Законы динамики вращательного движения

КИНЕМАТИКА

1.2. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно - вертикально вверх, другое - под углом = 60 к горизонту. Начальная скорость каждого тела = =25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через = =1,70 с.

1.1. Две частицы движутся с ускорением в однородном поле тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости = 3,0м/с и = 4,0 м/с, направление горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.

1.2. Частица движения в положительном направлении оси так, что ее скорость меняется по закону , где - положительная постоянная. Имея в виду, что в момент = 0 она находилась в точке = 0, найти:

а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;

б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые метров пути.

1.4. Точка движется в плоскости по закону: , , где и - положительные постоянные.

Найти:

а) пути , проходимый точкой за время ;

б) угол между векторами скорости и ускорения точки.

1.5.Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорение по модулю равны друг другу. В начальный момент скорость точки равна . Найти:

а) зависимость скорости точки от времени и от пройденного пути ;

б) полное ускорение точки в функции скорости и пройденного пути.

1.6. Точка находится на ободе колеса радиуса =0,50 м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью = 1,00 м/с. Найти:

а) модуль и направление вектора ускорения точки ,

б) полный путь , проходимый между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.

1.7. Шар радиуса = 10,0 см катится без скольжения

по горизонтальной плоскости так, что его центр движет-

ся с постоянным ускорением = 2,50 см/с

Через =2,00 с после начала движения его поло-

жение показано на рисунке. Найти скорости и уско-

рения точек А, В и С в этот момент.

1.8. Твердое тело вращается с угловой скоростью , где

= 0,50 рад/с , =0,060 рад/с , и - орты осей х и у. Найти:

а) модули угловой скорости и углового ускорения в момент = 10,0 с;

б) угол между векторами углового ускорения и угловой скорости в этот момент.

1.9. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота по закону , где и - положительные постоянные. В момент = 0 угол =0. Найти зависимости от времени угла поворота и угловой скорости.

1.10. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением = , где = 2,0.10 рад/с . Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол = 60 с вектором скорости?

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

2.1. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней брусок массы . К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем по закону , где - постоянная. Найти зависимость от ускорений доски и , если коэффициент трения между доской и бруском равен . Изобразить примерные графики этих зависимостей.

2.2. На небольшое тело массы , лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол с горизонтом. Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

2.3. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами и . Кабина начинает подниматься с ускорением . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:

а) ускорение груза относительно шахты лифта и относительно кабины;

б) силу, с которой блок действует на потолок кабины лифта.

2.4. Небольшой шарик массы , подвешенный на нити , отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, а затем отпустили. Найти:

а) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от угла откло-

нения нити от вертикали;

б) натяжение нити в момент , когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;

в) угол между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.

2.5. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.

2.6. На покоившуюся частицу массы в момент = 0 начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону , где - постоянный вектор, - время, в течение которого действует данная сила. Найти:

а) импульс частицы после окончания действия силы;

б) путь, пройденный частицей за время действия силы.

2.7. Пуля, пробив доску толщиной , изменила свою скорость от до . Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

2.8. Катер массы движется по озеру со скоростью . В момент = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости = ( ), найти:

а) время движения катера с выключенным двигателем;

б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки;

в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его скорость уменьшится в раз.

2.9. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой , а коэффициент трения зависит только от расстояния до центра 0 площадки по закону , где - постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке 0, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

2.10. Частица массы в момент = 0 начинает двигаться под действием силы , где и - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времени . Изобразить примерный график этой зависимости.

РАБОТА , ЭНЕРГИЯ

3.1. Локомотив массы начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону , где - постоянная, - пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые секунд после начала движения.

3.2. Шайба массы = 0,050 кг соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол = 30 с горизонтом , и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние = 0,50 м, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения = 0,15.

3.3. Тело массы бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.

3.4. Имеются два стационарных силовых поля: и , где и - орты осей и , и - постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.

3.5. Гладкий легкий горизонтальный стержень может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец . На стержне находится небольшая муфточка массы , соединенная невесомой пружинкой длины с концом . Жесткость пружинки равна . Какую работу нужно совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ?

3.6. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с коэффициентами жесткости и . Найти минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на .

3.7. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид: , где и - положительные постоянные, - расстояние от центра поля. Найти:

а) значение , соответствующее равновесному положению частицы, выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить графики зависимостей и - проекции силы на радиус - вектор .

3.8. Потенциальная энергия частицы в некотором двумерном силовом поле имеет вид , где и - положительные постоянные, не равные друг другу. Выяснить:

а) является ли это поле центральным;

б) какую форму имеют эквипотенциальные поверхности, а также поверхности, для которых модуль вектора силы = .

3.9. Цепочка массы = 0,80 кг, длины =1,5м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающая часть составляет = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при полном соскальзывании со стола.

3.10. Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами и . Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы.

ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.1. Однородный шар массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти:

а) значения коэффициента трения, при которых не будет скольжения;

б) кинетическую энергию шара через секунд после начала движения.

4.2. Однородный цилиндр радиуса скатывается без скольжения с наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Угловая скорость вращения цилиндра равна . За какое время угловая скорость цилиндра возрастет вдвое?

4.3. Расположенный вертикально однородный стержень массы и длины

может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В точку, отстоящую от оси вращения на , ударяется тело массы , летящее перпендикулярно к стержню и к оси. После удара стержень отклоняется на угол , а тело отскакивает назад со скоростью . Найти начальную скорость тела .

