Примеры по расчету электромагнитного поля

Пример 1. Плоская электромагнитная волна проникает из воздуха в проводящую среду, имеющую удельную проводимость g = 57×106 См/м и относительную магнитную проницаемость m_r = 100. Фазовый фронт волны параллелен поверхности проводящей среды. Частота колебаний f = 100 Гц. На глубине z₁ = 2 мм (рис. 5.15) плотность тока проводимости меняется по закону

d = d_m×sin(wt + p/6).

Здесь d_m = 7.071×105 А/м². Определить для точек, лежащих на поверхности проводящей среды (z = 0), мгновенные значения напряженности электрического и магнитного полей. Рассчитать активную мощность Р, поглощаемую слоем металла толщиной 2 мм и площадью 1 м². Найти длину волны l в металле и волновое сопротивление.

Решение. В начале определим коэффициент =628.319, после чего, с помощью выражения (5.6), находим длину волны l = 0.01 м. Затем по формуле (5.5) рассчитываем волновое сопротивление Z = =(1+j)×6.283×10^-5 Ом. Плотность тока совпадает по фазе с напряженностью электрического поля, поэтому на расстоянии Z₁ = 2 мм от поверхности напряженность поля определяется следующим выражением:

Напряженность магнитного поля отстает по фазе от напряженности электрического поля на угол p/4, а соотношение между амплитудными значениями определяется с помощью выражения (5.4), поэтому при z = z₁

Начальную фазу напряженности магнитного поля на поверхности проводящей среды (z = 0) можно найти следующим образом:

рад.

Амплитудные значения напряженности магнитного поля и электрического поля на поверхности будут равны

А/м; В/м.

Таким образом, мгновенные значения напряженности магнитного поля и электрического поля на поверхности будут определяться при помощи следующих выражений:

.

Для расчета мощности, поглощаемой заданным слоем металла, воспользуемся вектором Пойнтинга. Комплекс действующего значения вектора Пойнтинга на поверхности проводящего материала и на глубине z₁ равны

Искомая активная мощность при этом будет равна

Вт.

Отметим, что приведенные формулы можно преобразовать к более простому виду

.

Здесь - сопряженное значение волнового сопротивления; s – площадь слоя металла.

Пример 2. В открытом прямоугольном бесконечно длинном пазу расположена проводящая не магнитная шина прямоугольного сечения (рис. 5.16). Проводимость шины g =56×10 См/м, высота R = 30 мм, ширина - d₁ = 2 мм. Толщина изоляции между шиной и пазом мала (при анализе поля считать, что шина заполняет паз полностью). Магнитная проницаемость стенок паза велика (считать, что магнитная проницаемость равна бесконечности). Вдоль шины в направлении оси х протекает переменный ток, изменяющийся по закону

i = I_msin(wt + y) =56.4 sin(wt - p/6).

Частота f = 50 Гц.

Определить распределение плотности тока в шине, построить график изменения плотности тока вдоль оси z. Найти активное и внутреннее индуктивное сопротивление шины на один метр ее длины, мощность потерь в шине на длине в один метр.

Решение. При данных условиях, электромагнитная волна проникает в шину только через наружную поверхность шины и по мере проникновения в шину затухает. Электромагнитное поле в шине имеет плоский характер, поскольку напряженность магнитного поля направлена по оси оу, а напряженность электрического поля – вдоль оси ох.

Напряженность магнитного поля в шине изменяется вдоль оси оz согласно выражению (5.3). Для определения постоянных интегрирования А₁ и А₂ необходимо поставить граничные условия. На нижней границе (z = 0) напряженность магнитного поля равна нулю, так как стенки паза выполнены из материала с бесконечно большой магнитной проницаемостью (касательная составляющая Н_у = 0). С учетом этого напряженность поля на наружной поверхности (z = R) может быть определена на основании закона полного тока

.

Подставляя данные граничные условия в выражение (5.3), составим следующую систему:

После определения А₁ и А₂ и подстановки их в выражение (5.3) получим:

Графики изменения модулей данных величин в относительных единицах представлены на рис. 5.17. За базисные значения приняты значения модулей соответствующих величин на верхней поверхности провода (z = R) H_b = 19940 А/м, E_b = 0.053 В/м.

Плотность тока по сечению провода, расположенного в пазу ротора электрической машины, меняется по закону

График изменения модуля плотности тока полностью повторяет график изменения напряженности электрического поля. При этом, максимальное значение плотности тока равно 2.964×10⁶ А/м².

Сопротивление провода на метр его длины можно определить по формуле

Ом/м.

Следовательно, активное сопротивление провода r = 9.389×10^-4 Ом/м. Сопротивление данного провода при постоянном токе r₀ = 2.232 Ом/м. Внутреннее индуктивное сопротивление Х_вн = 9.389×10^-4 Ом/м. Мощность потерь в проводе (на метр длины) легко определяется с помощью вектора Пойнтинга

Вт/м.

Отметим, что эти же потери можно определить с помощью известного выражения P = I²r.