Т е м а 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

Методические указания

к практическим занятиям

Сыктывкар 1999

Методические указания по курсу электродинамики рассчитаны на студентов-физиков с учетом существующих программ по электродинамике. Предложенные задачи требуют соответствующей математической подготовки. Большинство из них решаются простыми математическими методами. Несколько задач выделяется по своей сложности и их решение связано с трудоемкими вычислениями. Эти задачи отмечены звездочкой.

В методических указаниях используется гауссова система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе.

Т е м а 1, 2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В КУРСЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Разложение вектора по ортам , , декартовой системы координат имеет вид:

.

Некоторые сведения из векторного анализа:

1. Скалярное произведение двух векторов и :

,

, — угол между и ;

2. Векторное произведение двух векторов и :

,

,

где — угол между и ;

3. Смешанное произведение:

;

4. Двойное векторное произведение:

.

5. .

Дифференциальные операции:

1. Дифференцирование вектора, зависящего от скалярного аргумента

,

где — единичный вектор по направлению .

2. Полная производная от по времени t

,

где — векторный дифференциальный оператор.

3. Пусть , где u — скалярный аргумент, зависящий от координат:

,

.

Задания.

1.1. С помощью оператора , пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторов, доказать тождества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.2. Вычислить:

, ,

, .

1.3. Доказать тождества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.4. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора а_x, a_y, a_z рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами:

, .

Выразить скалярные и векторные произведения двух векторов через их циклические компоненты.

1.5. Записать циклические компоненты градиента в сферических координатах (см. задачу 1.4.).

1.6. Найти функцию , удовлетворяющую условию:

.

1.7. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:

1.

2.

3.

4.

5. ,

где и — постоянные векторы.

1.8. Вычислить

, , ,

, ,

где .

Т е м а 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

3.1. Объемная плотность заряда полупространства имеет периодическую структуру , где постоянный вектор образует с осью z отличный от нуля угол. Найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства.

Решение: Потенциал

(1)

является решением уравнений

, (где )

с дополнительными условиями

, (2)

, (3)

Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Так как

,

задача допускает разделение переменных:

где последнее слагаемое потенциала является частным решением уравнения Пуассона. Функции и (i=1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:

,

в котором . Принимая во внимание условие (3), находим

.

Постоянные множители a_i, b_i (i=1, 2) определяются из граничных условий (2), так что

,

.

3.2. Вывести закон Ленгмюра для плоского вакуумного диода:

j=kU^3/2,

где j — величина плотности тока, U — напряжение между анодом и катодом, k — коэффициент пропорциональности, зависящий от l — расстояния между катодом и анодом, e, m — заряда и массы электрона. Считать, что сила тока далека от насыщения. начальная скорость электронов равна нулю.

3.3. Определить потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью . Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию:

.

3.4. Вычислить напряженность поля и потенциал , создаваемый длинным прямым проводником радиуса а, равномерно заряженным с плотностью заряда .

3.5. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена с плотностью . Найти потенциал и напряженность электрического поля внутри и вне плиты. Задачу решить двумя способами:

а) используя теорему Гаусса;

б) используя общее решение уравнения Пуассона.