные, как в левом нижнем кадре на том

же рисунке . Таким образом, во втором контейнере все будет готово для того,

чтобы энтропия начала со временем уменьшаться . Итак, начиная с мгновения,

когда вы завершили подготовку, в двух контейнерах энтропия будет меняться

в противоположных направлениях .

Однако нам нужно больше . Совсем не интересно наблюдать, как жизнь

протекает вдоль разнонаправленных стрел времени в двух не связанных друг

с другом мирах . Мы хотим воспроизвести это состояние во взаимодейству-

ющих системах — таких, которые способны каким-то образом общаться друг

с другом .

И это все изменяет .15 Представьте себе, что мы взяли эти два контейнера:

в одном все готово к увеличению энтропии, а во втором — к ее уменьшению .

После этого добавим крошечное взаимодействие: скажем, несколько протонов,

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

Рис . 8 .6 . На верхних рисунках мы видим обычное поведение молекул в контейнере, которые

из начального состояния с низкой энтропией переходят в конечное высокоэнтропийное

состояние . На нижних рисунках мы обратили импульсы всех частиц из финального состоя-

ния верхней строки, для того чтобы пустить эволюцию в обратную сторону и добиться

снижения энтропии

летающих туда и сюда между двумя контейнерами . Столкнувшись с молекула-

ми в одном контейнере, они будут перелетать в другой, отталкиваться там от

новых молекул и т . д . Определенно, тело Бенджамина Баттона взаимодейство-

вало с окружающим миром куда сильнее (так же, как Белая Королева и пове-

ствователь в «Стреле времени» Мартина Эмиса) .

Это небольшое взаимодействие приведет к легкому изменению скоростей

тех молекул, с которыми доведется столкнуться протонам (импульс сохраня-

ется, поэтому других вариантов быть не может) . Для контейнера, где энтропия

изначально была низкой, это не представляет никакой проблемы, так как для

того, чтобы заставить энтропию расти, специальной тонкой настройки прово-

дить не нужно . Однако это полностью разрушает нашу попытку создать во

втором контейнере условия, при которых энтропия смогла бы уменьшиться .

Даже самое незначительное изменение скорости очень быстро распростра-

нится на весь объем газа: одна столкнувшаяся с протоном молекула ударит

Часть III . Энтропия и ось времени

другую, та, в свою очередь, врежется еще в пару и т . д . Для того чтобы энтропия

в контейнере с газом стала волшебным образом уменьшаться, направления

скоростей всех молекул должны быть точно согласованы, и любое дополни-

тельное взаимодействие нарушит это хрупкое согласие . В первом контейнере

энтропия будет вполне ожидаемо возрастать, а во втором она как была высокой,

так высокой и останется — по сути, эта подсистема будет пребывать в равно-

весном состоянии . Во взаимодействующих подсистемах Вселенной не могут

существовать несовместимые стрелы времени .16

Энтропия как беспорядок

Мы часто говорим, что энтропия — мера беспорядка . Это всего лишь удобный

перевод очень специфического понятия на простой человеческий язык — аб-

солютно адекватный на первый взгляд, но таящий пару неточностей, которые

при определенных обстоятельствах могут всплыть на поверхность . Теперь,

когда нам известно настоящее определение энтропии, данное Больцманом, мы

можем проверить, насколько близка к истине эта неформальная идея .

Вопрос в том, что следует понимать под «порядком» . В отличие от энтро-

пии, порядок — не такое понятие, которому можно с легкостью дать строгое

определение . В голове мы ассоциируем «порядок» с целенаправленным рас-

положением объектов тем или иным способом в отличие от состояния хаоса .

Действительно, обсуждая энтропию, мы использовали очень похожие выраже-

ния . Неразбитое яйцо кажется нам более упорядоченным, чем яйцо, вылитое

в чашку и взбитое до однородного состояния .

Энтропия кажется естественным образом связанной с понятием беспоряд-

ка, потому что чаще всего путей создания беспорядка больше, чем путей упо-

рядочения объектов . Классический пример роста энтропии — распределение

документов на рабочем столе . Вы складываете их в аккуратные стопки — при-

водите в порядок, в состояние с низкой энтропией, но со временем они рас-

ползаются по столу — порядок утерян, энтропия возросла . Конечно, ваш стол

нельзя назвать замкнутой системой, но основная идея, думаю, понятна .

С другой стороны, если слишком налегать на ассоциации, можно опроверг-

нуть свои же идеи . Взять, например, молекулы воздуха в комнате, где вы сидите

прямо сейчас . Скорее всего, они равномерно распределены по всему объему

помещения и образуют высокоэнтропийную конфигурацию . Теперь пред-

ставьте себе, что все молекулы собрались в центре комнаты в небольшой об-

ласти всего лишь в несколько сантиметров шириной и к тому же выстроились

в фигуру, повторяющую Статую Свободы, только в миниатюрном варианте .

