Resonance in oscillatory circuit

Purpose of work: study of forced oscillations and resonance phenomena in an oscillatory circuit.

Task: obtain dependence between voltage u_с on a condenser and frequency n of the enforced voltage and build a graph u_c = f(n). Define resonance frequency n₀ and check the formula of resonance curve.

Devices and equipments: oscillatory circuit, generator (an output is a 5 Ohm), frequencymeter, millivoltmeter.

Experimental setting

Variable voltage is produced from the generator (fig.22.1) to an oscillatory circuit:

, (22.1)

where u₀ is the voltage amplitude; Ω - cyclic frequency of generator; u is condenser voltage, measured by millivoltmeter.

Figure 22.1

Theoretical part

Forced oscillations appear in the contour when alternating current from an extraneous source (in our case from a generator) is following through serially connected inductance – L, capacity – C and resistance – R.

Differential equation which describes the change of charge on a condenser with time looks like:

. (22.2)

where - attenuation coefficient; - own cyclic frequency of non-attenuating oscillations in the contour when .

The solution of equation (22.2) is

, (22.3)

where ω is cyclic frequency of free oscillations

, .

After some time the first element in equation (22.3) will become infinitely small due to exponent in a negative power. The contour will get into the permanent mode of the forced oscillations with voltage frequency . Condenser voltage:

. (22.4)

Amplitude of these oscillations depends on frequency of the enclosed difference of potential

. (22.5)

This function has an extremum (max) at frequency

, (22.6)

which is named resonance frequency. Consequently, the phenomenon of resonance consists in achieving of maximal amplitude of the forced oscillations at the change of frequency of external action. Resonance frequency does not coincide with the own frequency of oscillations ω_о as shown in (22.6).

From fig. 22.2 it is evident that voltage higher than the amplitude of the enclosed signal appears at two values of frequency.

Figure 22.2

From (22.5):

.

After simplifications obtain a correlation which enables to calculate resonance frequency by a value and for any voltage

. (22.7)

Experimental part

Figure 22.3

1. Assemble the scheme according to figure 21.1. The working point of the frequencymeter is point A (see fig. 22.3). Initial resistance of the generator is 5 Ohm.

2. Set all the switches on the front panel of frequencymeter to positions shown on fig 22.3.

3. Set a measuring limit 7,5 V on the millivoltmeter by turning the switches.

4. Switch on generator and frequencymeter.

5. Select frequency multiplier x100 and set voltage = 10 V on the generator.

6. Changing the frequency of the generator, find the experimental value of the resonance frequency and voltage at resonance. Write down these values in a table 22.1.

7. Measure a resonance curve, i.e. dependence of voltage on the condenser from frequency, in a range from 6 kHz to 17 kHz. Thus fluently increasing frequency observer the values on the millivoltmeter. When voltage will change on approximately 1 V (20 marks), write down the value of frequency and voltage in a table. It is not necessary to try to get the exact meaning of voltage, as the regulator of frequency of generator is rough and attaining it is impossible.

Table 22.1

Ω,kH

Uc,mV

8. Draw the resonance curve on a plotting paper based on experiment results.

9. Choose 5 values of voltage on the condenser and for each of them ind frequencies and on the resonance curve (see fig.22.2). Write down results in a table 22.2.

Table 22.2

Ω1, kHz
Ω2, kHz
ΩР, kHz

10. Using formula (22.7) calculate five values of resonance frequency and put them into the table 22.2. Find the mean value of the resonance frequency.

11. Analyze the results, confronting a calculation ( ) and directly measured ( ) resonance frequencies. If they appear approximately identical, then it justifies the correlation (22.7), and consequently expression (22.5) of resonance curve.

Control questions

1. What oscillations are named forced?
2. Write down differential equation of the forced oscillations in a contour.
3. What is called permanent mode of the forced oscillations?
4. How does voltage on a condenser depend from time in permanent mode of the forced oscillations?
5. What is resonance curve? Write down its analytical kind.
6. Write down expression for resonance frequency.
7. Obtain correlation (22.7).

Literature

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. – т. 2. – М.: Наука, 1980.- С.544-556.