4.4. Диск массы = 0,500 кг и диаметра = 0,400 м вращается с угловой скоростью = 157 рад/с. При торможении он останавливается в течение = 10,0 с. Найти среднюю величину тормозящего момента .

4.5. Тело брошено под углом = 45 к горизонту с начальной скоростью

= 25 м/с. Масса тела = 0,130 кг. Найти момент импульса тела относительно точки бросания:

а) в момент, когда тело находится в вершине траектории;

б) в момент падения тела на землю.

4.6. Суммарный момент импульса двух материальных точек относительно начала координат равен . Чему равен момент импульса этих точек относительно точки радиус -вектор которой ? Импульсы точек равны и .

4.7. На шероховатой горизонтальной плоской поверхности лежит катушка ниток массы . Ее момент инерции относительно собственной оси , где - числовой коэффициент, - внешний радиус катушки. Радиус наложенного слоя ниток равен . Катушку начали тянуть (без скольжения) постоянной силой , направленной под углом к горизонту. Найти:

а) модуль и направление ускорения центра масс катушки;

б) работу силы за первые секунд после начала движения.

4.8. Гладкий однородный стержень массы и длины свободно вращается с угловой скоростью в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец . Из точки начинает скользить по стержню небольшая муфта массы . Найти скорость муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигает точки .

4.9. На массивный неподвижный блок радиуса намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы . В момент = 0 систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти момент импульса системы относительно оси блока в зависимости от времени .

4.10. Некоторая система частиц имеет суммарный импульс и момент импульса относительно точки 0. Найти ее момент импульса относительно точки , положение которой относительно точки 0 определяется радиус-вектором . Выяснить, в каком случае момент импульса частиц не будет зависеть от выбора точки .

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

5.1. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Момент инерции дисков относительно этой оси равны и , а угловые скорости и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:

а) установившуюся угловую скорость вращения дисков;

б) работу, совершенную силами трения.

5.2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшая шайба и тонкий стержень длины , масса которого в раз больше массы шайбы. Шайбе сообщили скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к стержню, после чего она испытала упругое соударение с концом стержня. Найти скорость шайбы и угловую скорость стержня после столкновения. При каком значении скорость шайбы после столкновения будет: а) равна нулю; б) изменит направление на противоположное?

5.3. Цепочка массы = 1,00 кг и длины = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

5.4. Стальной шарик массы = 0,050 кг падает с высоты = 1,0 м на горизонтальную поверхность массивной плиты. Найти суммарный импульс, который он передаст плите в результате многократных отскакиваний, если при каждом ударе модуль скорости шарика изменяется в = 0,80 раз.

5.5. Частица массы испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы . Какую относительную часть кинетической энергии потеряла нелетающая частица, если:

а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;

б) столкновение лобовое?

5.6. На нити длины подвешен шарик массы . С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?

5.7. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы , совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью кг/с. Найти ускорение и скорость тележки в момент , если в момент =0 тележка с песком имела массу , а ее скорость =0. Трением пренебречь.

5.8. Частица массы испытала столкновение с покоившейся частицей массы , в результате которого частица отклонилась на угол = 90 , а частица отскочила под углом = 30 к первоначальному направлению движения частицы На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если = 5,0 ?

5.9. Молекула испытала соударение с другой , покоившейся, молекулой той же массы . Показать, что угол между направлениями разлета молекул:

а) равен 90 , если соударение абсолютно упругое;

б) отличен от 90 , если соударение неупругое.

5.10. Небольшая шайба массы без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой и попадает на доску массы , лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости. Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

ТЕРМОДИНАМИКА

6.1. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в = 10 раз.

6.2. Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление газа-кислорода - изменяется в = 10 раз.

6.3. Идеальный газ - неон - совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если температура газа возрастает в = 8 раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.

6.4. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изохоры, адиабаты и изотермы, причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре в цикле, а температура газа в пределах цикла изменяется в = 6 раз. Найти КПД цикла.

6.5. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изобары, адиабаты и изотермы, соответствующей минимальной температуре в цикле, а отношение максимальной температуры в цикле к минимальной = 6. Найти КПД цикла.

6.6. То же, что в задаче 6.4., только изотермический процесс происходит при максимальной температуре газа в цикле.

6.7. То же, что в задаче 6.5, только изотермический процесс происходит при максимальной температуре газа в цикле.

6.8. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы, политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимальной температуре газа в цикле. Найти КПД цикла, если в его пределах температура газа изменяется в = 8 раз.

6.9. Идеальный газ - аргон - совершает цикл, состоящий из адиабаты, изобары и изохоры. Найти КПД цикла, если в адиабатическом процессе объем газа увеличивается в = 10 раз.

6.10. То же, что в задаче 6.9, только объем газа в адиабатическом процессе уменьшается в = 10 раз.

6.11. Вычислить КПД цикла, состоящего из изотермы, изобары и изохоры, если при изотермическом процессе объем идеального газа - водорода - увеличивается в = 9 раз.

6.12. То же, что в задаче 6.11, только объем газа в изотермическом процессе уменьшается в = 9 раз.

6.13. Найти КПД цикла, совершаемого трехатомным идеальным газом. Цикл состоит из двух изохор и двух изотерм. В пределах цикла объем газа изменяется в = 8 раз, а температура - в = 5 раз.

6.14. Определить КПД цикла, совершаемого двухатомным идеальным газом. Цикл состоит из двух изобар и двух изотерм, причем в пределах цикла давление газа изменяется в = 10 раз, а температура газа изменяется в = 5 раз.