Физические основы эксперимента

Содержание

Лабораторная работа №11. Изучение статистических закономер-

ностей.…………………………………………………………………….3

Лабораторная работа № 12. Определение коэффициента вязкости

воздуха..……………………………..…………………………………….15

Лабораторная работа № 14. Определение показателя адиабаты γ

методом Клемана и Дезорма…………………………………………..

Лабораторная работа № 15. Проверка закона возрастания энтро-

пии……………………………………………………………………….

Лабораторная работа №11

Изучение статистических закономерностей

Цель работы: изучение характера распределения дроби в установке Гальтона и распределения термоэлектронов по модулям скоростей.

Описание лабораторной установки и оборудования

В лабораторной работе выполняются два эксперимента.

Эксперимент 1. Исследование распределения дроби в горизонтальной плоскости при прохождении её через систему решёток.

Эксперимент проводится на установке, (так называемая доска Гальтона), схема которой приведена на рис. 1

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис. 1 Схема экспериментальной установки

Она представляет собой плоский вертикальный ящик с прозрачной передней стенкой.

Через воронку в установку насыпают дробь, которая падая вниз через систему штырьков, попадает в ячейки. При соударении со штырьками происходит отклонение дробинок в горизонтальной плоскости, носящее случайный характер. С одной стороны установки имеется 3 ряда штырьков, с другой – 12. На прозрачные стенки ячеек нанесены деления, по которым можно определить уровень заполнения ячеек дробью.

Эксперимент 2. Исследование распределения термоэлектронов по модулю их скорости.

Эксперимент проводится на установке, электрическая схема которой, приведена на рис. 2.

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис.2. Схема экспериментальной установки

Основной частью установки является электронная лампа, в которой катод - нить, натянутая по оси лампы, окружён цилиндрическим анодом. НН – нить накала подключается к источнику переменного напряжения. C помощью реостата Rн можно изменять величину тока накала iн. При этом будет изменяться число термоэлектронов, испускаемых катодом в единицу времени.

Между анодом и катодом создаётся тормозящее поле, величину которого можно изменять с помощью потенциометра П. Изменяя задерживающее напряжение U, которое измеряется вольтметром V, можно снять зависимость анодного тока I, измеряемого амперметром А, от задерживающего напряжения. Из этой зависимости можно найти функцию распределения термоэлектронов по скоростям.

Общие сведения

Физические основы эксперимента

Все макроскопические тела состоят из огромного числа атомов и молекул, которые находятся в непрерывном хаотическом движении. В силу этого скорости и координаты отдельных молекул – величины случайные. Поэтому в совокупном поведении отдельных молекул появляются статистические закономерности. Их изучение и делает возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц системы.

Статистическая физика связывает параметры макроскопических тел (давление, плотность, теплопроводность, вязкость и т. п.) со средними значениями микропараметров молекул (скоростью, координатами и импульсом). Математическим аппаратом статистической физики является теория вероятности.

Вероятность появления некоторого значения Физические основы эксперимента - student2.ru дискретной случайной величины Физические основы эксперимента - student2.ru есть величина Физические основы эксперимента - student2.ru i, равная

Физические основы эксперимента - student2.ru , (1)

где Физические основы эксперимента - student2.ru - число наблюдений, в которых было получено данное значение Физические основы эксперимента - student2.ru , Физические основы эксперимента - student2.ru - общее число наблюдений.

Вероятностью того, что непрерывная случайная величина Физические основы эксперимента - student2.ru (например, скорость молекулы) будет иметь значение в интервале от Физические основы эксперимента - student2.ru до Физические основы эксперимента - student2.ru , называется величина Физические основы эксперимента - student2.ru , равная

Физические основы эксперимента - student2.ru , (2)

где Физические основы эксперимента - student2.ru - количество наблюдений, в которых величина Физические основы эксперимента - student2.ru имела значение в интервале от Физические основы эксперимента - student2.ru до Физические основы эксперимента - student2.ru , Физические основы эксперимента - student2.ru - общее число наблюдений.