2. Савельев И. В. Курс общей физики. – т. 2. – М.: Наука, 1982.- С.251-258.

3. Бушок Г.Ф., Венгер Є.Ф. Курс фізики: В 3-х ч. - К: Вища школа. 2003, т.2.- С.219-229.

Translator: S.P. Lushchin, the reader, candidate of physical and mathematical sciences.

Reviewer: S.V. Loskutov, professor, doctor of physical and mathematical sciences.

Approved by the chair of physics. Protocol № 6 from 30.03.2009 .

23 Лабораторна робота № 47.1

Коливання циліндричних тіл на угнутій поверхні

Мета роботи: перевірити точність теорії гармонічних коливань на прикладі коливань циліндрів на угнутій поверхні при малих відхиленнях від положення стійкої рівноваги.

Завдання: 1. Засвоїти методику отримання формули періоду коли-

вання циліндричних тіл на угнутій поверхні.

2. Виміряти періоди коливань тонкостінного, товсто-

стінного та суцільного циліндрів і порівняти отримані

результати з теоретичними.

3. Зробити оцінку точності вимірів шляхом обчислення можливих похибок і порівняти величину похибки з різницею між теоретичним значенням та експериментальним.

Прилади: угнута циліндрична поверхня, тонкостінний, товстостінний та суцільний циліндри, секундомір, лінійка.

Теоретична частина

У багатьох випадках коливання різних тіл відбуваються відносно положення стійкої рівноваги ( ПСР). У ПСР кожна система має мінімальне значення потенціальної енергії і тому при відхиленні від нього виникає сила, яка повертає тіло назад. Розглянемо випадок, коли циліндр знаходиться на угнутій поверхні. На рис. 23.1 показаний циліндр, який відкотили від ПСР (від точки А) на кут φ. Вважаємо, що ковзання відсутнє. На циліндр діють три сили, які показані на рис.23.1: сила тяжіння mg, сила тертя F_тр. і сила реакції угнутої поверхні N. Відносно осі обертання, яка співпадає з лінією дотику між циліндром та угнутою поверхнею (на рис.23.1 точка В), із цих трьох сил тільки сила тяжіння створює обертальний момент М = mgr∙sinφ, який повертає циліндр у ПСР. При відсутності ковзання циліндр буде скочуватись у ПСР з кутовим прискоренням, яке зв’язане з обертальним моментом. Використаємо основне рівняння динаміки обертального руху:

M = I·ε , (23.1)

де І – момент інерції циліндра відносно осі В, ε – кутове прискорення циліндра відносно осі В, М – момент сили тяжіння.

Внаслідок того, що момент сили тяжіння mgr·sinφ являється функцією кута φ, необхідно кутове прискорення ε теж виразити через другу похідну за часом від кута φ. Встановимо зв'язок між кутовим прискоренням обертання радіуса угнутої поверхні, який проходить через центр циліндра і кутовим прискоренням обертання радіуса циліндра r відносно миттєвої осі В. Тангенціальне прискорення центра циліндра при скочуванні у ПСР можна записати так:

a_τ = (R – r)·φ", (23.2)

де R – радіус угнутої поверхні, r – радіус циліндра, φ" – друга похідна за часом. Це кутове прискорення радіуса R, що проходить через центр циліндра. Це ж саме прискорення можна записати так:

a_τ = r·ε, (23.3)

де ε = кутове прискорення радіуса r відносно миттєвої осі В, яке входить у рівняння (23.1). Прирівнюючи (23.2) і (23.3), маємо:

rε = (R – r)φ", або

ε = (R – r)φ"/r (23.4)

Підставимо у (23.1) замість М і ε їх значення:

mgr sinφ = I(R – r)φ"/r (23.5)

Для малих відхилень від ПСР скористаємось наближеною рівністю sinφ ≈ φ (φ у радіанах). Навіть якщо φ = 10^о, то sin10^o ≈ 0,1736, a 10^o ≈ 0,1745 рад і відносна похибка при використанні наближеної рівності sinφ ≈ φ у цьому випадку складає всього ≈ 0,52 %. Тобто відхилення від ПСР до 10^о можна вважати малими. Рівняння (23.5) у наближеній формі має вигляд:

mgrφ = I(R – r)φ"/r . (23.6)

