Внутренняя энергия реального газа

У идеального газа внутренняя энергия Uид равна средней энер-гии поступательного, вращательного и колебательного движений его молекул. Внутренняя энергия идеального газа определяется со-отношением

U ид= i νRT . (13.4.1)  
   
     

В случае реальных газов внутренняя энергия равна сумме сред-ней энергии поступательного, вращательного и колебательного дви-жений его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. С

достаточной степенью точности можно считать, что кинетическая

энергия теплового движения молекул реального газа определяется выражением (13.4.1).

Креал = Кид = Uид = i νRT . (13.4.2)  
   
     

Учтем потенциальную энергию взаимодействия всех молекул. Вклад сил отталкивания в потенциальную энергию определяется по-правкой b, которая считается независящей от Т и V. Поэтому этот вклад во внутреннюю энергию можно не учитывать. Среднее значение энер-гии притяжения равно работе, которую нужно затратить, чтобы разнес-ти все молекулы на бесконечно большие расстояния. Внутреннее дав-ление в уравнении Ван-дер-Ваальса как раз и учитывает действие сил притяжения, поэтому потенциальная энергия взаимодействия равна

            V     a     a        
    Преал = − А = − p i dV = ν 2     dV = −ν2 .   (13.4.3)  
           
            V V   V      
Полная внутренняя энергия реального газа            
U   = К   + П   =ν ( i ν RT − ν a ) =ν CM RT − νa . 13.4.4)  
реал реал реал        
          V   V    
                        V    
                                       

Из формулы (13.4.4) видно, что внутренняя энергия реального газа зависит не только от температуры, но и от объема. Поэтому для



адиабатического процесса (δQ = 0), когда dU = −pdV,

жения (13.4.4) получим

ν C M RdT +   νa dV   = −pdV .  
       
    V V      
               
                   

с учетом выра-

(13.4.5)

Отсюда следует, что изменение температуры dT реального газа определяется не только работой сил давления газа при расширении (сжатии), но и изменением потенциальной энергии взаимодействия молекул газа. Этот тепловой эффект проявляется при расширении газа в пустоту, а также в опыте Джоуля − Томсона по дросселированию га-за через пористую перегородку.

13.5. Эффект Джоуля − Томпсона                
Этот опыт был проведен Джоулем со-         C  
вместно с Томсоном. В соединительную          
      T1 T2      
трубку между сосудами А и В помещалась            
         
пробка из пористого вещества С (рис. 13.5.1).                
               
Трубка окружалась теплоизолирующим ве- p1           p2  
ществом. В сосудах А и В давления газа под-   A B  
держивались постоянными. Газ протекал по                
трубке с перепадом давлений в месте, где рас-                
положена пробка. По обеим сторонам пробки       Рис. 13.5.1  
помещались чувствительные термометры.                

Внутренняя энергия реального газа - student2.ru метры. При этом была обнаружена незначительная разность температур, показываемых обоими термометрами. Для большинства газов темпера-тура с той стороны пробки, куда газ расширялся, была несколько ниже. Для водорода изменение температуры оказалось обратным: при расши-рении водород нагревался. Этот эффект, заключающийся в изменении

температуры газа при расширении (без теплообмена), носит название

эффекта Джоуля − Томсона. Он является следствием отступления

свойств реальных газов от свойств идеального газа. Эффект Джо-

уля − Томсона, сводящийся к охлаждению газа при его расширении, принято называть положительным, а сводящийся к нагреванию − отри-

цательным.

Рассмотрим сущность опыта Джоуля − Томсона. Пусть тепло-

изолированной трубке имеются два поршня (рис. 13.5.2), которые мо-гут перемещаться без трения. Газ, находившийся вначале слева от пе-регородки С и имевший параметры ( p1 , V1 , T1), продавливается через пористую перегородку С с помощью поршня 1 в состояние с парамет-



рами (p2 , V2 , T2) (p1 > p2). Так как сосуд теплоизолированный, то про-цесс можно считать адиабатическим. Применим к этому адиабатиче-

скому процессу первое начало термодинамики:

Q = U + A ⇒ U2− U1=−A. (13.5.1)

