Матрица плотности как основной инструмент квантовой теории

В этой главе я хочу немного «загрузить» вас математическим формализмом, поскольку мы будем говорить о количественном описании нелокальных корреляций. Не беспокойтесь — ничего сложного, постараюсь дать лишь ключевые моменты, для понимания которых вполне достаточно самых элементарных представлений о матрицах и об основных математических операциях над ними. Если у кого-то возникнут трудности с пониманием математических «закорючек», можно их просто игнорировать. Надеюсь, в этой главе вы найдете что-то интересное и кроме них.

Количественное описание нелокальных корреляций, мера квантовой информации и все остальные физические величины вводятся в квантовой теории на основе одного из самых фундаментальных ее понятий — матрицы плотности. Чтобы вы смогли как-то прочувствовать всю значимость этого основного инструмента квантовой теории, проведу параллель с известным фильмом «Матрица». После его выхода на широкий экран этот термин стал довольно популярным, и у многих на слуху. Напомню, что в основе картины лежит фантастический сюжет о борьбе с машинами, которые захватили власть на Земле. Людям кажется, что они живут полноценной жизнью в реальном мире, хотя их физические тела при этом неподвижно лежат в капсулах, а сознание просто «вмонтировано» в гигантский суперкомпьютер. Источником «реальности» для них является Матрица.

Мысль о том, что наше восприятие и наши ощущения отражают далеко не то, что есть на самом деле, — вовсе не нова. Об этом давно говорят все религиозные и мистические учения. Степень достоверности восприятия и наша «обманутость» предметным миром в различных учениях трактуются по-разному, вплоть до утверждения о полной иллюзорности материального мира. Но суть примерно одинакова — все учения свидетельствуют о том, что мир, который мы видим вокруг себя, вовсе не является физической основой реальности, помимо него есть нечто более емкое и всеохватывающее, откуда лишь «генерируются» предметные тела нашего привычного мира в виде некой проекции.

Кроме того, фильм «Матрица» имеет некий философский подтекст, затрагивает вопросы творения и бытия. Символическое значение несут даже имена персонажей, например, Тринити (Trinity) — это Троица, один из основных христианских символов. Одна из серьезных тем, которые поднимаются в фильме, — тема освобождения от привычных иллюзий нашего восприятия. Но мы пока не будем касаться этого вопроса. Остановимся лишь на том, что Матрица в фильме рассматривается в качестве источника воспринимаемой реальности. В более широком смысле слова под «матрицей» сейчас обычно понимают некую фундаментальную структуру, в рамках которой проявляются те или иные свойства системы. Так вот, самое интересное, что этот основной тезис — «всё из Матрицы» — имеет в квантовой теории не переносный, а самый прямой смысл — «всё из матрицы плотности». Матрица плотности — это та самая фундаментальная структура, которая содержит в себе все возможные проявления системы. Матрица плотности любой системы, вплоть до Всеобъемлющей Матрицы Универсума, заключает в себе весь потенциал этой системы. В ней — всё, на что способна система, все «программы», которые могут быть в ней запущены и выполнены, всё, что она может продемонстрировать. Можно сказать кратко — матрица плотности содержит всю информацию о системе. И что для нас немаловажно — информацию о корреляциях системы с окружением. В общем, говоря о значимости матрицы плотности, я бы сопоставил ее с Матрицей из фильма, и тот, кому интересно, как она работает, может открыть для себя много нового, поближе познакомившись с этим понятием квантовой теории.

Может возникнуть закономерный вопрос: что толку в наших теоретических рассуждениях, если мы рассматриваем большую систему типа Универсума? Ведь мы все равно не сможем записать для него матрицу плотности в явном виде, а значит, будем не в состоянии ничего толком о нем сказать. Это не совсем так, и здесь на первый план выходит количественное описание. Имея количественную теорию, можно многое сказать о любых системах независимо от их размера. Количественные законы справедливы всегда (в границах их применимости), как для небольших систем, так и для любых других, иначе они бы не были законами. Поэтому и существует возможность устанавливать общие закономерности на самых примитивных теоретических моделях, что обычно и делается. Многие физические теории построены именно таким образом — на основе теоретического анализа простейших систем. В нашем случае, когда речь идет о фундаментальных физических процессах, связанных с нелокальностью и квантовыми корреляциями, основные закономерности тоже устанавливаются посредством анализа небольших систем. Этим сейчас и занимаются физики-теоретики, используя матрицу плотности в качестве основного теоретического инструмента. Причем эти результаты проходят проверку в экспериментальных исследованиях и практическом применении квантовой запутанности.