У цьому запису присутня похибка. Кут повертання φ має зміст вектора, напрямок якого визначається за «правилом правого гвинта». Кутове прискорення теж вектор, але його напрямок протилежний вектору φ. Щоб виправити цю похибку рівняння (23.6) запишемо тепер у такому вигляді:

(23.7)

Це диференціальне рівняння руху циліндра відносно ПСР. За своєю формою воно тотожне диференціальному рівнянню вільних незатухаючих гармонічних коливань:

Х" + ω²Х = 0 (23.8)

Термін «гармонічні коливання» обумовлений тим, що відхилення від положення рівноваги Х за часом описується гармонічними функціями:

Х = Х_оsinωt, або X = X_ocosωt, (23.9)

де Х_о – найбільше відхилення від рівноваги (амплітуда), ω = 2π/Т – циклічна частота, Т – період коливань, ωt – фаза коливань, t – поточний час. Порівнюючи (23.7) і (23.8), отримуємо:

(23.10)

Звідки: (23.11)

Щоб отримати формулу періоду коливань для відповідного циліндра необхідно в (23.11) замість моменту інерції І підставити його конкретне значення. Для тонкостінного циліндра (товщина стінки набагато менша від радіуса) момент інерції відносно осі В визначимо за теоремою Штейнера:

I = mr² + mr² = 2mr² (23.12)

Підставивши у (23.11) замість І = 2mr², отримуємо формулу для періоду коливань тонкостінного циліндра:

(23.13)

Для суцільного циліндра момент інерції відносно миттєвої осі обертання В теж визначаємо за теоремою Штейнера:

(23.14)

Заміняючи у (23.11) І на 3/2mr², отримуємо формулу періоду коливань суцільного циліндра:

(23.15)

Момент інерції товстостінного циліндра відносно миттєвої осі обертання В:

I = 1/2m(R_з² + R_в²) + R_з² , (23.16)

де R_з – зовнішній радіус, R_в – внутрішній радіус. В формулу (23.11) замість І підставляємо (23.16) і при цьому приймаємо до уваги, що r = R_З. Тоді:

(23.17)

Зауваження. При записах формул(23.1 –23.7) ми свідомо відмовились від векторної форми з метою спрощення доведень.

Практична частина

1.

Спочатку потрібно визначити радіус кривизни R угнутої поверхні. Для цього необхідно взяти цю поверхню і поставити її сторч на папір, а потім олівцем, притискуючи його до циліндричної поверхні, накресліть дугу (чим довшу тим краще). Така дуга схематично показана на рис. 23.2. На цій дузі візьміть найбільш віддалені одна від одної дві точки А і В. Проведіть хорду АВ і виміряйте її довжину L. Виміряйте висоту утво­реного сегмента Н і розрахуйте радіус кривизни R за формулою, яку легко отримати за теоремою Піфагора (23.18)

2. За формулами (23.13), (23.15), (23.17) розрахуйте теоретичні значення періодів з точністю до 0,01 с, прийнявши, що π = 3,14, а g = 980 см/с². Діаметри циліндрів виміряйте лінійкою.

3. Проведіть вимірювання періодів коливань. Для цього відкотіть циліндр від ПСР приблизно на 5 см і відпустіть, включаючи одночасно секундомір. Ви­значте час десяти повних коливань, а потім і період. Цю операцію необхідно виконати не менше п’яти разів для кожного циліндра, а потім обчислити середнє значення періоду. Для тонкостінного циліндра перед кожним виміром його необхідно повертати приблизно на 90^о навколо власної осі. Це обумовлено тим, що циліндр має неоднакову товщину стінки.

4. Порівняйте експериментальні результати з теоретичними та визначте розходження в % за формулою:

(23.19)

Різницю (Т_сер.– Т_теор.) візьміть за абсолютною величиною.

5. Результати вимірювань та розрахунків занесіть в таблиці.

