Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики
Тема
Математическая статистика
Относительная частота события
P*(A)=m/n
где п — число независимых испытаний, в которых случайное событие А происходит m раз.
Вероятность случайного события
P(A)=lim(m/n) (при n→∞)
Вероятность появления одного (безразлично какого) из нескольких несовместных событий (теорема сложения вероятностей). Для двух событий
P( А или В) = Р(А) + Р(В).
Вероятность совместного появления независимых событий (теорема умножения вероятностей)
P(А и В) = Р(А)Р(В).
Р(АиВ)=Р(В/А)Р(А)
Для двух событий вероятность того, что событие А произойдет L раз при п испы-таниях (биномиальное распределение)
Pin=n(n-L)•••(n_-L+1)PL(L-P)n-L ⁄ L!,
где Р — вероятность наступления события А.
Распределением дискретной случайной величины называют сово-
купность ее значений: х1, х2, ... и соответствующих вероятностей:
p(x1)=p1, p(x2)=p2 ….
Условие нормировки для дискретной случайной величины, имеющей п значений,
Среднее значение дискретной случайной величины
‹X›=(m1 1+m2x2+…+mnxn)/n=x1m1/n+..+xnmn/n
где тi, — число дискретных случайных величин, имеющих значение xi.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
M(X)= x1p1 +..+xnpn
Дисперсия дискретной случайной величины
D(X) = M{[X-M(X)]2},
D(X) = M(X2)-[M(X)]2,
Среднее квадратическое отклонение
S(X)=(D(X))1/2
Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (а, b)
где f(x) — плотность вероятности (функция распределения вероятностей) .
Условие нормировки для непрерывной случайной величины
Функция распределения случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Дисперсия непрерывной случайной величины
Нормальный закон распределения (закон Гаусса) | |
где а — математическое ожидание случайной величины, σ - среднее квадратическое отклонение. График закона распределения представлен на рис. |
Функция распределения по нормальному закону
F(x)=Ф((x-a)/σ)
Значения функции Ф даны в табл.
Плотность вероятности для проекции скорости молекул газа на ось Ох
где то — масса молекулы, Т — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.
Плотность вероятности для модуля скорости молекул газа (распределение Максвелла по скоростям)
Средняя, средняя квадратичная и навероятнейшая скорости молекул
где R — молярная газовая постоянная, М — молярная масса Плотность вероятности нахождения молекулы газа в однородном гравитационном поле (пример распределения Больцмана)
Давление газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h (барометрическая формула)
где рh— давление на высоте h=0
Концентрация молекул газа (воздуха), находящегося в однородном гравитационном поле, на высоте h
где nо — концентрация молекул газа на высоте h = О
Интервальная оценка генеральной средней (среднее значение генеральной совокуп-ности)
‹ xв› - ε< μ < ‹ xв› + ε,
где ‹ xв› — выборочная средняя Эти неравенства выполняются с доверительной вероятностью Р Положительное число ε характеризует точность оценки и называется доверительным интервалом
При большой выборке (n>30)
τ=(εn1/2)/σ
где σ - генеральное среднее квадратическое отклонение Обычно в расчетах берется выборочное среднее квадратическое отклонение
Связь между τ и P Ф(τ)=(1+P)/2
Интервальная оценка генеральной средней при малой выборке
n≤30
ε=ts/n1/2
Здесь s2=nσb2/(n-1)— исправленная выборочная дисперсия,
где σb2 — выборочная дисперсия Параметр t (коэффициент Стьюдента) для заданных п и Р находят по табл.
Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики
Определение случайной величины.Многие случайные события могут быть оценены количественно случайными величинами,