А теперь давайте поговорим о матрице плотности более подробно. Для начала напомню одно из основных положений квантовой теории (см. главу 2, раздел 2.5): открытая система, взаимодействующая со своим окружением, не может быть описана вектором состояния, такой системе (это смешанное состояние) можно сопоставить лишь матрицу плотности.

Понимание этого фундаментального обстоятельства пришло не сразу. Несмотря на то что понятие о матрице плотности было сформулировано фон Нейманом* в 1927 году, осознать исключительно важную ее роль в квантовой теории удалось значительно позднее.

* Neumann J. von, Gött. Nach. 1–15. Р. 245–272 (1927), статья поступила в редакцию 11 ноября 1927 года. Более подробно прочитать об этом можно в книге: Белокуров В. В., Тимофеевская О. Д., Хрусталев О. А. Квантовая телепортация — обыкновенное чудо. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. С. 155.

Так, когда в 1935 году Эйнштейн сформулировал свой знаменитый ЭПР-парадокс, он еще не понимал, что волновую функцию не всегда можно сопоставить с отдельными частями системы. В работе «Физика и реальность»* он пишет:

«Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух отдельных систем А и В, взаимодействующих только в течение ограниченного времени. Пусть задана функция ψ до взаимодействия. Тогда уравнение Шредингера даст функцию ψ после взаимодействия. Определим теперь физическое состояние подсистемы А настолько полно, насколько это допускается измерениями. Тогда квантовая механика позволяет нам определить функцию ψ для подсистемы В по сделанным измерениям и функцию ψ для всей системы. Это определение, однако, дает результат, который зависит от того, какие определяющие величины, характеризующие состояние А, измерялись (например, координаты или количества движения). Поскольку после взаимодействия для В может существовать только одно физическое состояние, которое нельзя себе разумно представить зависящим от отдельных измерений, произведенных над системой А, отделенной от В, можно заключить, что функции ψ нельзя однозначно сопоставить физическое состояние. Это сопоставление нескольких функций ψ одному и тому же физическому состоянию системы В вновь показывает, что функция не может интерпретироваться как описание (полное) физического состояния одной отдельной системы. Здесь также все трудности исчезают, если функция ψ сопоставляется ансамблю систем».

* Эйнштейн А. Физика и реальность. М., 1965. С. 55. http://artema.fopf.mipt.ru/lib/phil/einstein1.html.

Элементарная ошибка содержится уже в самом начале этих рассуждений. Авторы ЭПР исходят из очевидного (на их взгляд) утверждения, что каждой подсистеме при заданном состоянии всей системы можно сопоставить волновую функцию. Но это утверждение в общем случае неверно. Такая возможность есть лишь при условии, что между А и В нет и не было взаимодействия (они находятся в сепарабельном состоянии). Каждой из взаимодействовавших в прошлом подсистем А и В в общем случае сопоставить отдельные векторы состояния (волновые функции) нельзя, для них можно записать лишь матрицы плотности. Но вот что делать с несепарабельным исходным состоянием, то есть когда подсистемы действительно взаимодействовали друг с другом?