Тонкостінний циліндр
№	t, c	Tсер., c	Ттеор,, с
	tcер=

Суцільний циліндр
№	t, c	Tсер., c	Ттеор,, с
	tcер=

Товстостіннмй циліндр
№	t, c	Tсер., c	Ттеор,, с
	tcер=

6. Порівняйте розходження в % між Е та випадковими відхиленнями по результатам п’яти вимірів.

7. Зробіть висновки в яких висловіть думку про точність теорії та вимірів. По можливості приведіть приклади ймовірного практичного використання методики даної роботи.

Контрольні запитання

1. Яка характерна ознака коливального руху?
2. Які коливальні рухи називають гармонічними?
3. Які відхилення від положення рівноваги слід вважати малими?
4. Чи залежать періоди коливань циліндрів від їх маси?
5. Чи буде відрізнятись період коливань легкого пластикового циліндра від тяжкого металевого, якщо їх розміри будуть однаковими?

Література

1. І.М.Кучерук, І.Т.Горбачук, П.П.Луцик. Загальний курс фізики..- К.:Техніка, 2003. Т.1.- С.219-223.

2. П.М.Воловик, Фізика.–К.: Ірпінь, Перун, 2005.– С.135-140

3. Трофимова Т.И. Курс физики.- М: Высшая школа, 1990.- С.219-232..

Теорія та інструкція до лабораторної роботи

розроблені доц. Корнічем В.Г.

Рецензент і редактор доц. Манько В.К. 2010 р.

24 Лабораторна робота № 47.2

Коливання циліндрів зі зміщеним центром маси на горизонтальній поверхні

Мета:поглиблене вивчення теорії коливання тіл відносно положення стійкої рівноваги.

Прилади. Суцільний циліндр з невеликим циліндричним отвором, вісь якого паралельна осі великого циліндра; тонкостінний циліндр, на внутрішній поверхні якого прикріплений значно менший циліндр паралельно до осі великого циліндра; тонкостінний циліндр з вирізом, лінійка, секундомір.

Завдання:1. Засвоїти метод отримання формули періоду гармонічних коливань.

2. Провести обчислення за теоретичними формулами

періодів коливань, виміривши геометричні параметри циліндрів.

3. Провести виміри періодів коливань.

4. Порівняти теоретичні і експериментальні значення періодів та зробити висновки щодо різниці між ними.

Теоретична частина

У положенні стійкої рівноваги (ПСР) потенціальна енергія має найменше значення, тобто центр маси (ЦМ) тіла у полі тяжіння Землі займає найнижче положення. При незначних відхиленнях від цього стану виникає зворотна сила, яка намагається повернути систему у ПСР. Ця сила прямо пропорційна величині відхилення, а тому можливі гармонічні коливання. Одним із прикладів таких коливань можуть бути коливання симетричних (відносно геометричного центра) тіл, у яких ЦМ не співпадає з геометричним центром, якщо ці тіла знаходяться на горизонтальній, або на угнутій поверхні.

На рис.24.1 показані в перерізі два положення суцільного циліндра радіуса R з циліндричним отвором значно меншого радіуса r, центр якого позначений О₁. Циліндр знаходиться на горизонтальній поверхні. Положення стійкої рівноваги показане літерами АВ. Центр маси займає при цьому найнижче положення. Якщо трохи відкотити

циліндр від ПСР так, що радіус ОА повернеться на кут φ, то потенціальна енергія зросте, тому що ЦМ підніметься на деяку висоту h відносно попереднього положення. Збільшення потенціальної енергії можна розрахувати як збільшення енергії уявного циліндра радіуса r з центром в точці О₂, яка розміщена симетрично з точкою О₁ відносно центра великого циліндра О.

При повертанні великого циліндра на кут φ точка О₂ підніметься на висоту h, яка дорівнює:

, (24.1)

де = ОО₁ = ОО₂. При значеннях кута φ, що не перевищують 10^о

можна користуватись наближеною рівністю (φ в радіанах).