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

Неудивительно, что энтропия такой конфигурации намного ниже, и все со-

гласятся, что порядка в ней намного больше . Но попробуем зайти еще дальше:

пусть газ сожмется еще сильнее и соберется в крохотную аморфную кляксу

диаметром не больше одного миллиметра . Поскольку область пространства,

в которой теперь сконцентрирован весь газ, стала еще меньше, энтропия новой

конфигурации также уменьшилась по сравнению с конфигурацией «Статуя

Свободы» (расположить молекулы так, чтобы они образовали статуэтку

среднего размера, можно куда большим числом способов, чем собрать их в очень

маленькую кляксу) . Однако вряд ли кто-то будет утверждать, что аморфная

клякса более «упорядочена», чем копия знаменитого памятника, даже если эта

клякса действительно крайне мала . Получается, что в данном случае корреляция

между упорядоченностью и малой энтропией отсутствует, так что нам следует

быть более осторожными с выбором примеров .

Этот пример кажется несколько надуманным, и действительно, совсем не

нужно так изощряться, чтобы опровергнуть утверждение об эквивалентности

энтропии и беспорядка . Продолжая серию кухонных примеров, рассмотрим

масло и уксус . Если вы смешаете эти два ингредиента в чашке, готовя заправку

для салата, а затем отставите посудину в сторону, то заметите, что смесь очень

быстро перестает быть однородной — масло отделяется от уксуса . Не бойтесь,

это не означает, что салатная заправка способна нарушить второе начало тер-

модинамики . Уксус в основном состоит из воды, а молекулы воды прилипают

к молекулам масла, и, в силу определенных химических свойств масла и воды,

они способны образовывать при этом лишь строго определенные конфигура-

ции . Таким образом, когда вы тщательно перемешиваете масло с водой (или

с уксусом), молекулы воды прилипают к молекулам масла в очень специальных

конфигурациях, соответствующих состоянию с относительно низкой энтро-

пией . Когда же две субстанции по большей части разделены, отдельные моле-

кулы получают возможность свободно перемещаться между другими молеку-

лами того же типа . При комнатной температуре это приводит к тому, что

у масла с водой энтропия выше в конфигурации, когда они разделены, а не

когда их старательно перемешали .17 Порядок спонтанно возникает на макро-

скопическом уровне, но по сути — на микроскопическом уровне — это ба-

нальнейший беспорядок .

В по-настоящему больших системах все еще сложнее . Давайте перейдем от

газа, содержащегося в одном небольшом помещении, к облаку газа и пыли

астрономических масштабов — скажем, галактической туманности . Она про-

изводит впечатление весьма хаотичного и высокоэнтропийного объекта . Од-

нако если размер туманности достаточно велик, она начинает сжиматься под

Часть III . Энтропия и ось времени

давлением собственной гравитации, в результате чего формируется звезда —

возможно, даже с вращающимися вокруг нее планетами . Поскольку этот процесс

подчиняется второму началу термодинамики, мы можем быть уверены в том,

что в конце него энтропия выше, чем была в начале (мы старательно учитываем

все порожденное коллапсом излучение и другие побочные эффекты) . Но звез-

да с несколькими планетами кажется, по крайней мере с неформальной точки

зрения, более упорядоченной системой, чем рассредоточенное межзвездное

облако газа . Энтропия увеличилась, но точно так же возросла степень упоря-

доченности .

Хитрость в данном случае в гравитации . Можно бесконечно говорить о том,

как гравитация в пух и прах разносит наше бытовое понимание энтропии, но

достаточно будет заметить, что взаимодействие гравитации с другими силами

обладает чудесной способностью создавать порядок, одновременно, тем не

менее, повышая энтропию — хотя бы и временно . Это великолепная подсказ-

ка, дающая понять, как работает Вселенная; жаль только, что пока наших знаний

недостаточно для того, чтобы ею воспользоваться .

Пока давайте просто запомним, что связка «энтропия — беспорядок» не

идеальна . В этом нет ничего страшного, и мы можем продолжать неформально

объяснять понятие энтропии на примере захламленного рабочего стола . Од-

нако что в действительности сообщает нам энтропия, так это сколько микро-

состояний с макроскопической точки зрения кажутся нам неразличимыми .

Иногда это напрямую связано с порядком, а иногда нет .

