Якщо магнітне поле створюється декількома провідниками із струмом, то індукція результуючого поля є векторна сума індукцій полів, що створюються кожним провідником окремо.

Індукцію провідника із струмом можна представити як векторну суму елементарних індукцій створюваних окремими ділянками провідника. На досвіді неможливо виділити окрему ділянку провідника із струмом, оскільки постійні струми завжди замкнуті. Можна зміряти тільки сумарну індукцію магнітного поля, що створюється всіма елементами струму. Закон Біо- Савара визначає внесок у магнітну індукцію результуючого магнітного поля, створюваний малою ділянкою Δl провідника із струмом I.

Тут r – відстань від даної ділянки Δl до точки спостереження, α – кут між напрямом на точку спостереження і напрямом струму на даній ділянці, μ₀ – магнітна постійна. Напрям вектора визначається правилом свердлика: воно збігається з напрямом обертання рукоятки свердлика при його поступальному переміщенні уздовж струму. Рис. 5 ілюструє закон Біо-Савара на прикладі магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом. Якщо підсумувати (проінтегрувати) внески в магнітне поле всіх окремих ділянок прямолінійного провідника із струмом, то вийде формула для магнітної індукції поля прямого струму:

Рисунок 5. Ілюстрація закону Біо-Савара

Закон Біо-Савара дозволяє розраховувати магнітні поля струмів різних конфігурацій. Неважко, наприклад, виконати розрахунок магнітного поля в центрі кругового витка із струмом. Цей розрахунок приводить до формули

де R – радіус кругового провідника. Для визначення напряму вектора також можна використовувати правило свердлика, тільки тепер його рукоятку потрібно обертати у напрямі кругового струму, а поступальне переміщення свердлика вкаже напрям вектора магнітної індукції.

Розрахунки магнітного поля часто спрощуються при обліку симетрії в конфігурації струмів, що створюють поле. В цьому випадку можна скористатися теоремою про циркуляцію вектора магнітної індукції, яка в теорії магнітного поля струмів грає ту ж роль, що і теорема Гауса у електростатиці.

Пояснимо поняття циркуляції вектора Хай в просторі, де створено магнітне поле, вибраний деякий умовний замкнутий контур (не обов’язково плоский) і вказаний позитивний напрям його обходу. На кожній окремій малій ділянці Δl цього контура можна визначити дотичну складову вектора у даному місці, тобто визначити проекцію вектора на напрям дотичної до даної ділянки контура (рис. 6.)

Рисунок 6. Замкнутый контур (L) із заданим напрямом обходу. Зображені струми I1, I2 і I3, що створюють магнітне поле

Циркуляцією вектора називають суму добутків Δl, узяту по всьому контуру L:

Деякі струми, що створюють магнітне поле, можуть пронизувати вибраний контур L в той час, як інші струми можуть знаходитися в стороні від контуру.

Теорема про циркуляцію стверджує, що циркуляція вектора магнітного поля постійних струмів по будь-якому контуру L завжди дорівнює добутку магнітної постійної μ₀ на суму всіх струмів, що пронизують контур:

Як приклад на рис. 6 зображено декілька провідників зі струмами, що створюють магнітне поле. Струми I₂ и I₃ пронизують контур L у протилежних напрямах, їм мають бути приписані різні знаки - за позитивніх вважаються струми, які пов'язані з вибраним напрямом обходу контуру правилом правого гвинта (буравчика). Отже I₃ > 0, а I₂ < 0. Струм I₁ не пронизує контур L.

Теорема про циркуляцію в даному прикладі виражається співвідношенням:

Теорема про циркуляцію в загальному вигляді є слідством із закону Біо-Савара і принципу суперпозиції.

Простим прикладом застосування теореми про циркуляцію є виведення формули для магнітної індукції поля прямолінійного провідника із струмом. Враховуючи симетрію в даному завданні, контур L доцільно вибрати у вигляді кола деякого радіусу R, що лежить в перпендикулярній провіднику площині. Центр кола знаходиться в деякій точці провідника. Через симетрію вектор направлений по дотичній , а його модуль однаковий в усіх точках кола. Застосування теореми про циркуляцію приводить до співвідношення:

звідки випливає формула для модуля магнітної індукції поля прямолінійного провідника із струмом, приведена раніше.

Цей приклад показує, що теорема про циркуляцію вектора магнітної індукції може бути використана для розрахунку магнітних полів, що створюються симетричним розподілом струмів, коли з міркувань симетрії можна «передбачити» загальну структуру поля.