Отже, Тобто, збільшення потенціальної енергії всього циліндра: , (24.2)

де m – маса уявного циліндра радіуса r з центром О₂. З цього нестійкого положення циліндр (якщо його відпустити) почне повертатись у ПСР і потенціальна енергія буде поступово перетворюватись у кінетичну. Цю енергію розрахуємо як енергію обертання відносно миттєвої осі дотику поверхні циліндра до горизонтальної поверхні

(точка А): , (24.3)

де І – момент інерції циліндра відносно миттєвої осі обертання, який обчислюється за теоремою Штейнера. При цьому від моменту інерції суцільного циліндра віднімаємо момент інерції циліндра, який мав би бути у отворі з центром О₁:

, (24.4)

де М – маса суцільного циліндра, m – маса циліндра, що мав би бути у отворі. Формула (24.3) кінетичної енергії набуває такого вигляду:

, 24.5)

де dj/dt = w – кутова швидкість обертання циліндра відносно миттєвої осі. Необхідно відмітити, що момент інерції уявного циліндра з центром О₁ відносно миттєвої осі не буде сталим, але для малих φ залежність моменту інерції від φ можна не враховувати. Вважаємо також коливання незатухаючими, тобто, для будь-якого моменту часу сума потенціальної і кінетичної енергій залишається сталою:

, (24.6)

або після ділення на маємо:

. (24.7)

Знайдемо похідну за часом від (24.7):

Після спрощень одержуємо:

(24.8)

Це диференціальне рівняння вільних незатухаючих гармонічних коливань, де множник перед φ дорівнює квадрату циклічної частоти ω²:

(24.9)

Зв'язок між періодом Т і частотою ω має вид 2π/Т = ω, тому:

(24.10)

Очевидно, що: М = πR²Lρ, a m = πr²Lρ; де ρ – густина матеріалу, а L – довжина циліндра. Зважимо також на те, що і отримаємо наближену формулу:

(24.11)

За формулою (24.11), виміривши лінійкою з точністю до 1 мм R, r і , розра­ховується теоретичне значення періоду.

Другий випадок коливань на горизонтальній поверхні розглянемо на прикладі тонкостінного циліндра радіуса R, в якому до внутрішньої поверхні прикріплений малий циліндр радіуса r так, що осі обох циліндрів паралельні. Перпендикулярний до осей циліндрів переріз показаний на рис. 24.2.

Позначимо масу великого циліндра М, а малого m. При зміщенні великого циліндра від ПСР на кут φ положення його центра мас по висоті не змінюється, а центр мас малого циліндра піднімається на висоту ,

де = ОО₁. Для невеликого кута φ . Таким чином, при повертанні великого циліндра на малий кут потенціальна енергія зростає на: (24.12)

При повертанні циліндра в ПСР ця потенціальна енергія перетворюється в кінетичну:

, (24.13)

де I₁ = MR² – момент інерції великого циліндра відносно його центра,

I₂ = 1/2mr² + m – момент інерції малого циліндра відносно центра О, w = dj/dt – кутова швидкість повертання великого і малого циліндрів, Mu²/2 – кінетична енергія поступального руху великого циліндра. Кінетичною енергією поступального руху малого циліндра нехтуємо, тому що відносна швидкість його центра маси (зважаючи на те, що R >> r) незначна. Прийнявши до уваги, що , маємо:

(24.14)

Нехтуючи затуханням, вважаємо Е_пот + Е_кін = const , або:

(24.15)

Знайдемо похідну за часом від (24.15):

(24.16)

Після спрощень і перетворень отримуємо:

(24.17)

Формула (24.17) подібна формулі (24.8), тому опираючись на логіку перетворень, які супроводять формули (24.9) і (24.10), маємо:

(24.18)

За цією формулою розраховується теоретичне значення періоду коливань даної конструкції.

