Обробка результатів вимірювань

А.1 Основні положення теорії похибок

Якими б точними не були прибори, досконалими методи вимірювань, під час вимірювання фізичної величини x (часу, довжини тощо) неможливо отримати точне, “істинне значення” величини _.

Якщо позначити результат деякого і-го вимірювання величини x, то величину

(А.1)

називають абсолютною похибкою даного вимірювання. Для характеристики точності вимірювання вводять також поняття відносної похибки

. (А.2)

Завдання, яке постає перед теорією похибок, – це визначення похибок вимірювання фізичних величин.

Вимірювання поділяються на прямі та непрямі. Прямим називають вимірювання, завдяки якому значення величини знаходять безпосередньо з показань прибору. Прикладами прямих вимірювань є: вимірювання температури за допомогою термометра; довжини – штангенциркулем тощо.

При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини знаходять завдяки відомій залежності цієї величини від величин, які можуть бути виміряні шляхом прямих вимірювань. Наприклад, густину тіла – за його масою та розмірами тощо.

Найважливіший клас похибок – випадкові похибки. Ці похибки обумовлені недосконалістю наших органів чуття, а тому не можуть бути усунуті.

А.2 Розрахунок випадкових похибок для прямих вимірювань

Припустимо, вимірюючи багато разів деяку фізичну величину, наприклад, час, за який тіло проходить одну й ту саму відстань S отримали ряд значень , , ... , тоді за приймають середнє арифметичне

, (А.3)

яке при має співпадати з .

Найважливіше завдання теорії похибок – знаходження інтервалу значень фізичної величини, в середині якого з деякою ймовірністю (яку називають довірчою ймовірністю) знаходиться величина

. (А.4)

Цей інтервал значень величини x називають довірчим інтервалом. Якщо, наприклад, ми гарантуємо, що вимірюючи один раз величину x за даною методикою, отримуємо результат, який знаходиться в межах даного інтервалу (А.4) з імовірністю 95%, то довірча ймовірність дорівнюватиме .

Для обґрунтування методу обчислення похибок треба встановити закон, якому підпорядковуються випадкові відхилення величини, яка вимірюється. Ми тільки вкажемо основну ідею, яка полягає в припущенні (що є виправданим): невеликі відхилення від є більш ймовірними, ніж великі. На цій ідеї базується нормальний закон розподілу – закон Гаусса. Але цей закон справедливий для великої кількості вимірювань n.

В інженерній практиці базуються на розподілі Стьюдента. Для кожної довірчої ймовірності Р можна обчислити таке число (коефіцієнт Стьюдента), для якого випадкова величина x, яка підпорядковується розподілу Стьюдента, знаходитиметься в межах

, (А.5)

де величина – середньоквадратичне відхилення результату вимірювань

, (А.6)

дe n – кількість вимірювань.

Отже . Коефіцієнти Стьюдента для різної кількості вимірювань наведено в табл. А.1.

Таблиця А.1 – Залежність коефіцієнта Стьюдента від кількості вимірювань

n
	12,7	4,3	3,2	2,8	2,0	2,0

А.3 Розрахунок випадкових похибок для непрямих вимірювань

При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини F визначається за формулою

, (А.7)

де – фізичні величини, які вимірюються прямо.

Абсолютна похибка непрямих вимірювань визначається за формулою

, (А.8)

де – частинна похідна функції F за змінною (при її обчисленні інші змінні вважаються сталими величинами); – абсолютна похибка вимірювання величини _.

Результат непрямого вимірювання (кінцевий результат у звіті) подається у вигляді

, (А.9)

де – значення функції F від середніх значень змінних .

Приклад. Обчислення випадкової похибки під час розрахунку густини ρ твердого тіла циліндричної форми

,

де m – маса тіла; d – діаметр циліндра; h – висота циліндра.

В даному випадку . Згідно з (А.8)

,

де

;

;

.

А.4 Правила заокруглювання результатів обчислень

1. В результаті обчислень абсолютної похибки вимірювань фізичної величини треба залишати лише першу значущу цифру.

2. В середньому значенні величини остання значуща цифра має бути одного й того порядку, що й перша значуща цифра похибки.

Приклад. Під час обчислення прискорення земного тяжіння g були отримані результати:

м/с²; м/с².

Відповідно до формули (А.9) та правил (1) і (2) відповідь має такий вигляд:

м/с².

Додаток Б