Теоретическое обоснование работы

Электричество и магнетизм

Для студентов технических специальностей

ЭС-1. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: построение эквипотенциальных и силовых линий электростатического поля.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

Любое заряженное тело создаёт в окружающем пространстве электрическое поле. Если тела неподвижны и их заряды постоянны, то создаваемое поле не изменяется по времени и называется электростатическим. Оно является одной из форм общего, электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между заряженными телами (частицами).

Характерным свойством произвольного электрического поля, отлипающим его от других физических полей, является его действие как на движущиеся, так и на неподвижные электрические заряды. Количественной силовой характеристикой действия электрического поля на заряженные частицы и тела является вектор напряженности электрического поля

(1)

где - сила, действующая со стороны поля на неподвижный пробный заряд q, помещённый в рассматриваемую точку поля.

Таким образом, напряжённость электрического поля в данной точке пространства есть величина, численно равная силе, действующей со стороны поля на помещённый в эту точку единичный пробный точечный заряд.

Электрический заряд считается точечным, если можно пренебречь размерами и формой тела, на котором этот заряд сосредоточен.

Электрический заряд называется пробным, если он достаточно мал, что не искажает электрического поля, в которое он помещён.

Напряжённость — величина векторная, направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Взаимодействие неподвижных точечных зарядов описывает закон Кулона: сила электростатического взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами q₁ и q₂, находящимися в вакууме, прямо пропорциональна произведению величин зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними r, и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды:

(2)

В векторной форме закон Кулона записывается следующим образом:

где r₁₂ - радиус-вектор, соединяющей заряд q₁ с зарядом q₂; r - расстояние между зарядами.

Из закона Кулона (2) следует, что напряжённость электростатического поля, созданного точечным зарядом, определяется выражением:

(3)

где - радиус-вектор, проведённый из точки, в которой находится заряд Q , в точку, в которой отыскивается напряжённость поля. Напряжённость поля в системе СИ выражается в единицах вольт на метр (В/м).

Важной особенностью электростатического поля является то, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда в электростатическом поле с напряжённостью Е, не зависит от формы пути, по которому происходит перемещение, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Такое свойство поля называется потенциальностью. Потенциальный характер электростатического поля позволяет ввести понятие разности потенциалов.

Разностью потенциалов (j₁ - j₂ ) между -точками 1 и 2 электростатического поля называется работа, совершаемая силами поля при перемещении единичного положительного заряда по произвольной траектории из точки 1 в точку 2, т.е.

(4)

где A₁₂ - работа по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2. Отсюда

(5)

С другой стороны, работа, совершаемая при перемещении тела в потенциальном поле, всегда равна со знаком минус изменению потенциальной энергии тела

(6)

Сравнивая формулы (5) и (6), получаем , или

(7)

т.е. потенциал данной точки поля есть величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещённого в эту точку.

Потенциал зависит от выбора точки с нулевым потенциалом, которая может быть выбрана произвольно. Обычно в физике считают, что нулю равен потенциал бесконечно удалённой точки (в технике равным нулю принимают потенциал Земли). Тогда:

(8)

т. е. потенциал точки 1 равен работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в бесконечность. Потенциал поля, созданного точечным зарядом в данной точке, рассчитывается как:

где: r – расстояние, от источника поля до искомой точки.

Для графического изображения электростатических полей используют силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Силовыми линиями называют линии, касательные к которым в каждой точке пространства совпадают с направлением вектора напряжённости в этой точке поля.

Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одно и то же значение.

Пo известному расположению силовых линий электростатического поля можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, зная, как расположены эквипотенциальные поверхности, можно в каждой точке поля найти величину и направление напряжённости поля, т.е. построить силовые линии.

Между напряжённостью и потенциалом электростатического поля j существует связь:

(9)

или в более подробной записи

т.е. вектор напряжённости поля Е равен со знаком минус градиенту потенциала поля в этой точке пространства.

Градиент потенциала есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания потенциала, и длина которого равна производном потенциала j в этом же направлении. Отсюда с учётом формулы (9) следует, что силовые линии электростатического поля есть линии, вдоль которых потенциал j уменьшается наиболее быстро. Они перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям (см.рис.1).

В местах, где соседние эквипотенциальные поверхности более близко подходят друг к другу, напряжённость поля больше. Силовые линии проводят так, чтобы их густота характеризовала численное значение напряжённости Е.

Совокупность силовых линий и эквипотенциальных линий иногда называют картой поля. По эквипотенциальным линиям можно найти величину и направление вектора напряжённости электрического поля в любой его области.

Пусть требуется найти напряжённость поля в точке А (см.рис.2), лежащей на эквипотенциальной линии с потенциалом j_i (индекс i может принимать значения 1,2,3,...). Тогда через точку А нужно провести силовую линию. В окрестности точки А она перпендикулярна эквипотенциальной линии. Вектор направлен по касательной к этой силовой линии.

Рис. 2

Численное значение напряжённости поля находится по следующей приближённой формуле

(10)

где Dj - разность потенциалов между точкой А и точкой В, лежащей на пересечении силовой линии и соседней эквипотенциальной линией с потенциалом j_i+1 > j₁; - расстояние между точками А и В.

Для экспериментального исследования электростатических полей широко используется метод электролитической ванны.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ

Пусть требуется изучить поле, создаваемое двумя заряженными электродами А и В. Для этого электроды помещают в ванну, заполненную тонким слоем слабого электролита (обычно вода). После подключения электродов к источнику напряжения в электролите, возникает поле. (рис. 3).

Рис.3

В электролит вводится зонд S, представляющий собой тонкий металлический стержень. Зонд подключается к подвижной точке К делителя напряжения (потенциометра). Между зондом S и точкой К включается индикатор (вольтметр или осциллограф). Перемещая зонд по поверхности электролита, определяют такие его положения, при которых размах сигнала на экране осциллографа минимален, и отмечают их на листе бумаги. Во всех этих положениях потенциал зонда равен потенциалу точки К потенциометра. Все эти точки обладают одинаковым потенциалом. Соединив их плавной кривой, получают эквипотенциальную линию изучаемого поля. Изменив положение точки К делителя напряжения, можно построить эквипотенциальную линию, соответствующую новому значению потенциала.

Если на электроды подавать постоянное напряжение, то по электролиту будут течь постоянные токи, сопровождающиеся электролизом и выделением на электродах составных частей электролита. Эти токи будут нарушать однородность электролита, приводя к поляризации электродов и к изменению напряжения между ними. Во избежание этого на электроды подаётся переменное напряжение.