Принцип безразличия

С больцмановским подходом ко второму началу термодинамики связаны еще

два надоедливых вопроса, которые не мешало бы прояснить или, по крайней

мере, о которых стоит упомянуть . Итак, у нас есть огромный набор микросо-

стояний, который мы подразделяем на макросостояния, и мы объявляем, что

энтропия равна логарифму числа микросостояний в данном макросостоянии .

Теперь нам предлагают добавить еще один существенный факт — предполо-

жение о том, что все микросостояния, отвечающие одному и тому же макро-

состоянию, «равновероятны» .

Следуя по цепочке рассуждений Больцмана, логично было бы утверждать,

что причина возрастания энтропии со временем кроется всего-навсего в коли-

честве микросостояний: куда больше микросостояний образуют макрососто-

яния с высокой энтропией, чем с низкой . Однако это утверждение не имело бы

никакого смысла, если бы типичная система проводила намного больше вре-

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

мени в низкоэнтропийных микросостояниях (а их относительно немного), чем

в высокоэнтропийных (которых гораздо больше) . Представьте себе, будто

у микроскопических законов физики появилось новое свойство: почти все

высокоэнтропийные состояния естественным образом переходят в одно из

немногих низкоэнтропийных состояний . В таком случае тот факт, что состоя-

ний с высокой энтропией больше, не играл бы совершенно никакой роли; мы

все равно знали бы, что если подождать достаточно долго, то энтропия в систе-

ме понизится .

Несложно вообразить мир с подобными безумными законами физики .

Давайте еще раз вернемся к бильярдному столу с катающимися по нему шара-

ми . Шары перемещаются по столу совершенно обычным образом, за одним

важным исключением: каждый раз, когда шар врезается в какой-то один бортик

стола, он мгновенно к нему прилипает . (Мы предполагаем, что в нашем мыс-

ленном эксперименте нет злоумышленника, намазавшего бортик клеем, или

еще чего-то подобного, демонстрирующего, тем не менее, обратимое поведение

на микроскопическом уровне, — в данном случае мы вводим совершенно новый

фундаментальный закон физики .) Обратите внимание на то, что пространство

состояний этих бильярдных шаров абсолютно такое же, каким оно было бы

в традиционном мире: зная положение и импульс каждого шара, мы можем

с идеальной точностью предсказать их будущее . Тонкость лишь в том, что

с громадной вероятностью в конце эволюции этой системы все шары будут

находиться возле одного из бортиков . Энтропия такой конфигурации чрезвы-

чайно низка; подобных микросостояний совсем немного . В таком мире энтро-

пия могла бы спонтанно уменьшиться даже в замкнутой системе, такой как

бильярдный стол .

Совершенно очевидно, что в этом примере, хоть и притянутом за уши,

фигурирует новшество: необратимый закон физики . А сама система очень на-

поминает шахматную доску D из предыдущей главы: там диагональные линии

серых квадратиков обрывались после соприкосновения с одним из вертикаль-

ных столбцов . Информации о положениях и импульсах всех шаров на этом

забавном столе достаточно для того, чтобы предсказывать будущее, но восста-

новить прошлое она не позволит . Увидев шар, лежащий рядом с бортиком, мы

уже не сможем узнать, как долго он там находится .

Реальные же законы физики на фундаментальном уровне обратимы . И если

вдуматься, это их свойство гарантирует, что высокоэнтропийные состояния

не будут стремиться переходить в состояния с низкой энтропией . Как вы пом-

ните, основа обратимости — сохранение информации . Информация, необхо-

димая для описания конкретного состояния, сохраняется, несмотря на то что

Часть III . Энтропия и ось времени

система движется, меняясь с течением времени . Это означает, что два разных

состояния с течением времени всегда переходят в два разных состояния; если

бы в будущем они приходили в какое-то одно состояние, то мы не могли бы

восстановить прошлое этого состояния . Поэтому совершенно невозможно,

чтобы все высокоэнтропийные состояния стремились в низкоэнтропийные:

состояний с низкой энтропией просто-напросто слишком мало, для того чтобы

это было реально . Данный результат называется теоремой Лиувилля в честь

французского математика Жозефа Лиувилля .

Это почти то, что нам нужно, но не совсем . И, как это часто случается, мы

хотим того, что вряд ли сможем в действительности получить . Предположим,

что у нас есть какая-то система, мы знаем, в каком макросостоянии она на-

ходится, и хотели бы сделать какие-то предсказания относительно ее будуще-

го . Пусть это будет, например, стакан воды с плавающим в ней кубиком льда .

