Поле бесконечно заряженного цилиндра

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью s. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярна к оси цилиндра, а величина напряженности может зависеть лишь от расстояние r от оси цилиндра.

Рис. 13.6.

Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высотой h. Для оснований этого цилиндра Е_п = 0, для боковой поверхности Е_п = Е(r). Следовательно, поток линий через эту замкнутую поверхность будет равен Е(r)×2p×r×h. Если r > R, внутри поверхности попадает заряд , где l - линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем

Е(r)×2p×r×h = ,

откуда Е(r)×= . (13.13)

Если r < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего Е(r) = 0. Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует.

Работа сил электростатического поля

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого неподвижного точечного заряда, является центральной. Центральное поле сил – потенциально. Убедимся в этом. Для этого вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q над перемещающимся в этом поле точечным зарядом q¢. Работа на элементарном пути dl равна

.

Отсюда для работы на пути 1-2 получается выражение

Рис. 13.7. .

Полученный результат свидетельствует, что работа зависит лишь от начального и конечного положений заряда (r₁и r₂). Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным.

Работа, совершаемая силами поля над зарядом q¢ при обходе его по замкнутому контуру, может быть представлена как

,

где Е_е – проекция вектора на направление элементарного перемещения . Приравняв выражающий работу интеграл нулю и сократив на постоянную величину q¢, придем к следующему соотношению:

,

которое должно выполняться для любого замкнутого контура.

Выражение вида называется циркуляцией вектора по данному контуру.

Потенциал

Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля.

Работу можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой заряд q¢ обладал в точках 1 и 2 поля заряда q:

.

Отсюда для потенциальной энергии заряда q¢ в поле заряда q получаем

. (13.14)

Разные пробные заряды … будут обладать энергией … Однако отношение будет для всех зарядов одно и то же. Величина

(13.15)

называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью поля , для описания электрических полей.

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставляя в (13.15), значение потенциальной энергии (13.14), получим для потенциала поля точечного заряда следующее выражение:

. (13.16)

Рассмотрим поле, создаваемой системой точечных зарядов Расстояние от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом , при переносе из точки 1 в 2, будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

.

Каждая из работ равна

,

где - расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда . Следовательно

.

Сопоставляя это выражение с соотношением

,

получаем для потенциальной энергии заряда в поле системы зарядов выражение

,

отсюда

. (13.17)

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Так как потенциалы складываются алгебраически, то их вычисление проще чем вычисление напряженностей электрического поля.

Из (13.15) следует, что заряд , находящийся в точке поля с потенциалом j, обладает потенциальной энергией

.

Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов:

.

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Если заряд из точки с потенциалом j удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки на бесконечность. Такую же по величине работу необходимо совершить против сил электрического поля для того, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

За единицу потенциала в СИ принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль:

[j] = В

1В = .