Внутренняя энергия реального газа

У идеального газа внутренняя энергия U_ид равна средней энер-гии поступательного, вращательного и колебательного движений его молекул. Внутренняя энергия идеального газа определяется со-отношением

U ид=	i	νRT .	(13.4.1)

В случае реальных газов внутренняя энергия равна сумме сред-ней энергии поступательного, вращательного и колебательного дви-жений его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. С

достаточной степенью точности можно считать, что кинетическая

энергия теплового движения молекул реального газа определяется выражением (13.4.1).

Креал = Кид = Uид =	i	νRT .	(13.4.2)

Учтем потенциальную энергию взаимодействия всех молекул. Вклад сил отталкивания в потенциальную энергию определяется по-правкой b, которая считается независящей от Т и V. Поэтому этот вклад во внутреннюю энергию можно не учитывать. Среднее значение энер-гии притяжения равно работе, которую нужно затратить, чтобы разнес-ти все молекулы на бесконечно большие расстояния. Внутреннее дав-ление в уравнении Ван-дер-Ваальса как раз и учитывает действие сил притяжения, поэтому потенциальная энергия взаимодействия равна

∞

V

a

a

Преал = − А = − ∫ p i dV = ∫ ν 2

dV = −ν2

.

(13.4.3)

V

∞

V

V

Полная внутренняя энергия реального газа

U

= К

+ П

=ν (

i

ν RT − ν

a

) =ν CM RT −

νa

. 13.4.4)

реал

реал

реал

V

V

V

Из формулы (13.4.4) видно, что внутренняя энергия реального газа зависит не только от температуры, но и от объема. Поэтому для

адиабатического процесса (δQ = 0), когда dU = −pdV,

жения (13.4.4) получим

ν	C M RdT +		νa	dV		= −pdV .
		V	V

с учетом выра-

(13.4.5)

Отсюда следует, что изменение температуры dT реального газа определяется не только работой сил давления газа при расширении (сжатии), но и изменением потенциальной энергии взаимодействия молекул газа. Этот тепловой эффект проявляется при расширении газа в пустоту, а также в опыте Джоуля − Томсона по дросселированию га-за через пористую перегородку.

13.5. Эффект Джоуля − Томпсона
Этот опыт был проведен Джоулем со-					C
вместно с Томсоном. В соединительную
			T1	T2
трубку между сосудами А и В помещалась
пробка из пористого вещества С (рис. 13.5.1).
Трубка окружалась теплоизолирующим ве-	p1						p2
ществом. В сосудах А и В давления газа под-		A	B
держивались постоянными. Газ протекал по
трубке с перепадом давлений в месте, где рас-
положена пробка. По обеим сторонам пробки				Рис. 13.5.1
помещались чувствительные термометры.

метры. При этом была обнаружена незначительная разность температур, показываемых обоими термометрами. Для большинства газов темпера-тура с той стороны пробки, куда газ расширялся, была несколько ниже. Для водорода изменение температуры оказалось обратным: при расши-рении водород нагревался. Этот эффект, заключающийся в изменении

температуры газа при расширении (без теплообмена), носит название

эффекта Джоуля − Томсона. Он является следствием отступления

свойств реальных газов от свойств идеального газа. Эффект Джо-

уля − Томсона, сводящийся к охлаждению газа при его расширении, принято называть положительным, а сводящийся к нагреванию − отри-

цательным.

Рассмотрим сущность опыта Джоуля − Томсона. Пусть тепло-

изолированной трубке имеются два поршня (рис. 13.5.2), которые мо-гут перемещаться без трения. Газ, находившийся вначале слева от пе-регородки С и имевший параметры ( p₁ , V₁ , T₁), продавливается через пористую перегородку С с помощью поршня 1 в состояние с парамет-

рами (p₂ , V₂ , T₂) (p₁ > p₂). Так как сосуд теплоизолированный, то про-цесс можно считать адиабатическим. Применим к этому адиабатиче-

скому процессу первое начало термодинамики:

Q = U + A ⇒ U2− U1=−A.