Є немало практично важливих прикладів розрахунку магнітних полів за допомогою теореми про циркуляцію. Одним з таких прикладів є завдання обчислення поля тороїдальної котушки (рис. 7).

Рисунок 7. Застосування теореми про циркуляцію до тороїдальної котушки

Передбачається, що котушка щільно, тобто виток до витка, намотана на немагнітне тороїдальне осердя. У такій котушці лінії магнітної індукції замикаються усередині котушки і є концентричними колами. Вони направлені так, що дивлячись уздовж них, ми побачили б струм у витках, циркулюючим за годинниковою стрілкою. Одна з ліній індукції деякого радіусу r₁ ≤ r < r₂ зображена на рис. 7. Застосуємо теорему про циркуляцію до контура L у вигляді кола, співпадаючого із зображеною на рис. 7 лінією індукції магнітного поля. З міркувань симетрії ясно, що модуль вектора однаковий уздовж всієї цієї лінії. По теоремі про циркуляцію можна записати:

B ∙ 2πr = μ0IN,

де N – повне число витків, а I – струм, поточний по витках котушки. Отже,

Таким чином, модуль вектора магнітної індукції в тороїдальній котушці залежить від радіусу r. Якщо осердя котушки тонке, тобто r₂ – r₁ << r, то магнітне поле усередині котушки практично однорідне. Величина n = N / 2πr є числом витків на одиницю довжини котушки. В цьому випадку

B = μ 0I n.

У цей вираз не входить радіус тора, тому воно справедливе і в граничному випадку r → ∞. Але в границі кожну частину тороїдальної котушки можна розглядати як довгу прямолінійну котушку. Такі котушки називають соленоїдами. Далеко від торців соленоїда модуль магнітної індукції виражається тим же співвідношенням, що і у разі тороїдальної котушки.

На рис. 8 зображене магнітне поле котушки кінцевої довжини. Слід звернути увагу на те, що в центральній частині котушки магнітне поле практично однорідно і значно сильніше, ніж поза котушкою. На це вказує густина ліній магнітної індукції. У граничному випадку нескінченно довгого соленоїда однорідне магнітне поле цілком зосереджене всередині нього.

Рисунок 8. Магнітне поле котушки кінцевої довжини. В центрі соленоїда магнітне поле практично однорідно і значно перевищує за модулем поле поза котушкою

У разі нескінченного довгого соленоїда вираз для модуля магнітної індукції можна отримати безпосередньо за допомогою теореми про циркуляцію, застосувавши її до прямокутного контура, показаного на рис. 9.

Рисунок 9. Застосування теореми про циркуляцію до розрахунку магнітного поля нескінченно довгого соленоїда

Вектор магнітної індукції має відмінну від нуля проекцію на напрям обходу контура abcd тільки на стороні ab. Отже, циркуляція вектора по контуру рівна Bl, де l - довжина сторони ab. Число витків соленоїда, що пронизують контур abcd, рівне n · l, де n - число витків на одиницю довжини соленоїда, а повний струм, що проходить через контур, дорівнює I n l. Згідно теоремі про циркуляцію

B l = μ0I n l,

звідки

B = μ0 I n.

Цей вираз збігається з отриманою раніше формулою для магнітного поля тонкої тороїдальної котушки.

3. Експериментальні дослідження показали, що всі речовини більшою чи меншою мірою мають магнітні властивості. Якщо два витки із струмами помістити в яке-небудь середовище, то сила магнітної взаємодії між струмами змінюється. Цей досвід показує, що індукція магнітного поля, що створюється електричними струмами в речовині, відрізняється від індукції магнітного поля, що створюється тими ж струмами у вакуумі.

Фізична величина, що показує, в скільки разів індукція магнітного поля у однорідному середовищі відрізняється по модулю від індукції магнітного поля у вакуумі, називається магнітною проникністю:

Магнітні властивості речовин визначаються магнітними властивостями атомів або елементарних частинок (електронів, протонів і нейтронів), що входять до складу атомів. В даний час встановлено, що магнітні властивості протонів і нейтронів майже в 1000 разів слабкіше за магнітні властивості електронів. Тому магнітні властивості речовин в основному визначаються електронами, що входять до складу атомів.

