Задачи для индивидуальной подготовки.

Тема 3. Электромагнитная индукция. Работа

И энергия в электростатическом и магнитном полях.

Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально в однородном магнитном поле B скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m, которая замыкает электрическую цепь, приведенную на рисунке. Расстояние между шинами l. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти закон движения перемычки Y(t) при условии, что начальная скорость, ток через индуктивность и заряд на конденсаторе равны 0, Y(0)=Y0.

L C L

                           
     
           
 
           
 
 

B B B

R R C

                   
   
 
   
 
   
     
 

Y Рис.3.1.1 Рис.3.1.2 Рис.3.1.3

L C L

                       
     
         
         
 

R R C

                   
   
   
       
 
   
 
 

B B B

           
   
 
     
 

0 Рис.3.1.4 Рис.3.1.5 Рис.3.1.6

Таблица 3.1.1 Номера вариантов и значения параметров L , R , C для соответствующего номера рисунка.

N вар. L C R № Рис.
Lo --- BlÖ(L /m) 3.1.1
--- Co R0 3.1.2
Lo Co --- 3.1.3
Lo --- 3.1.1
Lo --- Ro 3.1.4
--- Co Ro 3.1.5
Lo Co --- 3.1.6
Lo --- 4BlÖ(L /m) 3.1.1
Lo --- (Bl/4)Ö(L /m) 3.1.4

Задача 3.2.1 По двум гладким медным шинам скользит перемычка массы m, закон движения которой задан Y = f(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Сверху шины замкнуты электрической цепью, состоящей либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией B(t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток через индуктивность, конденсатор и сопротивление в начальный момент времени равен 0.

Найти:

- закон изменения тока I (t);

- максимальное значение тока I max;

- закон изменения проекций силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон ;

- закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t);

- силу F(t), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного закона движения ;

- установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке.

Z

L C R

X

B B B

Ro Ro Ro

               
   
 
     

Y Рис.3.2.1 Рис.3.2.2 Рис.3.2.3

Закон движения перемычки для всех вариантов Y = a exp(- nt);

Закон изменения магнитного поля для нечетных вариантов ВZ = c exp(- mt),

для четных вариантов ВZ = -c exp(- mt). Константы a и c считать известными.

Построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), силы Ампера (Fa (t)/Famax).

Таблица 3.2.1. Номера вариантов и значения параметров n, m для соответствующего номера рисунка.

N вар n m № Рис.
2Ro/L 2n 3.2.1
2m 2Ro/L 3.2.1
Ro/2L 2n 3.2.1
2m Ro/2L 3.2.1
2m 2/RoC 3.2.2
2/RoC 2n 3.2.2
1/2RoC 2n 3.2.2
n 2n 3.2.3
2m m 3.2.3

Задача 3.2.2. По двум гладким медным шинам скользит невесомая перемычка, к которой приложена переменная сила F(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Перемычка замыкает электрическую цепь, состоящую либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R, в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией В(t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ускорение перемычки в начальный момент времени конечно, а положение ее определено и равно Y(0) =Y0.

Найти:

- закон изменения тока I(t);

- закон движения перемычки Y = Y(t);

- максимальное значение Ymax;

- законы изменения проекции силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон;

- закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t);

- установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке.

- построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), Y(t)/Y(0).

Z

L C R

X

B B B

Ro Ro Ro

               
   
 
     

Y Рис.3.2.4 Рис.3.2.5 Рис.3.2.6

Закон изменения силы для всех вариантов FY = -f exp (-nt);

Закон изменения магнитного поля для нечетных вариантов ВZ = c exp(- mt),

для четных вариантов ВZ = -c exp(- mt),

Константы f и c считать известными.

Таблица 3.2.2 Номер вариантов и значения параметров n, m для соответствующего номера рисунка.

