Квантовое усиление в среде

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну частоты n и интенсивности I, соответствующей плотности потока фотонов F, распространяющуюся в направлении z через среду с энергетическими уровнями Е₁ и Е₂ и населенностями N₁ и N₂ (двухуровневая модель). При резонансном взаимодействии волны со средой за 1с в единице объема возникает N₂W₂₁=N₂s₂₁F индуцированных переходов с уровня 2 на уровень 1 и N₁W₁₂=N₁s₁₂F переходов с уровня 1 на уровень 2. Тогда изменение плотности потока фотонов dF в слое dz (рис.1.7) без учета спонтанных переходов, что справедливо при достаточно больших интенсивностях, определяется выражением: (1.50)

где использовано, что s₁₂=s₂₁=s.

Учитывая, что I=Fhn, из (1.50) получаем уравнение для I:

(1.51)

Из (1.51) следует, что в случае N₂>N₁, dI/dz>0, то есть в среде происходит усиление электромагнитной волны. В случае N₂<N₁, dI/dz<0, т.е. поглощение.

Для среды, находящейся в условиях термодинамического равновесия, , т.е. . Таким образом, такая среда поглощает излучение на частоте n, что обычно и происходит.

Однако если вещество перевести в неравновесное состояние, для которого N₂>N₁, то среда будет действовать как усилитель. В этом случае говорят, что среда находится в состоянии с инверсией населенностей квантовых уровней. Среда, в которой осуществлена инверсия населенностей, называется активной средой.

Рис.1.7 Взаимодействие света с веществом.

Рис1.8. График изменения I(z) в среде.

Из (1.51) имеем , где I₀=I(z=0) (1.52)

Параметр (1.52a)

называется коэффициентом квантового усиления, а формулу (1.52) можно написать в виде: I=I₀e^Gz (1.53)

Представляя (1.52) в виде , приходим к известному закону Бугера , (1.54)

где a - коэффициент поглощения среды, определяемый формулой: = . (1.55)

(1.55 а)

Графики изменения интенсивности волны I(z) в усиливающей (N₂>N₁) и поглощающей (N₂ < N₁) средах показаны на рис.1.8.

Потери в среде, не связанные с квантовыми переходами (рассеяние, дифракция), учитываются введением коэффициента потерь b и изменение интенсивности волны в общем случае описывается формулой:

. (1.56)

Проведем расчет коэффициента поглощения a, исходя из теории квантовых переходов.

Используя формулы a=s(N₁-N₂)=sDN, W₁₂=sF, F=I/hn, I=ρυ запишем: (1.57)

Учтем спектральную зависимость вероятности перехода

W_n=W₁₂·g(n)=B₁₂ r_n g(n), - где W_n - вероятность индуцированного перехода на частоте n, g(n) – функция формы линии излучения. При этом справедлива и обратная связь: . (1.58)

Если индуцирующее квантовый переход излучение монохроматическое, то r_n можно представить в виде .

Тогда (1.58а)

где при вычислении интеграла использовано фильтрующее свойство δ – функции. Пусть форма линии излучения является лоренцевой, т.е.

.

При n=n₀, g(n₀)=2/(p Dn_л). Таким образом (1.58а) приобретает вид:

(1.59)

Подставляя (1.59) формулу (1.57) получаем окончательно для :

, (1.60)

где величина σ называется сечением квантового перехода 2→1:

(1.61)