Уместно сказать, что Эйнштейн придумывал «парадоксы» на пустом месте, — никаких парадоксов нет, если не делать ошибок в рассуждениях и правильно подходить к анализу двух подсистем в единой общей системе. Если вся система замкнута, то ей, как целому, можно сопоставить вектор состояния, но каждой из подсистем не всегда удается сопоставить отдельный вектор. Состояния подсистем тогда описываются матрицами плотности, и она — своя у каждой из них. В этом случае невозможно однозначно восстановить матрицу плотности общей системы по матрицам отдельных подсистем, это допустимо лишь для сепарабельных состояний. Если же состояния несепарабельны, полное описание возможно лишь для всей системы целиком. И это не следствие неполноты квантовой механики, как пытался подать данное обстоятельство Эйнштейн. Наоборот, это результат более полного и глубокого описания окружающей реальности, естественное физическое следствие взаимодействия подсистем. При этом общую систему нельзя разделить на два полностью независимых локальных объекта — всегда будет существовать некоторая часть системы, которая принадлежит обоим объектам в равной степени. Подсистемы переплетены, запутаны между собой подобно сиамским близнецам и составляют единое целое, пусть даже в какой-то самой незначительной своей части.

Парадокс при этом снимается, но квантовая запутанность (несепарабельность) остается. Она является естественным следствием более полного квантового описания, в котором объект может быть единым целым или разделенным на отдельные части, но при этом учитываются даже самые незначительные квантовые корреляции между частями системы, которыми пренебрегает классическая физика.

Не исключено, что у кого-то сложится обманчивое впечатление, что, поскольку квантовые корреляции в нашем макроскопическом мире незначительны, ими можно полностью пренебречь. Классическая физика так и поступает. Но при этом не учитывается одно существенное обстоятельство — свойства этих корреляций столь необычны, удивительны и всеобъемлющи, что легко могут «перевесить» самые сильные классические корреляции. Пренебрегая квантовыми корреляциями, классическая физика в результате резко ограничивает свои возможности при описании физической реальности, сводя ее практически к бесконечно малой части всей совокупной квантовой реальности. Отсюда — неспособность классической физики описать огромное количество «сверхъестественных» явлений.

Эйнштейн, как я понимаю, так и не смог смириться с квантовой запутанностью (телепатией) в квантовой теории и пытался всеми силами втиснуть ее в тесные рамки классической реальности, в том числе, и своими «шуточками» относительно ансамблевой интерпретации*. Думаю, его авторитет сыграл немаловажную роль в том печальном обстоятельстве, что в существующих учебниках по квантовой механике практически не упоминаются несепарабельные состояния и их необычные особенности. Ситуация стала меняться только в последнее время, после того, как физические эксперименты подтвердили объективность существования необычных состояний в окружающей реальности, и ученые приступили к практическому применению запутанных состояний в качестве рабочего ресурса в технических устройствах. Тут уж нет смысла спорить о том, существуют они на самом деле или нет: они уже работают, и их специфические свойства полностью соответствуют теоретическим предсказаниям квантовой теории.

* См. главу 2, раздел 2.3.

Но вернемся к матрице плотности. Именно это понятие позволило говорить о состоянии системы в полном смысле этого слова, поскольку появилась возможность учитывать не только внутренние, но и внешние условия, в которых она находится. Ранее, на основе вектора состояния (волновой функции), сделать это было нельзя, так как данные понятия были применимы только для замкнутых систем, которые не взаимодействовали со своим окружением. Применение волновых функций к скоррелированным подсистемам приводило к парадоксам. Лишь матрица плотности позволяла приблизиться к тому пониманию состояния, которое было ближе всего к реальной ситуации, а также к философскому толкованию этой категории. Матрица плотности не только отражала внутренние характеристики системы, но и давала возможность учитывать ее взаимодействие с окружением.

Несмотря на то, что матрица плотности в настоящее время является основным теоретическим инструментом в квантовой механике, ее роль и значение неспециалисты часто недооценивают и по старинке продолжают рассуждать в терминах волновой функции даже тогда, когда нельзя пренебречь корреляциями системы с окружением. Пси-функция (волновая функция) с легкой руки Шредингера оказалась настолько «въедливой», что даже те, кто искренне пытается понять квантовую теорию, но все же далеки от нее, не осознают все значение матрицы плотности. Например, Р. Пенроуз в своей замечательной книге «Новый ум короля» после рассуждений о коте Шредингера (что он также по старинке делает в терминах пси-функции) лишь вскользь упоминает* о матрице плотности. Он посвящает ей один маленький абзац странного содержания, свидетельствующий о полном непонимании значения матрицы плотности и той исключительно важной роли, которую она играет в квантовой механике. Пенроуз пишет:

«Иногда высказывают мнение, что сложные системы должны в действительности описываться не „состояниями“, а их обобщением, получившим название матриц плотности (фон Нейман [1955]). Последние включают в себя и классические вероятности, и квантовые амплитуды. В этом случае для описания реальности берется много квантовых состояний. Матрицы плотности полезны, но сами по себе они не решают глубоко проблематичные вопросы квантового измерения».

