ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ

Развитие состояния частицы во времени описывается волновым уравнением Шредингера. Для вывода уравнения воспользуемся оператором эволюции, сдвигающим состояние объекта во времени. Он строится по аналогии с оператором трансляции, перемещающим состояние в пространстве.

Оператор трансляции ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru сдвигает состояние объекта на расстояние а

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru . (2.44)

Для получения оператора ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru разлагаем ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru в ряд Тейлора по параметру a

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru

Производную по координате выражаем через оператор импульса

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru ,

находим

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru ,

где квадратная скобка является разложением в ряд экспоненты

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru .

В результате оператор трансляции

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru . (2.45)

Генератор трансляции пропорционален быстроте изменения оператора трансляции по параметру смещения вблизи нуля

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru. (2.46)

Определению соответствует

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru .

Сравнение с (2.45) дает

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru. (2.47)

Генератором перемещения является импульс.

Полученные результаты обобщим на смещение во времени.

Оператор эволюции ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru передвигает состояние во времени на τ

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru . (2.49)

По аналогии с (2.45)

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru

записываем

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru . (2.50)

Знак минус в (2.50) обусловлен разными знаками пространственного и временного слагаемых в фазе волны де Бройля (1.11)

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru .

В результате (2.49) получает вид

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru , (2.50а)

где ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru .

Генератор эволюции, соответствующий (2.50), в виде

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru (2.51)

сравниваем с генератором трансляции (2.46)

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru

и по аналогии с (2.47)

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru

получаем

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru,

в полной запаси

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru. (2.52)

Для установления физического смысла ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru рассмотрим его действие на волну де Бройля

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru ,

описывающую частицу с полной энергией Е. Получаем уравнение

ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru

на собственную функцию оператора ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru , где собственным значением является полная энергия. Следовательно, генератором эволюции ОператорЫ трансляции И ЭВОЛЮЦИИ - student2.ru является оператор полной энергии, или гамильтониан.

Наши рекомендации