Релаксаційні коливання в лазерах
Релаксаційні коливання інтенсивності спостерігаються в більшості лазерів. Характерний період таких коливань значно перевищує час життя фотону в резонаторі і час обходу резонатора . Найчастіше цей період знаходиться в інтервалі мкс. Основним фізичним механізмом релаксаційних коливань є взаємодія генеруючого поля в резонаторі з активним середовищем. Зростання інтенсивності поля викликає зменшення інверсії населеностей внаслідок того, що збільшується ймовірність вимушених переходів. Це, в свою чергу, означає зменшення підсилення і приводить до зменшення інтенсивності поля випромінювання. При побудові математичної моделі цього явища будемо виходити з ідеалізованої моделі лазера з однорідно розширеним контуром підсилення. Допустимо також, що населеність нижнього лазерного рівня дуже мала, тобто виконується умова , і будемо рахувати густину інверсії Швидкість накачування на рівень 2 (атомів/м3с) рівна , а час розпаду стану 2 під дією любих причин, крім вимушеного випромінювання, рівний .Позначивши через ймовірність індукованого переходу на один атом, запишемо рівняння:
(15.1)
Ймовірність пропорційна інтенсивності поля а значить, і густині фотонів в резонаторі. Тому рівняння (15.1) можна переписати наступним чином:
(15.2)
де – коефіцієнт, який визначається співвідношенням: Оскільки це одночасно і ймовірність випромінювання фотону, маємо також рівняння:
(15.3)
Рівняння (15.2) і (15.3) описують взаємодію між полем випромінювання з густиною фотонів і активним середовищем з густиною інверсії По своїй суті отримали нелінійну систему диференціальних рівнянь, які неможливо розв’язати точно аналітично. Розв’язок можна отримати лише числовими методами. Перш за все зауважимо, що в стаціонарному режимі і справедливі співвідношення:
(15.4)
З (15.4) випливає, що при густина фотонів Позначимо це порогове значення накачування через і введемо фактор перевищення порогу що дозволяє записати друге із співвідношення (15.4) у вигляді
(15.5)
Розглянемо тепер поведінку системи при малому відхиленні від рівноваги, задавши Підставивши ці вирази у рівняння (15.2) і (15.3), використовуючи (15.4) і нехтуючи малими нелінійними членами типу (лінеаризаця рівнянь, допускаючи, що розв’язки дуже близькі до стаціонарного розв’язку), отримаємо:
(15.6)
(15.7)
Взявши похідну від (15.7), і підставивши в отриману рівність з (15.6) та використавши (15.4), приходимо до
(15.8)
або оперуючи фактором перевищення порога отримаємо:
(15.9)
Ми отримали рівняння гармонічного осцилятора з втратами. Запропонувавши його розв’язок у вигляді приходимо до характеристичного рівняння
яке має корені причому:
(15.10)
Отже, розв’язок лінеаризованого рівняння (15.9) має вигляд Вихідна потужність (вона пропорційна числу фотонів в резонаторі) має синусоїдальні затухання коливань з частотою і декрементом які зростають із збільшенням потужності накачування.
Передбачені теорією затухаючі гармонічні коливання інтенсивності, дійсно, спостерігаються у деяких лазерів, але часто коливання виявляються незатухаючими. Режим першого типу властивий лазеру на CaWO4:Nd3+.
Приклад. Релаксаційні коливання. Задамо наступні значення параметрів лазера: с, c, і розрахуємо за формулою (15.10), отримаємо: с.
На рис. 15.1а представлені залежності зміни в часі і , якщо дані відповідають вище наведеному прикладу, а Ці графіки побудовані на основі числового розв’язку рівнянь (15.2) і (15.3) з врахуванням виразів (15.4) і (15.5) Такі залежності є типовими для твердотільних лазерів. Навіть незначне відхилення від і від рівноважних положень приводить до сильних осциляцій у величині тобто вихідної потужності, проте мало відхиляється від положення рівноваги. Випромінювання має пічкову структуру, що спостерігається для реальних лазерів. Якщо співмірне з часом життя фотонів в резонаторі (характерно для газових лазерів), то осциляції практично відсутні, і потужність випромінювання лазера досить швидко виходять на стаціонарний рівень, що демонструє рис.15.1б. Для даного випадку
Рис.15.1. Залежність інверсної населеності і густини фотонів в резонаторі в часі.
Дуже часто незатухаючі пульсації інтенсивності випромінювання лазерів, які спостерігаються можна пояснити, по крайні мірі, якісно, розглядаючи рівняння (15.9) . Воно, як відомо, співпадає по формі з рівнянням осцилятора без зовнішньої дії або RCL–контура. Незатухаючі коливання такого осцилятора виникають під дією зовнішньої сили. Одним із механізмів вимушеного розкачування пульсацій може бути швидкість накачування яка змінюється з часом. В даному випадку представимо накачування у вигляді
(15.11)
Відтворюючи виведення рівняння (15.6) і маючи на увазі рівняння (15.11) приходимо до видозміненого рівняння для інверсії . Тоді замість (15.9) отримаємо
(15.12)
Здійснивши фур’є-перетворення обох частин останнього рівняння, позначивши фур’є-образи величин i через і , відповідно, знаходимо
(15.13)
Зауважимо, що і співпадають з частотою та декрементом затухання перехідних пульсацій, які подаються формулами (15.10). Якщо припустити, що спектр вимушуючої сили однорідний (тобто подібний до спектру ”білого шуму”) поблизу частоти , то фур’є-спектр буде мати пік з вершиною на частоті і з шириною Крім того, якщо то можна очікувати, що в часовому представленні флуктуації інтенсивності будуть промодульовані з частотою
Зроблені висновки підтверджуються експериментальними результатами, які відносяться до лазерів різних типів. Резонансна природа відгуку проявляється також і в дослідах з модуляцією яких-небудь параметрів лазера на частотах близьких до . Внутрішня модуляція зв’язку на цих частотах звичайно відбувається у випромінюванні з сильними спотворення.
Лекція 16
Модуляція добротності
З точки зору багатьох прикладних задач більш важливим є імпульсний режим роботи лазера. В процесі генерації імпульсів енергія накачування, яка накопичилась в активному середовищі, може бути випромінена на протязі дуже короткого проміжку часу, в наслідок чого різко зростає пікова потужність. Це має вирішальне значення для таких технічних застосувань лазера, як оброблювання та зварювання матеріалів. Що стосується питання про використання дуже коротких лазерних імпульсів, то треба дослідити швидко протікаючі перехідні процеси, які тривають менше с. Ми детально розглянемо способи модуляції добротності і синхронізації мод, які використовуються для генерації коротких імпульсів.