* Пенроуз Р. Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики. М.: Едиториал УРСС, 2003. С. 239.

Оставлю этот абзац без комментариев. Замечу только, что даже дата введения в квантовую механику понятия «матрица плотности» названа неправильно — 1955 год вместо 1927-го.

Если бы в квантовой теории не было матриц плотности, то вообще невозможно было бы описывать открытые системы и говорить о частях составной системы, когда они взаимодействуют друг с другом. Именно в матрице плотности содержится информация о корреляциях с окружением — в векторе состояния (пси-функции) такой информации нет.

Итак, любая система, взаимодействующая со своим окружением, описывается матрицей плотности и не может быть описана вектором состояния. В свою очередь, любое чистое состояние, описываемое волновой функцией, также можно описать и матрицей плотности. Она получается из вектора состояния в виде проектора |ΨñáΨ|, то есть вектор-столбец нужно умножить на вектор-строку (комплексно сопряженную), и мы получим матрицу плотности чистого состояния. Таким образом, в терминах матрицы плотности можно описывать как чистые, так и смешанные состояния, как замкнутые системы, так и системы, взаимодействующие со своим окружением. Поэтому матрица плотности является общим инструментом для квантового описания в терминах состояний. Она работает даже там, где нельзя применить вектор состояния (волновую функцию).

Когда мы говорим о матрице плотности, сразу возникает вопрос: о какой плотности идет речь? Здесь имеется в виду плотность распределения вероятности различных состояний рассматриваемой системы. Данный термин идет еще от классической механики и статистической физики, когда классическое состояние задается точкой в фазовом пространстве. При этом предполагается, что конкретное состояние неизвестно, а известна лишь вероятность того, что система находится в том или ином состоянии из некоторого множества допустимых. Система тогда рассматривается подобно жидкости в фазовом пространстве. В этом случае ее масса в произвольном объеме фазового пространства считается равной полной вероятности того, что система пребывает в каком-либо из состояний, соответствующих точкам данного объема. Затем вводится плотность этой жидкости в данной точке, равная вероятности (на единицу объема фазового пространства) того, что система будет близка к данному состоянию. Отсюда и пошло это название.

Матрица плотности содержит вероятности состояний. Если речь идет о физике, то из вектора состояния (матрицы плотности) можно получить все физические величины (динамические переменные), которые используются при классическом описании системы (энергию, координаты, импульсы, моменты импульсов и т. д.). Причем величины не только скалярные, но и векторные, а также функции от этих величин. В квантовой механике динамическим переменным системы (физическим величинам) ставятся в соответствие линейные самосопряженные операторы. Это один из основных постулатов квантовой теории — соответствие «оператор–физическая величина».

Вектор состояния и матрица плотности могут применяться для квантового описания (в терминах состояний) и в более общем случае, когда мы имеем дело не с физикой, а, скажем, с текстовыми сообщениями (и любой другой информацией). Этот подход широко применяется сейчас в квантовой теории информации.

Часто используется стандартный базис — из чисел в двоичной системе: 0...00, 0...01, 0...10, 0...11 и т. д. Так делается в компьютерах, где любая информация записывается в двоичном базисе.

Этот базис применяется и в физике: например, в случае спиновых степеней свободы каждая позиция соответствует двум возможным состояниям одного спина во внешнем магнитном поле (0-спин-вверх, 1-спин-вниз).

