Задача 3. Довести співвідношення

Розв’язання. Нехай незалежними змінними будуть параметри і . Тоді та

(1)

З іншого боку, основне рівняння термодинаміки (3.13) можна записати у вигляді

. (2)

Оскільки ми вважаємо: розписуючи повні диференціали і підставляючи їх в (2), знайдемо:

(3)

Порівнюючи коефіцієнти в рівностях (1) і (3) при , отримуємо потрібний результат.

Задача 4. Показати, що теплоємність газу Ван-дер-Ваальса не залежить від об’єму.

Розв’язання. За визначенням маємо

(1)

Треба довести

Розглянемо співвідношення (3.19):

Диференціюючи його за при V = const, отримаємо

(2)

Оскільки для 1 моля газу Ван-дер-Ваальса то для нього

.

Підставляючи цей результат в (2), знаходимо

,

тому й , що й потрібно було довести.

Задача 5. Визначити рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса в змінних .

Розв’язання. Диференціальне рівняння адіабати (2.13) можна записати як

(1)

Використовуючи формулу (3.21) для , перепишемо (1) у вигляді

або (після очевидних скорочень)

(2)

З рівняння Ван-дер-Ваальса для 1 моля маємо

(3)

Тоді з урахуванням (3) і після розділення змінних рівняння (2) набере вигляду

(4)

Інтегруючи (4), після алгебраїчних перетворень знаходимо

Якщо вважати , результат спрощується і рівняння адіабати набирає вигляду

Відзначимо, що в наближенні, коли це рівняння перетворюється на рівняння адіабати ідеального газу.

Задача 6. Яку роботу здійснює один моль газу Ван-дер-Ваальса при адіабатному процесі, коли його об’єм міняється від до ? Початкова температура дорівнює . Вважати

Розв’язання. З першого начала термодинаміки для адіабатного процесу маємо або в розгорненому вигляді:

(1)

Беручи до уваги результати задачі 2 цієї глави, елементарну роботу , що здійснюється одним молем газу Ван-дер-Ваальса, можна записати як

(2)

Інтегруючи (2), знаходимо шукану роботу

де кінцева температура. Значення знайдемо з рівняння адіабати газу Ван-дер-Ваальса (див. попередню задачу), згідно з яким

,

звідки

Задача 7. Два ідеальних гази з фіксованими об’ємами і постійними теплоємностями і знаходяться в початкових станах з температурами і відповідно. Вони адіабатно ізольовані один від одного. Яку роботу можна утворити, використовуючи перший газ у ролі джерела тепла, а другий у ролі поглинача до тих пір, доки не встановиться їх однакова температура ? Знайти вираз для .

Розв’язання. Спочатку визначимо вираз для . Через адіабатну ізольованість газів зміна їх ентропії в цілому (при рівноважних процесах утворення шуканої роботи) дорівнюватиме нулю:

(1)

де і – зміна ентропій першого і другого газів відповідно від свого початкового стану до стану з температурою . З формули (3.4) і з урахуванням знаходимо

(2)

Підставляючи (2) в (1) і інтегруючи, отримаємо

звідки

Потрібну роботу можна отримати з закону збереження енергії як повне зменшення внутрішньої енергії газів. Дійсно, оскільки , внутрішня енергія , віддана першим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме

,

а внутрішня енергія , отримана другим газом у вигляді теплоти, дорівнюватиме

Отже,