Однією з найважливіших властивостей електрона є наявність у нього не тільки електричного, але і власного магнітного поля. Власне магнітне поле електрона називають спином (spin - обертання). Електрон створює магнітне поле також і за рахунок орбітального руху навколо ядра, яке можна уподібнити круговому мікроструму. Поля спинів електронів і магнітні поля, обумовлені їх орбітальними рухами, і визначають широкий спектр магнітних властивостей речовин.

Речовини дуже різноманітні за своїми магнітними властивостями. У більшості речовин ці властивості виражені слабо. Слабо-магнітні речовини діляться на дві великі групи - парамагнетики і діамагнетіки. Вони відрізняються тим, що при внесенні до зовнішнього магнітного поля парамагнітні зразки намагнічуються так, що їх власне магнітне поле виявляється направленим по зовнішньому полю, а діамагнітниє зразки намагнічуються проти зовнішнього поля. Тому у парамагнетиків μ > 1, а у діамагнетіков μ < 1. Відмінність μ від одиниці у пара- і діамагнетіков надзвичайно мало. Наприклад, у алюмінію, який відноситься до парамагнетиків μ – 1 ≈ 2,1·10^–5, у хлористого заліза (FeCl₃) μ – 1 ≈ 2,5·10^–3. К парамагнетикам відносяться також платина, повітря і багато інших речовин. До діамагнетікам відносяться мідь (μ – 1 ≈ –3·10^–6), вода (μ – 1 ≈ –9·10^–6), вісмут (μ – 1 ≈ –1,7·10^–3) і інші речовини. Зразки з пара- і діамагнетіка, поміщені в неоднорідне магнітне поле між полюсами електромагніту, поводяться по-різному - парамагнетики втягуються в область сильного поля, діамагнетіки - виштовхуються (рис. 10).

Рисунок 11. Парамагнетик (1) і діамагнетік (2) в неоднорідному магнітному полі

Пара- і діамагнетизм пояснюється поведінкою електронних орбіт в зовнішньому магнітному полі. У атомів діамагнітних речовин у відсутність зовнішнього поля власні магнітні поля електронів і поля, що створюються їх орбітальним рухом, повністю компенсуються. Виникнення діамагнетизму пов’язане з дією сили Лоренца на електронні орбіти. Під дією цієї сили змінюється характер орбітального руху електронів і порушується компенсація магнітних полів. Власне магнітне поле атома, що виникає при цьому, виявляється направленим проти напряму індукції зовнішнього поля.

У атомах парамагнітних речовин магнітні поля електронів компенсуються не повністю, і атом виявляється подібним до маленького кругового струму. У відсутність зовнішнього поля ці кругові мікроструми орієнтовані довільно, так що сумарна магнітна індукція дорівнює нулю. Зовнішнє магнітне поле надає орієнтуюча дія - мікроструми прагнуть зорієнтуватися так, щоб їх власні магнітні поля виявилися направленими по напряму індукції зовнішнього поля. Із-за теплового руху атомів орієнтація мікрострумів ніколи не буває повною. При посиленні зовнішнього поля орієнтаційний ефект зростає, так що індукція власного магнітного поля парамагнітного зразка росте прямо пропорційно індукції зовнішнього магнітного поля. Повна індукція магнітного поля в зразку складається з індукції зовнішнього магнітного поля і індукції власного магнітного

поля, що виникло в процесі намагнічування. Механізм намагнічування парамагнетиків дуже схожий на механізм поляризації полярних діелектриків Діамагнетизм не має аналога серед електричних властивостей речовини.

Слід зазначити, що діамагнітні властивості мають атоми будь-яких речовин. Проте у багатьох випадках діамагнетизм атомів маскується сильнішим парамагнітним ефектом. Явище діамагнетизму було відкрите М. Фарадєєм у 1845р.

Речовини, здатні сильно намагнічуватися в магнітному полі, називаються феромагнетиками. Магнітна проникність феромагнетиків по порядку величини лежить в межах 10²-10⁵. Наприклад, у сталі μ ≈ 8000, у сплаву заліза з нікелем магнітна проникність досягає значень 250000.

До даної групи відносяться чотири хімічні елементи: залізо, нікель, кобальт, гадоліній. З них найбільшу магнітну проникність має залізо. Тому вся ця група отримала назву феромагнетиків.

Феромагнетиками можуть бути різні сплави, що містять феромагнітні елементи. Широке застосування в техніці отримали керамічні феромагнітні матеріали - ферити.