Сумма диагональных элементов, то есть след матрицы плотности равен единице. Так, в квантовой теории информации, когда пересылается какое-либо сообщение, возможны искажения, и получателю может прийти не то, что было послано: к примеру, вместо одной буквы — другая. Набор основных состояний системы (диагональные элементы матрицы плотности) характеризует все возможные варианты таких искажений (их вероятности), а «приемник» прочитает только один из них. То есть будет реализован один из искаженных вариантов с соответствующей вероятностью, а сумма вероятностей (след матрицы плотности) должен быть равен единице.

Еще одно важное свойство матрицы плотности — это ее эрмитовость. Попросту говоря, любая матрица плотности должна быть симметричной (в вещественном случае), ее недиагональные элементы расположены парами симметрично относительно главной диагонали. В комплексном случае эти пары будут комплексно сопряженными — это и есть эрмитова матрица. Такая симметричная структура матрицы плотности является следствием того, что корреляции в системе всегда выступают парами: если одна подсистема взаимодействует с другой, то и вторая коррелирует с первой — это одно и то же взаимодействие. Только, когда речь идет о матрице плотности, более правильно говорить о наборе различных основных состояний системы (диагональные элементы) и о корреляциях между ними (недиагональные элементы). По диагонали матрицы плотности стоят вероятности «проявления» дискретных состояний при декогеренции (в случае исходного нелокального состояния). Например, у кубита два локальных состояния 0 и 1, их вероятности — это |a|² и |b|², то есть существует бесконечное число различных вариантов весовых соотношений при наложении (суперпозиции) этих двух состояний. А недиагональные элементы характеризуют корреляции между данными основными состояниями, в случае кубита — это ab^* и ba^*, звездочка здесь — знак комплексного сопряжения. Пространство состояний для матрицы плотности — не только набор всех дискретных (базисных) состояний, это и все возможные корреляции между ними. Полный набор возможных локальных состояний — лишь диагональные элементы матрицы плотности. Из-за того, что учитываются все возможные связи между состояниями, число элементов в матрице плотности увеличивается экспоненциально с числом кубитов N и равно 2^N × 2^N.

Другое свойство любой матрицы плотности — ее положительная полуопределенность. Все собственные значения матрицы плотности вещественны (нет комплексных чисел) и неотрицательны (больше нуля или равны ему). Для матрицы плотности всегда существует унитарное преобразование, которое приводит ее к диагональной форме, и по диагонали будут стоять неотрицательные вещественные числа. В случае чистых состояний ситуация еще проще — матрица плотности такого состояния имеет только одно ненулевое собственное значение (равное единице), а все остальные равны нулю.

На простом примере я попытаюсь показать, как строится матрица плотности. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей (А и B), каждая из которых может находиться в двух состояниях 0 и 1. Вектор типа |01ñ означает, что подсистема А находится в состоянии 0 (пусть она стоит на первой позиции), а подсистема B — в состоянии 1.

Если система замкнута (чистое состояние), то мы можем записать для нее вектор состояния, например, в стандартном базисе:

|Ψñ = a|00ñ + b|01ñ + c|10ñ + d|11ñ, (3.1)

где a, b, c, d — в общем случае комплексные числа (амплитуды) и выполняется условие нормировки |a|² + |b|² + |c|² + |d|² = 1.

Вектор состояния (3.1) описывает все возможные состояния системы, и их бесконечное число, поскольку амплитуды заданы на множестве комплексных чисел. То есть a, b, c, d могут быть любыми числами (удовлетворяющими условию нормировки), как вещественными, так и комплексными, и таких чисел бесконечно много.

Матрица плотности для чистого состояния записывается как проектор |ΨñáΨ| (вектор-столбец (3.1) нужно умножить на комплексно сопряженную строку). Это матрица 4 × 4 и по диагонали в ней стоят |a|², |b|², |c|², |d|² — это вероятности нахождения системы в каждом из четырех возможных собственных состояний |00ñ, |01ñ, |10ñ, |11ñ соответственно. Сумма вероятностей этих состояний (след матрицы плотности) равна 1 (условие нормировки). Недиагональные элементы характеризуют корреляции (взаимодействия) между четырьмя различными состояниями системы, в них содержится информация о градиентах энергии, возникающих в ней.