Суммарная работа перехода системы из состояния 1 в состояние 2 со-

а Начальное состояние   стоит из работы A1 =  
  = p1 V1 = p1(0 − V1) =  
                             
p1= const     Газ       p2= const   = −p1 V1 , связанной с  
        p1, V1, T1               изменением объема от  
                            V1до нуля при посто-  
    1       С 2    
            янном давлении р1, и  
                            работы A2 = p2 V2 =  
  б   Конечное     состояние   = p2(V2 − 0) = p2 V2 , свя-  
          занной с изменением  
                             
        p1           Газ     p2 объема от нуля до V2  
                       
                      при постоянном давле-  
                  p2, V2, T2        
                        нии р2 .        
                                   
        1 С 2     Суммарная рабо-  
        Рис. 13.5.1   та перехода равна    
              A = A1+ A2= p2 V2− p1 V1.   (13.5.2)  
  Подставим (13.5.2) в (13.5.1)            
                  U2− U1= p1 V1− p2 V2.   (13.5.3)  

Внутренняя энергия реального газа - student2.ru Какие следствия, вытекающих из условия (13.5.3)? Рассмотрим

два предельных случая.

а) Предположим, что газ находится в таком состоянии, когда

вкладом от сил притяжения можно пренебречь по сравнению со вкла-

дом от сил отталкивания (параметр а = 0, а параметр b ≠ 0). Тогда

уравнение Ван-дер-Ваальса упростится, причем внутренняя энергия

будет содержать только кинетическую энергию

p(V −νb) =νRT, U =νCM T. (13.5.4)
V  

Подстановка выражений (13.5.4) в формулу (13.5.3) приводит к следующему результату

ν CVM (T2 − T1 ) =ν ( R(T2 − T1 ) + b ( p1 − p2 )) ⇒



T − T = b ( p1− p2) T = b ( p1− p2) . (13.5.5)  
     
  C M + R     CM    
      V       p    

Поскольку р1 > р2 , то газ нагревается в процессе прохождения через пористую перегородку ( T > 0 − отрицательный эффект Джо-

уля − Томсона).

б) Рассмотрим другую ситуацию, когда а ≠ 0, а поправка b = 0. В этом случае

    ν 2a   νa ;    
  p + V V =νRT pV =ν RT −      
            V      
          U =ν CM RT νa .               (13.5.6)  
                  V                      
                        V                  
Следовательно, из соотношения (13.5.3) получим      
ν C M (T − T ) − ν 2     a   a =ν R (T − T ) − ν 2 a a    
                         
V2                   V2    
      V2 V1           V1      
T = 2aν (V1 −V2 )     T = 2aν(V1 −V2 ) .   (13.5.7)  
           
  V V (CM + R)     V V CM      
    V             1 p            
Поскольку при дросселировании V2 > V1, то T < 0 (газ охлажда-  
ется − положительный эффект Джоуля − Томсона).            
                                                               

В случае, когда нельзя пренебречь ни той, ни другой поправкой,

аналогичные преобразования приводят к следующей формуле    
T ≈ ν RT1     b 2a . (13.5.8)  
CM V − νb V  
           
  p        

При выводе формулы (13.5.8) предполагалось, что объем V2 после дросселирования намного больше, чем V1 , и поэтому по-правками во втором состоянии можно пренебречь. Выражение в

правой части (13.5.8), определяющее знак величины T,можно  
приравнять к нулю и получить уравнение    
T1= 2a V1 − νb . (13.5.9)  
bR   V1  
       

Кривая (рис. 13.5.3), построенная по уравнению (13.5.9), разде-ляет плоскость первоначальных состояний V1 , Т1 на две области



( T > 0 и T < 0),в пределах которых наблюдается при дросселирова-  
нии либо положительный, либо отрицательный эффект Джо-  
уля − Томсона. Совокупность параметров Т1 и V1 , при которых имеет  
T1       место изменение знака эф-  
T > 0 − отрицательный эффект фекта Джоуля − Томсона,  
2a образует кривую инверсии.  
       