Согласно теореме Лиувилля, большинство микросостояний этого макросо-

стояния будут стремиться к увеличению (либо сохранению) энтропии . То

же самое говорит нам второе начало термодинамики: кубик льда, скорее

всего, растает . Однако система находится ровно в одном конкретном микро-

состоянии, даже если мы не знаем точно, в каком . Можем ли мы быть увере-

ны, что это не одно из того крошечного набора микросостояний, в которых

энтропия способна в любое мгновение внезапно уменьшиться? Как гаранти-

ровать, что кубик льда не увеличится, одновременно нагрев окружающую

его воду?

Ответ прост: никак . В макросостоянии «вода с кубиком льда» обязательно

присутствует какое-то конкретное, очень редкое микросостояние, которое

действительно будет эволюционировать по направлению к микросостоянию

с меньшей энтропией . Статистическая механика (основанная на атомах версия

термодинамики), по сути, наука вероятностная: нам неизвестно, что в точности

произойдет; мы можем лишь утверждать, что вероятность определенных со-

бытий наиболее высока . По крайней мере, нам хотелось бы иметь возможность

делать такие утверждения . В действительности же мы можем говорить лишь

о том, что большинство состояний с небольшой энтропией будут развиваться

в сторону увеличения, а не уменьшения энтропии . Вы обратили внимание на

тонкое различие между «большинство микросостояний данного макрососто-

яния развиваются в сторону увеличения энтропии» и «принадлежащее дан-

ному макросостоянию микросостояние с большой вероятностью будет раз-

виваться в сторону увеличения энтропии»? Первое утверждение — это всего

лишь подсчет относительного числа микросостояний, обладающих разными

свойствами («кубик льда тает» или «кубик льда растет»), однако во втором

Глава 8 . Энтропия и беспорядок

мы уже делаем заявление о вероятности какого-то события в реальном мире .

Это не одно и то же . В мире больше китайцев, чем литовцев; однако это не

означает, что вы с большей вероятностью столкнетесь с китайцем, чем с литов-

цем, прогуливаясь по улицам Вильнюса .

Другими словами, традиционная статистическая механика основывается

на критически важном допущении: если мы находимся в определенном макро-

состоянии и знаем полный набор составляющих его микросостояний, мы можем

предполагать, что все эти микросостояния одинаково вероятны. В любых по-

добных рассуждениях допущения неизбежны, потому что без их помощи нам

никак не перейти от банального подсчета количества состояний к точному

вычислению вероятностей . У предположения о равной вероятности есть на-

звание, которое также отлично подошло бы в качестве заглавия для стратегии

поиска спутника жизни, особенно если вы человек эмоциональный: «принцип

безразличия» . Впервые оно прозвучало в контексте теории вероятностей за-

долго до того, как на сцене появилась статистическая механика, и озвучил его

наш старый друг Пьер-Симон Лаплас . Он был упертым детерминистом, одна-

ко, как и любой другой человек, понимал, что чаще всего нам приходится

оперировать далеко не всеобъемлющими наборами фактов . Тем не менее ему

было интересно, какие выводы человек способен делать в ситуациях неполной

информированности .

Так вот, чаще всего лучшее из всего, что мы можем предпринять, — при-

менить принцип безразличия . Если нам не известно ничего, кроме того, что

система находится в определенном макросостоянии, мы предполагаем, что

все образующие его микросостояния одинаково вероятны (не забывая, од-

нако, об одном принципиальном исключении, которое называется гипотезой

о прошлом, — о нем мы поговорим в конце главы) . Было бы очень здорово,

если бы у нас была возможность доказать истинность данного предположе-

ния, — и действительно, многие люди пытались это сделать . Например, если

бы система в процессе своего движения проходила через все возможные

микросостояния (или по крайней мере через достаточно большой их набор,

почти полностью охватывающий все возможные микросостояния) за разум-

ный промежуток времени, то у нас были бы определенные основания считать

все микросостояния одинаково вероятными . Система, посещающая каждое

(или почти каждое) состояние в своем пространстве состояний и, таким об-

разом, перебирающая все (или почти все) возможные исходы, называется

эргодической . Проблема в том, что даже если система действительно является

эргодической (а таковыми являются далеко не все системы), ей потребовалась

бы целая вечность, чтобы пройти вблизи всех своих микросостояний . Ну ладно,

Часть III . Энтропия и ось времени

может быть, не вечность, но это все равно заняло бы ужасно много времени .

Макроскопическая система может пребывать в таком огромном числе со-

стояний, что для того, чтобы перепробовать их все, потребуется время, со-

поставимое с возрастом Вселенной .

Настоящая причина существования принципа безразличия заключается

в том, что ничего лучше у нас просто нет . Ну и, конечно, потому что он вроде

бы работает .