(13.5.1)

Суммарная работа перехода системы из состояния 1 в состояние 2 со-

а

Начальное состояние

стоит из работы A1

=

= p1 V1 = p1(0 − V1) =

p1= const

Газ

p2= const

= −p1 V1 ,

связанной

с

p1, V1, T1

изменением объема

от

V1до нуля при посто-

1

С 2

янном давлении р1, и

работы

A2

= p2 V2

=

б

Конечное

состояние

= p2(V2 − 0) = p2 V2 , свя-

занной

с

изменением

p1

Газ

p2

объема

от

нуля до

V2

при постоянном давле-

p2, V2, T2

нии р2 .

1 С

2

Суммарная рабо-

Рис. 13.5.1

та перехода равна

A = A1+ A2= p2 V2− p1 V1.

(13.5.2)

Подставим (13.5.2) в (13.5.1)

U2− U1= p1 V1− p2 V2.

(13.5.3)

Какие следствия, вытекающих из условия (13.5.3)? Рассмотрим

два предельных случая.

а) Предположим, что газ находится в таком состоянии, когда

вкладом от сил притяжения можно пренебречь по сравнению со вкла-

дом от сил отталкивания (параметр а = 0, а параметр b ≠ 0). Тогда

уравнение Ван-дер-Ваальса упростится, причем внутренняя энергия

будет содержать только кинетическую энергию

p(V −νb) =νRT, U =νCM T.	(13.5.4)
V

Подстановка выражений (13.5.4) в формулу (13.5.3) приводит к следующему результату

ν C_V^M (T₂ − T₁ ) =ν ( R(T₂ − T₁ ) + b ( p₁ − p₂ )) ⇒

T	− T	=	b ( p1− p2)	⇒	T =	b ( p1− p2)	.	(13.5.5)
			C M	+ R			CM
			V				p

Поскольку р₁ > р₂ , то газ нагревается в процессе прохождения через пористую перегородку ( T > 0 − отрицательный эффект Джо-

уля − Томсона).

б) Рассмотрим другую ситуацию, когда а ≠ 0, а поправка b = 0. В этом случае

ν 2a

⇒

νa

;

p +

V

V =νRT

pV =ν RT −

V

U =ν CM RT

−

νa .

(13.5.6)

V

V

Следовательно, из соотношения (13.5.3) получим

ν C M (T − T ) − ν 2

a

−

a

=ν R (T − T ) − ν 2

a

−

a

⇒

V2

V2

V2

V1

V1

⇒

T =

2aν (V1 −V2 )

⇒

T =

2aν(V1 −V2 )

.

(13.5.7)

V V

(CM

+ R)

V V CM

V

1 p

Поскольку при дросселировании V2 > V1, то

T < 0 (газ охлажда-

ется − положительный эффект Джоуля − Томсона).

В случае, когда нельзя пренебречь ни той, ни другой поправкой,

аналогичные преобразования приводят к следующей формуле
T ≈	ν	RT1			b	−	2a	.	(13.5.8)
CM	V	− νb	V
	p

При выводе формулы (13.5.8) предполагалось, что объем V₂ после дросселирования намного больше, чем V₁ , и поэтому по-правками во втором состоянии можно пренебречь. Выражение в

правой части (13.5.8), определяющее знак величины	T,можно
приравнять к нулю и получить уравнение
T1=	2a V1	− νb	.	(13.5.9)
bR		V1

Кривая (рис. 13.5.3), построенная по уравнению (13.5.9), разде-ляет плоскость первоначальных состояний V₁ , Т₁ на две области

( T > 0 и	T < 0),в пределах которых наблюдается при дросселирова-
нии либо положительный, либо	отрицательный	эффект	Джо-
уля − Томсона. Совокупность параметров Т1 и V1 ,	при которых имеет
T1				место изменение знака эф-
T	> 0 − отрицательный эффект	фекта	Джоуля − Томсона,
2a	образует кривую инверсии.
bR					Положительный	эф-
				Кривая	фект ( T < 0) используется в
				машинах		Дьюара − Линде
				инверсии ( T = 0)	для получения низких тем-
				T < 0−положительный	ператур	и сжижения	газов
				(переход		газ − жидкость).
			эффект	При этом удается получить
b			температуры	порядка	70 К
			Рис. 13.5.3	V1 для азота, 20 К для водорода

