Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму

Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму , термодинамічним потенціалом буде енергія Гіббса, що визначена для простої - системи.

Розв’язання. Відповідно до (6.4) енергія Гіббса простої PV - системи має вигляд:

Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru (1)

З урахуванням (6.3) з (1) знаходимо:

Оскільки серед членів суми Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru правої частини (2) є доданок вигляду Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru (нехай з номером Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru ), після очевидного скорочення отримуємо:

що й потрібно було довести.

Задача 2. Двокомпонентна система знаходиться в термостаті. Виразити хімічний потенціал першого компонента через хімічний потенціал другого для рівноважних ізобаричних процесів.

Розв’язання. Для вказаних умов через те, що Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru і Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо:

Розділивши (1) на Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , отримаємо це співвідношення в термінах концентрацій Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru :

На підставі зв’язку Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru з (2) знайдемо:

Розглядаючи Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru як функцію складу (тобто концентрації Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru ), перепишемо (2) у вигляді

Інтегруючи (4), остаточно отримаємо:

де Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru хімічний потенціал чистого першого компонента при заданих Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru і Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru .

Задача 3. Визначити клас функцій, що виражають залежність хімічного потенціалу від складу в системах з двох однотипних компонентів.

Розв’язання. Обмежуючись пошуком залежності хімічного потенціалу лише від складу, вважатимемо Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru Тоді для двокомпонентної системи з рівняння Гіббса-Дюгема (6.28) маємо (див. попередню задачу):

У випадку однотипних компонентів з симетрії випливає однакова функціональна залежність Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru від Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru і Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru від Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru . Отже, вважаючи Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , перепишемо (1) у вигляді

або, симетризуючи,

Співвідношення (2) можна розглядати як функціональне рівняння вигляду

де

Очевидно, що рішенням (3) є будь-яка функція Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , симетрична відносно значення аргументу Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru . Загальним виглядом для такої буде

Отже, інтегруючи (4) з урахуванням зображення (5), знайдемо шуканий і найбільш загальний в умовах задачі вираз для хімічного потенціалу Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru :

В остаточному розв’язку (6) необхідно, зрозуміло, обмежитися такими функціями Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , які визначені на проміжку Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru і для яких інтеграл (6) існує в традиційному для фізики рімановому сенсі.

Задача 4. Довести формулу(6.24).

Розв’язання. Скористаємося властивістю потенціалу Гіббса Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , відповідно до якої він є адитивною функцією кількостей Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru частинок змішаних речовин. Математично це означає, що Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru є однорідна функція першого степеня змінних Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru . Звідси на підставі (1.14) можна записати:

Диференціюючи рівність (1) за Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , знайдемо

Вважаючи в (2) Приклади характерних задач з розв’язанням. Задача 1. Довести, що для випадку, коли незалежними змінними системи є температура , тиск і зовнішні параметри крім об’єму - student2.ru , матимемо