Вероятность Физические основы эксперимента - student2.ru будет зависеть от значения случайной величины Физические основы эксперимента - student2.ru и от ширины интервала Физические основы эксперимента - student2.ru , т.е.

Физические основы эксперимента - student2.ru . (3)

Функция Физические основы эксперимента - student2.ru (4)

называется функцией распределения вероятностей или плотностью вероятности. Она показывает, какова вероятность того, что случайная величина будет иметь значение в единичном интервале вблизи некоторого значения Физические основы эксперимента - student2.ru .

Средние значения случайной влечены Х определяются по формулам: для дискретной случайной величины

Физические основы эксперимента - student2.ru , (5)

для непрерывной случайной величины

Физические основы эксперимента - student2.ru . (6)

С учётом (3): Физические основы эксперимента - student2.ru (7)

На рис.3 приведён один из возможных примеров функции распределения. В соответствии с формулой (3) площадь заштрихованной полоски равна Физические основы эксперимента - student2.ru .

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис.3

Вероятность того, что величина Физические основы эксперимента - student2.ru может принять хотя бы какое-нибудь значение из всех возможных (достоверное событие) очевидно равна единице, т.е.

Физические основы эксперимента - student2.ru , (8)

где интегрирование ведётся по всем возможным значениям Физические основы эксперимента - student2.ru . Из этого следует, что вся площадь под кривой Физические основы эксперимента - student2.ru на рис. 3 равна единице. Формула (8) называется условием нормировки функции распределения.

Значение случайной величины Физические основы эксперимента - student2.ru , при котором плотность вероятности принимает максимальное значение, называется наиболее вероятным.

Отыскание математического вида функции распределения – одна из основных задач статистической физики.

Приведём примеры некоторых функций распределения.

а) Нормальное распределение или распределение Гаусса

Математический вид функций распределения:

Физические основы эксперимента - student2.ru , (9)

где s -- стандартное (среднеквадратичное отклонение), которое характеризует рассеяние (разброс) случайной величины х вокруг её среднего значения <х> или «ширину» графика нормального распределения. График функции распределения приведены на рис.4

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис. 4

Характеристики распределения График 1 График 2 График 3
Среднеквадратическое отклонение, σ σ1 σ21 σ1
Среднее значение, х <x>

Распределению Гаусса подчиняются случайные ошибки экспериментальных измерений. Нормальным (гауссовским) является распределение молекул идеального газа по проекциям скоростей Vx на произвольную ось [1, 2, 3]:

Физические основы эксперимента - student2.ru , (10)

где m – средняя масса молекул, k- постоянная Больцмана, Т- температура.

В данной работе в первом эксперименте исследуется распределение дроби в горизонтальном направлении после прохождения её через систему рассеивающих штырьков (см. рис. 1), которое при определённых условиях является распределением Гаусса. Поясним, почему это происходит.

Выйдя из воронки, любая дробинка движется первоначально вертикально вниз. При ударе о штырьки дробинка случайным образом отклоняется от вертикали, приобретая какую-то скорость Vx в горизонтальном направлении, и попадает в некоторую ячейку. Чем больше Vx, тем в более удалённую от центра ячейку попадёт дробинка.

Просыпав всю дробь через систему штырьков, можно получить гистограмму заполнения ячеек дробью (см.рис.5).

Вероятность того, что наугад взятая дробинка попадёт в ячейку с координатой х, будет определяться по формуле:

Физические основы эксперимента - student2.ru , (11)

где Физические основы эксперимента - student2.ru - число дробинок, попавших в данную ячейку, Физические основы эксперимента - student2.ru - общее число дробинок, Физические основы эксперимента - student2.ru - ширина ячейки, Физические основы эксперимента - student2.ru - функция распределения дробинок по ячейкам.

