Движение ракеты с переменной массой

Рассмотрим движение ракеты, рисунок 1. Пусть к некоторому моменту времени t масса ракеты с топливом равна m, скорость её движения относительно Земли V, скорость вылета продуктов сгорания топлива относительно ракеты U. Тогда импульс ракеты в данный момент времени равен . К моменту времени t + dt в процессе сгорания топлива массой dm скорость ракеты увеличилась и стала равной V + dV, а масса ракеты уменьшилась на dm и стала равной m - dm. Импульс ракеты и топлива к данному моменту времени может быть определен по формулам , . При этом абсолютная скорость движения топлива, т.е. скорость вылета продуктов сгорания топлива из ракеты относительно Земли .

Рисунок 1 - Схема ракеты

Изменение импульса за промежуток времени dt равно

. (1)

(величиной второго порядка малости dmdV пренебрегаем).

По второму закону динамики действующая сила равна скорости изменения импульса

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

. (3)

Для изолированной системы внешняя сила равна нулю, поэтому уравнение (3) будет иметь следующий вид:

. (4)

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных.

. (5)

Проинтегрируем соотношение (5).

, (6)

где M₀ - начальная масса полностью снаряженной топливом ракеты (масса ракеты вместе с топливом); M₀ = М_Т + М_п. (где М_п - полезная масса ракеты, масса ракеты без топлива).

M - текущая (в данный момент времени) масса ракеты с оставшейся массой топлива.

Учитывая, что dM - величина отрицательная, численное значение скорости движения ракеты определится после интегрирования (6).

. (7)

Полученное уравнение (6) называется уравнением Циолковского.

Масса топлива сгоревшего при движении ракеты может быть определена по формуле

. (8)

Из данных компьютерного эксперимента, можно построить зависимость M = m(t) (рисунок 2).

Скорость расхода (сгорания) топлива U_топ:

. (9)

Следовательно, по тангенсу угла наклона зависимости M = m(t), (участок графика до t_С, где t_С – время сгорания топлива) можно определить скорость сгорания топлива.

Рисунок 2 - Зависимость массы ракеты от времени

Если скорость движения ракеты относительно Земли достигнет значения примерно 7,9 км/с, то ракета будет двигаться по круговой орбите. Эта скорость называется первой космической. Если скорость ракеты будет равна или больше 11,2 км/с, то ракета может преодолеть гравитационное притяжение Земли и стать спутником Солнца (вторая космическая скорость). В том случае, когда скорость ракеты достигнет 16,7 км/с (третья космическая скорость), ракета, преодолевая притяжение Солнца, покинет Солнечную систему.

Путь S, который проходит ракета можно определить по формуле

. (10)

Компьютерный эксперимент

Компьютерный эксперимент позволяет изменять количество топлива, помещенного в ракету, определять максимальную скорость ракеты. Компьютерная программа предусматривает графический вывод на монитор зависимости скорости движения ракеты от времени V = f(t), а также значение максимальной скорости ракеты. Кроме этого в пошаговом режиме на экран выводится информация о массе ракеты в данный момент времени.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

1. Компьютер.

2. Программа «Открытая физика 1.1» ООО «Физикон».