Уравнение Шредингера

Для частицы, описываемой гамильтонианом , волновая функция находится путем решения волнового уравнения Шредингера, которое получил Шрёдингер в 1926 г.

Правило соответствия. При переходе от классической к квантовой теории физическим величинам сопоставляются эрмитовые операторы. При этом соотношения между динамическими характеристиками сохраняются. Это обеспечивает совпадение результатов квантовой теории при больших значениях квантовых чисел с результатами классической теории.

Оператор Гамильтона. Гамильтониан частицы в классической теории является суммой кинетической и потенциальной энергий, выраженных через импульсы и координаты:

.

Переходим к операторам

,

,

,

где

– оператор градиента,

– оператор Лапласа.

Получаем оператор полной энергии, или оператор Гамильтона

. (2.53)

Волновое уравнение Шредингера. Из (2.52)

и (2.53) получаем для уравнение

. (2.54)

Стационарное уравнение Шредингера. Если потенциальная энергия не зависит от времени

,

то состояние системы стационарное, полная энергия E сохраняется и является параметром. В уравнении (2.54) слагаемые с координатами и временем разделены при , поэтому решение является произведением независимых функций от разных аргументов

. (2.55)

Подставляем (2.55) в (2.54), умножаем уравнение слева на , переменные разделяются

.

Левая и правая стороны зависят от разных переменных, поэтому обе стороны равны постоянной, которую обозначим Е и далее установим ее физический смысл.

В уравнении

разделяем переменные

,

интегрируем и находим

. (2.56)

Для получаем стационарное уравнение Шредингера

. (2.57)

Уравнение (2.57) с учетом является уравнением на собственную функцию оператора Гамильтона

, (2.58)

следовательно, Е – полная энергия. Если система одномерная, то (2.57) для получает вид

. (2.59)

Уравнения (2.57) и (2.59) позволяют найти допустимые значения энергии E и соответствующие комплексные нормированные функции состояний , если заданы граничные условия.