Для кожного феромагнетика існує певна температура (так звана температура або точка Кюрі), вище за яку феромагнітні властивості зникають, і речовина стає парамагнетиком. У заліза, наприклад, температура Кюрі дорівнює 770 °C, у кобальту 1130 °C, у нікелю 360 °C.

Феромагнітні матеріали діляться на дві великі групи - на магніто-м’які і магніто-жорсткі матеріали. Магніто-м’які феромагнітні матеріали майже повністю розмагнічуються, коли зовнішнє магнітне поле стає рівним нулю. До магніто-м’яких матеріалів відноситься, наприклад, чисте залізо, електротехнічна сталь і деякі сплави. Ці матеріали застосовуються в приладах змінного струму, в яких відбувається безперервне перемагнічування, тобто зміна напряму магнітного поля (трансформатори, електродвигуни і т. п.).

Магніто-жорсткі матеріали значною мірою зберігають свою намагніченість і після видалення їх з магнітного поля. Прикладами магніто-жорстких матеріалів можуть бути вуглецева сталь і ряд спеціальних сплавів. Магніто-жорсткі метеріали використовуються в основному для виготовлення постійних магнітів.

Магнітна проникність μ феромагнетиків не є постійною величиною; вона сильно залежить від індукції B₀ зовнішнього поля. Типова залежність μ (B₀) приведена на рис. 11. У таблицях зазвичай приводяться значення максимальної магнітної проникності.

Рисунок 11. Типова залежність магнітної проникності феромагнетика від індукції зовнішнього магнітного поля

Змінність магнітної проникності приводить до складної нелінійної залежності індукції B магнітного поля у феромагнетику від індукції B₀ зовнішнього магнітного поля. Характерною особливістю процесу намагнічування феромагнетиків є так званий гістерезис, тобто залежність намагнічування від початкового стану зразка. Крива намагнічування B (B₀) феромагнітного зразка є петлею складної форми, яку називають петлею гістерезису (рис. 12).

Рисунок 12. Петля гістерезису феромагнетика. Стрілками вказаний напрямок процесів намагнічування і розмагнічування феромагнітного зразка при зміні індукції B0 зовнішнього магнітного поля

З рис. 12 видно, що при наступає магнітне насичення - намагніченість зразка досягає максимального значення.

Якщо тепер зменшувати магнітну індукцію B₀ зовнішнього поля і довести її знов до нульового значення, то феромагнетик збереже залишкову намагніченість- поле всередині зразка буде рівне B_r. Залишкова намагніченість зразків дозволяє створювати постійні магніти. Для того, щоб повністю розмагнітити зразок, необхідно, змінивши знак зовнішнього поля, довести магнітну індукцію B₀ до значення –B_0c, яке прийнято називати коерцитивною силою. Далі процес перемагнічування може бути продовжений, як це вказано стрілками на рис. 12.

У магніто-м’яких матеріалів значення коерцитивної сили B_0c незначне - петля гістерезису таких матеріалів досить вузька. Матеріали з великим значенням коерцитивної сили, які мають широку петлю гістерезису, відносяться до магніто-жорстких.

Природу феромагнетизму можна до кінця зрозуміти тільки на основі квантових уявлень. Якісно феромагнетизм пояснюється наявністю власних (спинів) магнітних полів у електронів. У кристалах феромагнітних матеріалів виникають умови, при яких, унаслідок сильної взаємодії магнітних полів спинів сусідніх електронів, енергетично вигідною стає їх паралельна орієнтація. В результаті такої взаємодії всередині кристала феромагнетика виникають намагнічені області розміром порядку 10^–2–10^–4 см. Ці області називаються доменами. Кожен домен уявляє собою невеликий постійний магніт.

У відсутність зовнішнього магнітного поля напряму векторів індукції магнітних полів в різних доменах орієнтовані у великому кристалі хаотично. Такий кристал в середньому виявляється ненамагніченим. При накладанні зовнішнього магнітного поля відбувається зсув границь доменів так, що кількість доменів, орієнтованих за напрямом зовнішнього поля, збільшується. Із збільшенням індукції зовнішнього поля зростає магнітна індукція намагніченої речовини. У дуже сильному зовнішньому полі домени, в яких власне магнітне поле збігається по напряму із зовнішнім полем, поглинають решту всіх доменів, і наступає магнітне насичення. Рис. 13 може служити якісною ілюстрацією процесу намагнічення феромагнітного зразка.

Рисунок 13. Намагнічування феромагнітного зразка. (1) B0 = 0; (2) B0 = B01; (3) B0 = B02 > B01