N вар. n m № Рис.
n 2n 3.2.4
2m m 3.2.4
n 3n 3.2.4
3m m 3.2.4
2m m 3.2.5
n 2n 3.2.5
n 3n 3.2.5
n 2n 3.2.6
2m m 3.2.6

Задачи для индивидуальной подготовки.

Задача 3.3.1. В плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами (l x l), расстояние между которыми d (d<<l), медленно вдвигают с постоянной скоростью V квадратную металлическую пластину того же размера и толщиной d1. Конденсатор подключен к электрической цепи, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком.

Задача 3.3.2. В плоский воздушный конденсатор с квадратными пластинами (l x l), расстояние между которыми d (d<<l), медленно вдвигают с постоянной скоростью V квадратную диэлектрическую пластину того же размера и толщиной d с диэлектрической проницаемостью e. Конденсатор подключен к электрической цепи, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком.

                       
     
     
   
         
 
 

R

 
 

e R e

               
   
   
 
     
 

Рис.3.3.1 Рис.3.3.2.

Пренебрегая краевыми эффектами во всех задачах определить:

1. Закон изменения заряда на конденсаторе q = q(t).

2. Закон изменения силы тока I(t), протекающего через сопротивление R.

3. Энергию, выделившуюся на сопротивлении R за время движения.

В предположении, что в схеме на рисунке 3.3.1. R = ¥, для всех задач определить:

4. Работу, совершенную за время движения пластин внешними силами.

5. Работу, совершенную источником.

6. Изменение энергии конденсатора.

Таблица 3.3.1 Номера вариантов и соотношения параметров d1/d для соответствующего номера рисунка и номера задачи.

N вар d1/d № рис. № Зад.
½ 3.3.1 3.3.1
1/3 3.3.2 3.3.1
½ 3.3.1 3.3.2
1/3 3.3.2 3.3.2

Задача 3.3.3. Длинный соленоид радиуса R0 с числом витков N имеет сердечник с магнитной проницаемостью m, плотно вставленный в него на всю длину. Соленоид постоянно подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Сердечник медленно извлекают из соленоида с постоянной скоростью V.

Задача 3.3.4. Длинный соленоид радиуса R0 с числом витков N имеет сердечник выполненный из сверхпроводника радиуса R0/Ö 2 , вставленный в него на всю длину. Соленоид подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R , в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Сердечник медленно извлекают из соленоида с постоянной скоростью V.

Задача 3.3.5. Длинный воздушный соленоид радиуса R0 имеет число витков N. Соленоид подключен к электрической схеме, состоящей из источника Э.Д.С величиной e с внутренним сопротивлением r и сопротивления R, в соответствии с рисунком. Длина соленоида l >>R0. Соленоид медленно растягивают на 1/10 его длины с постоянной скоростью V. Считать, что радиус соленоида остается при этом постоянным.

Во всех задачах сопротивление соленоида считать пренебрежимо малым в сравнении с r и R. В задачах условие которых соответствует рисунку 3.3.5, исследуемый процесс начинается одновременно с переключением ключа К из положения 1 в положения 2.

V V V

                   
       
       
 

R R 2

           
   
     
 
 
 

e R e e

K

1

Рис.3.3.3 Рис.3.3.4 Рис.3.3.5

Пренебрегая краевыми эффектами во всех задачах определить:

1. Закон изменения тока через соленоид I(t).

В предположении, что в схеме на рисунке 3.3.3. R = ¥ , для всех задач определить:

2. Работу, совершенную за время движения внешними силами над сердечниками или соленоидом.

3. Силу, необходимую для извлечения сердечника или растягивания соленоида с заданной скоростью.

4. Изменение энергии соленоида.

N вар. № рис. № Зад.
3.3.3 3.3.3
3.3.4 3.3.3
3.3.5 3.3.3
3.3.3 3.3.4
3.3.4 3.3.4
3.3.5 3.3.4
3.3.3 3.3.5
3.3.4 3.3.5
3.3.5 3.3.5

Наши рекомендации