bR         Положительный эф-  
        Кривая фект ( T < 0) используется в  
        машинах   Дьюара − Линде  
        инверсии ( T = 0) для получения низких тем-  
        T < 0−положительный ператур и сжижения газов  
        (переход   газ − жидкость).  
    эффект При этом удается получить  
b     температуры порядка 70 К  
      Рис. 13.5.3 V1 для азота, 20 К для водорода  

Внутренняя энергия реального газа - student2.ru и 1−4 К для гелия. Для по-давляющего большинства газов температура инверсии выше нормаль-ной температуры. Поэтому, расширяясь при нормальной температуре, газы охлаждаются. Исключение

составляют водород (Т < 193 К) X  
и гелий (T < 15 К), которые на- К  
греваются,   расширяясь при 1  
нормальной температуре.    
Схема машины Линде 2  
представлена на рис. 13.5.4.  
   
Газ, например воздух, сжима-    
ется в компрессоре К до дав-    
ления порядка 2 · 107 Па и ох-    
лаждается в холодильнике X 3  
проточной водой. Затем сжа-  
   
тый воздух проходит по внут-    
ренней трубке змеевика 3 и    
расширяется на ее конце В в    
конденсаторе С до давления в    
105 Па. При этом он охлажда-    
ется примерно на 20 К. Расши- C  
рившийся воздух вновь заса-  
B  
сывается в компрессор по  

A

Рис. 13.5.4

внешней трубке 2 змеевика, охлаждая вторую порцию сжатого возду-ха, текущего по трубке. Таким образом, вторая порция газа предвари-тельно охлаждается уже в змеевике на 20 К и затем при расширении в конденсаторе еще на 20 К. Описанный процесс повторяется много-кратно. Каждая последующая порция расширяющегося воздуха будет охлаждаться сильнее предыдущей на 20 К. В результате воздух охла-дится до температуры, меньшей критической. При дальнейшей работе машины часть расширяющегося воздуха будет переводиться в жид-кость и стекать на дно конденсатора. Через кран A жидкий воздух сливается в дьюаровские сосуды для хранения.

В настоящее время все известные газы удалось перевести в жид-кое. Гелий был впервые сжижен Камерлинг - Оннесом в 1908 г. Испаряя жидкий гелий при очень низком давлении, Камерлинг - Оннес достиг температуры в 0,9 К. В последние годы тем же методом достигнута тем-пература в 0,71 К и путем адиабатического размагничивания намагни-ченных тел получена температура ниже 0,1 К.

Для сжижения воздуха, кроме способа Дюара − Линде, употреб-ляется еще способ, основанный на понижении температуры в резуль-тате совершения газом работы против внешних сил. В простейшем виде этот принцип осуществляется в машинах, в которых газ, сжатый до высокого давления, поступает в цилиндр («детандер ») с поршнем. Отодвигая поршень, газ совершает против внешних сил работу за счет своей внутренней энергии, что ведет к понижению температуры газа. П. Л. Капица, например, используя этот метод, сконструировал маши-ну для получения жидкого воздуха и других сжиженных газов, в кото-рой охлаждение газа происходит за счет работы вращения турбины.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов / И. И. Наркевич, Э. И. Во-лмянский, С. И. Лобко. − Минск: Новое знание, 2004. – 680 с.

2. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов: в 2 т. / И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко. − Минск: Вышэйшая школа, 1992, 1994. − Т. 1−2.

3. Курс физики: учебное пособие для ВТУЗов: в 3 т. / А. А. Дет-

лаф [и др.]. − М.: Высшая школа, 1987, 1989. − Т. 1−3.

4. Детлаф, А. А. Курс физики: учеб. пособие для студ. вту-зов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. − М.: Издат. центр «Академия», 2007. − 720 с.

5. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. −

М.: Наука, 1987. − Т. 1−3.

6. Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. / под ред. В. Н. Лозовско-

го. − СПб.: Изд-во «Лань», 2000. −Т. 1−2.

7. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. − М.: Выс-

шая школа, 1998. − 542 с.

8. Джанколи, Д. Физика: в 2 т. / Д. Джанколи. − М.: Мир, 1989. −

Т. 1−2.

Наши рекомендации