и 1−4 К для гелия. Для по-давляющего большинства газов температура инверсии выше нормаль-ной температуры. Поэтому, расширяясь при нормальной температуре, газы охлаждаются. Исключение

составляют водород (Т < 193 К)	X
и гелий (T < 15 К), которые на-	К
греваются,		расширяясь	при	1
нормальной температуре.
Схема	машины Линде	2
представлена на рис. 13.5.4.
Газ, например воздух, сжима-
ется в компрессоре К до дав-
ления порядка 2 · 107 Па и ох-
лаждается	в	холодильнике X	3
проточной водой. Затем сжа-
тый воздух проходит по внут-
ренней трубке змеевика 3 и
расширяется на ее конце В в
конденсаторе С до давления в
105 Па. При этом он охлажда-
ется примерно на 20 К. Расши-	C
рившийся	воздух вновь заса-
B
сывается	в	компрессор	по

A

Рис. 13.5.4

внешней трубке 2 змеевика, охлаждая вторую порцию сжатого возду-ха, текущего по трубке. Таким образом, вторая порция газа предвари-тельно охлаждается уже в змеевике на 20 К и затем при расширении в конденсаторе еще на 20 К. Описанный процесс повторяется много-кратно. Каждая последующая порция расширяющегося воздуха будет охлаждаться сильнее предыдущей на 20 К. В результате воздух охла-дится до температуры, меньшей критической. При дальнейшей работе машины часть расширяющегося воздуха будет переводиться в жид-кость и стекать на дно конденсатора. Через кран A жидкий воздух сливается в дьюаровские сосуды для хранения.

В настоящее время все известные газы удалось перевести в жид-кое. Гелий был впервые сжижен Камерлинг - Оннесом в 1908 г. Испаряя жидкий гелий при очень низком давлении, Камерлинг - Оннес достиг температуры в 0,9 К. В последние годы тем же методом достигнута тем-пература в 0,71 К и путем адиабатического размагничивания намагни-ченных тел получена температура ниже 0,1 К.

Для сжижения воздуха, кроме способа Дюара − Линде, употреб-ляется еще способ, основанный на понижении температуры в резуль-тате совершения газом работы против внешних сил. В простейшем виде этот принцип осуществляется в машинах, в которых газ, сжатый до высокого давления, поступает в цилиндр («детандер ») с поршнем. Отодвигая поршень, газ совершает против внешних сил работу за счет своей внутренней энергии, что ведет к понижению температуры газа. П. Л. Капица, например, используя этот метод, сконструировал маши-ну для получения жидкого воздуха и других сжиженных газов, в кото-рой охлаждение газа происходит за счет работы вращения турбины.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

И РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов / И. И. Наркевич, Э. И. Во-лмянский, С. И. Лобко. − Минск: Новое знание, 2004. – 680 с.

2. Наркевич, И. И. Физика для ВТУЗов: в 2 т. / И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко. − Минск: Вышэйшая школа, 1992, 1994. − Т. 1−2.

3. Курс физики: учебное пособие для ВТУЗов: в 3 т. / А. А. Дет-

лаф [и др.]. − М.: Высшая школа, 1987, 1989. − Т. 1−3.

4. Детлаф, А. А. Курс физики: учеб. пособие для студ. вту-зов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. − М.: Издат. центр «Академия», 2007. − 720 с.

5. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. −

М.: Наука, 1987. − Т. 1−3.

6. Курс физики: учеб. для вузов: в 2 т. / под ред. В. Н. Лозовско-

го. − СПб.: Изд-во «Лань», 2000. −Т. 1−2.

7. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. − М.: Выс-

шая школа, 1998. − 542 с.

8. Джанколи, Д. Физика: в 2 т. / Д. Джанколи. − М.: Мир, 1989. −

Т. 1−2.