Розглянемо ще один випадок коливань на горизонтальній площині тонкостінного циліндра з вирізаною частиною бокової поверхні. Переріз такого циліндра показано на рис. 24.3. Спочатку визначимо положення центра маси такого циліндра. Довільно виділимо елемент бокової поверхні . Візьмемо координатну вісь ОХ вздовж напрямку ОА. Тоді координата елемента x = R cosα. Маса цього елемента , або , де М – маса всього циліндра без вирізу. Тоді за інтегральною формулою знаходимо координати центра маси: , (24.19)

де m_o = Mα_o/(2π). Підставляючи в (24.19) замість x, dm і m_o їх значення, після інтегрування отримуємо:

(24.20)

На рис. 24.3 циліндр показано в стані рівноваги. Якщо його трохи відкотити від ПСР, то радіус ОА повернеться на невеликий кут φ, а центр маси підніметься на висоту

. Для малих значень кута φ: . (24.21)

При цьому потенціальна енергія циліндра збільшиться на величину:

(24.22)

Коли циліндр стане повертатися в ПСР, то потенціальна енергія поступово буде перетворюватись у кінетичну:

, (24.23)

де ω – кутова швидкість відносно миттєвої осі обертання (точка А), а І – момент інерції відносно осі А. Кутова швидкість ω – це перша похідна за часом від кута φ, а момент інерції обчислимо за наближеною формулою:

, (24.24)

або (24.25)

Наближення в формулі (24.24) буде досить точним, якщо π – α_о < π/6. Кінетична енергія тепер:

(26)

Із (24.22) та (24.26), нехтуючи втратами енергії внаслідок затухання, маємо:

(24.27)

Після спрощення:

(24.28)

Беремо похідну за часом:

, (24.29)

або = 0 (24.30)

Звідки період коливань:

(24.31)

Для розрахунку періоду за цією формулою досить виміряти радіус циліндра, а також кут α_о, або π – α_о.

Практична частина

Для вимірювання періодів коливань використовується невеликий столик на ніжках, висоту яких можна регулювати. Столик необхідно встановити горизонтально. На середину столика покладіть досліджуваний циліндр так, щоб він знаходився в стані стійкої рівноваги. Відкотіть циліндр від ПСР на відстань 5 – 6 см і затримайте в цьому положенні. Відпустіть циліндр і одночасно ввімкніть секундомір. Відрахуйте 10 повних коливань і зупиніть секундомір. Занесіть час цих 10 коливань у таблиці вимірів. Повторіть ці виміри ще чотири рази. Проведіть такі ж виміри для двох інших циліндрів.

№	суцільний циліндр з отвором
	t,c	Тексп	Тсер	Ттеор	Е,%
5

№	тонкостінний та малий циліндри
	t,c	Тексп	Тсер	Ттеор	Е,%
5

№	тонкостінний циліндр з вирізом
	t,c	Тексп	Тсер	Ттеор	Е,%
5

Обчисліть середнє значення періоду для кожного циліндра. Виміряйте розміри циліндрів і за формулами (24.11), (24.18), (24.31) розрахуйте теоретичні значення періодів. Відношення мас у (24.18) М/m=1,16; кут α_о = 150^о у формулі (24.31).

При розрахунках число π = 3,14; g = 980 см/с², а всі геометричні розміри взяти з точністю 1 мм. Періоди обчислювати з точністю 0,01 с. Порівняйте теоретичні та експериментальні значення періодів за формулою:

(24.30)

Зробіть висновок відносно розбіжності між теоретичними і експериментальними значеннями. По можливості наведіть приклади, де можна спостерігати, або застосувати такі коливання на практиці.

Контрольні запитання

1. Яка характерна ознака коливального руху?

2. Дайте визначення періоду, частоти, амплітуди коливань.

3. Які коливання називаються гармонічними?

4. Який стан системи називають стійкою рівновагою (нестійкою, байдужою)?

5. Покажіть логічну послідовність теоретичного методу отримання формули періоду коливань.

Література

4. І.М.Кучерук, І.Т.Горбачук, П.П.Луцик. Загальний курс фізики..- К.:Техніка, 2003. Т.1.- С.219-223.

5. П.М.Воловик, Фізика.–К.: Ірпінь, Перун, 2005.– С.135-140

6. Трофимова Т.И. Курс физики.- М: Высшая школа, 1990.- С.219-232..

Інструкція розроблена доц. Корнічем В.Г.

Рецензент і редактор доц. Манько В.К. 8.02.2010р.