Свободные незатухающие колебания пружинного маятника

Свободные колебания. Колебательные системы.

Свободные колебания тела – это колебания, происходящие только благодаря начальному запасу энергии.

Системы тел, которые способны совершать свободные колебания, называются колебательными системами.

Амплитуда, период, частота колебаний.

Амплитуда –это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Измеряется в метрах, сантиметрах и т.п.

Период колебаний – это промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание.

Период колебаний обычно измеряется в секундах.

Обозначается буквой Т.

Частота колебаний – это число колебаний, совершаемых в единицу времени.

За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Название этой единицы – герц (Гц).

Чтобы найти период колебаний, надо одну секунду разделить на частоту колебаний: 1 Т = —— ν

Частота свободных колебаний называется собственной частотой колебательной системы.

Виды колебаний.

Колебания бывают гармонические, затухающие, вынужденные.

Свободные незатухающие колебания пружинного маятника

Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой и невесомой пружины жесткостью

Рис. 1.1.1

Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины. (см. рис. 1.1.1)

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

(1)

Преобразуем выражение (1) к виду

Введем обозначение (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим

(2)

Выражение (2) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

Решение уравнения (2) будем искать в виде:

(3)

Подставим (3) в (2) получим

Из полученного выражения найдем значения :

(4)

где Тогда

Чтобы найти и воспользуемся начальными условиями, т.е. необходимо знать значение координаты и скорости в начальный момент времени. Пусть

Тогда с учетом этого и выражения (3) получим следующее

Откуда

Подставим постоянные интегрирования в выражение, получим

Используя представление Эйлера для комплексных чисел

получим

(5)

Выражение (5) можно привести к виду

где амплитуда - - начальная фаза.

Т.о. амплитуда и начальная фаза находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний - через параметры колебательной системы.