Состояние (3.1) может быть максимально запутанным, например, одно из них:

. (3.2)

Матрица плотности в этом случае равна:

. (3.3)

То есть система с равной вероятностью 1/2 находится в состояниях |00ñ и |11ñ («кот ни жив, ни мертв») — это диагональные элементы. И корреляции между этими состояниями максимальны (недиагональные элементы). Мы видим, что недиагональные элементы равны друг другу и расположены симметрично, как и должно быть для любой матрицы плотности.

При измерении этого нелокального состояния (при декогеренции) мы получим одно из двух классических локальных (сепарабельных) состояний |00ñ или |11ñ с равной вероятностью.

Существует простой способ проверить, относится ли какая-либо матрица плотности к чистому состоянию или нет. Если умножить матрицу саму на себя, и она при этом не изменится (получится та же самая матрица), то есть если выполняется равенство ρ² = ρ, то можно сразу сказать, что данная матрица плотности описывает чистое состояние, и для него может быть записан вектор состояния. Такие матрицы, которые не меняются при умножении самой на себя, называются идемпотентными. Таким образом, любая матрица плотности чистого состояния — идемпотентная.

Если система незамкнутая (открытая), то это смешанное состояние, и тогда она не описывается вектором состояния, но ее по-прежнему можно описать матрицей плотности. Например, максимально смешанное состояние:

. (3.4)

Его уже нельзя записать в виде вектора состояния (3.1). В этом случае нет корреляций между состояниями |00ñ |01ñ |10ñ |11ñ, и при измерении можно получить любое из этих состояний с равной вероятностью 1/4.

Замечу, что матрица плотности такого вида получается, если мы хотим описать состояние одной из подсистем, например А, в случае максимально запутанного состояния типа (3.2). Так, если мы возьмем частичный след по подсистеме B и получим частичную матрицу плотности размерностью 2 × 2, которая описывает подсистему А, то эта матрица плотности будет соответствовать максимально смешанному состоянию и иметь вид:

. (3.5)

Подсистема А с равной вероятностью 1/2 может находиться в состоянии |0ñ или |1ñ.

Нужно еще иметь в виду, что, когда мы говорим «состояние системы», то смысл этого выражения обычно зависит от контекста. Речь может идти о состоянии, полученном в результате измерения (декогеренции), то есть об одном из реализованных собственных состояний системы (об одном из диагональных состояний матрицы плотности). Или имеется в виду исходное состояние, то есть сам вектор состояния (вся матрица плотности), тогда по ее структуре можно судить о квантовой запутанности и о корреляциях (в частности, о градиентах энергии). В простых случаях, например, для матрицы плотности типа (3.3) (когда 1/2 стоят по четырем углам, а остальные нули), сразу можно сказать, что это максимально запутанное cat-состояние.

Понятие матрицы плотности исключительно важно в квантовой теории. Только в терминах матриц плотности можно рассматривать части взаимодействующей системы. Рассуждать об «ЭПР-парадоксе» в терминах пси-функции вообще не имеет смысла. Матрица плотности содержит информацию двоякого рода: во-первых — о корреляциях между частями самой системы; во-вторых — о корреляциях системы с окружением (которых может и не быть в случае чистого состояния). Речь идет, прежде всего, о нелокальных корреляциях, поскольку классические корреляции (сепарабельные состояния) и раньше с успехом описывались теми же пси-функциями. Но только на основе матриц плотности стало возможным описание квантовых корреляций (несепарабельных состояний). Только с их помощью квантовая теория стала по-настоящему квантовой, способной охватить ее основную специфику, отличающую ее от классической физики — несепарабельные (запутанные) состояния.

На основе матриц плотности стало возможным ввести количественные характеристики квантовой запутанности, и этот момент, как я считаю, стал поворотным для квантовой теории. По своей значимости данное событие стоит в ряду самых выдающихся достижений не только квантовой механики, но и всей науки в целом. Появилась возможность количественно описывать новую, неизведанную сферу реальности. Я бы сравнил этот момент с отрывом науки от грешной земли и ее выходом в безбрежный «космос», в «царство небесное» нелокальных состояний.