О виде функции распределения Физические основы эксперимента - student2.ru можно будет судить по величине Физические основы эксперимента - student2.ru , т.к. Физические основы эксперимента - student2.ru -величины фиксированные.

В свою очередь Физические основы эксперимента - student2.ru пропорционально высоте заполнения ячейки, т.к. их ширина одинакова. Поэтому линия, огибающая верхний уровень дроби в ячейках, даст график функции Физические основы эксперимента - student2.ru , описывающей распределение дроби по ячейкам (см. рис.5).

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис. 5 Распределение дроби по ячейкам

В данном опыте отклонение дроби равновероятно в обе стороны от центра воронки. Это является характерной чертой распределения Гаусса. Однако при экспериментальном исследовании этого распределения возможно действие каких-либо факторов, которые нарушат симметрию. Поэтому для проверки симметричности получаемого в эксперименте распределения используют величину, которая называется коэффициентом асимметрии. Он рассчитывается по формуле [4, 5]:

Физические основы эксперимента - student2.ru . (12)

При А = 0 гистограмма является симметричным графиком.

При А > 0 гистограмма сдвинута в сторону больших значений х,

при А < 0 – в сторону меньших х.

Среднее значение <x> находится по формуле:

Физические основы эксперимента - student2.ru . (13)

Т. к. ∆Ni пропорционально высоте заполнения ячеек дробью Нi, то вместо (13) получим:

Физические основы эксперимента - student2.ru . (14)

Среднеквадратичное отклонение распределения в данном случае можно рассчитать по формуле[1]: σ2= Физические основы эксперимента - student2.ru , где

Физические основы эксперимента - student2.ru , (15)

Наиболее вероятное значение хв определяется по максимуму графика функции распределения. Установка позволяет изменять количество штырьков и получить две функции распределения.

б) Распределение Максвелла

Математический вид функции распределения в общем случае:

Физические основы эксперимента - student2.ru , (16)

где А и α – некоторые константы.

Физические основы эксперимента - student2.ru

Рис. 6

Такой вид имеет распределение молекул идеального газа по модулю скорости.

Физические основы эксперимента - student2.ru . (17)

Графики функции (17) для двух разных температур газа приведены на рис.6. Здесь VВ1 и VВ2 –наиболее вероятные скорости молекул при температурах Т1 и Т2. Исследуя (17) на максимум, получим, что

Физические основы эксперимента - student2.ru . (18)

В данной лабораторной работе во 2-ом эксперименте находится функция распределения термоэлектронов по модулю их скорости. Эксперимент базируется на следующих положениях.

Если между катодом и анодом приложить напряжение U1 (см. рис.2), то до анода дойдут только те электроны, у которых кинетическая энергия Физические основы эксперимента - student2.ru не меньше работы Физические основы эксперимента - student2.ru (е – заряд электрона) по преодолению тормозящего поля, т.е.

Физические основы эксперимента - student2.ru (19)

или Физические основы эксперимента - student2.ru и начальная скорость будет направлена строго от катода к аноду.

Если приложить другое напряжение U2 = U1 + DU, то до анода дойдут электроны, у которых скорость

Физические основы эксперимента - student2.ru

Поэтому при изменении напряжения от U1 до U2 анодный ток
уменьшится на величину Физические основы эксперимента - student2.ru , определяемую количеством электронов DN, ²отсекаемых² от анода ежесекундно.

Физические основы эксперимента - student2.ru . (20)

С другой стороны ∆N - это количество электронов, скорости которых лежат в интервале от Физические основы эксперимента - student2.ru , и оно равно: Физические основы эксперимента - student2.ru - функция распределения термоэлектронов по модулю скорости, N – число всех электронов, испускаемых катодом ежесекундно строго в направлении анода. Оно остаётся величиной постоянной при постоянной температуре катода. Поэтому график зависимости Физические основы эксперимента - student2.ru будет описывать распределение термоэлектронов по модулю скорости при фиксированном значении Физические основы эксперимента - student2.ru .

Наши рекомендации