Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

С позиций молекулярно-кинетической теории, находящийся в сосуде газ является совокупностью множества хаотически движущихся молекул. В процессе движения молекулы, ударяясь о стенки сосуда, действуют на них с некоторой силой. Отнесенная к единице площади, эта сила определяет давление газа. Итак, давление газа объясняется тепловым движением молекул и проявляется вследствие их ударов о стенки сосуда.

Рассмотрим сосуд объемом V, в котором находится N молекул, и определим давление, которое они оказывают на одну из стенок при направленном движении вдоль оси х. При каждом упругом столкновении i- ямолекула массой m₀ передаст стенке импульс Δр_i=2m₀V_xi (рис.2.1).

Рис.2.1

Молекула проходит расстояние L, двигаясь свободно вдоль оси х, за время L/V_x. Следовательно, за время dt молекула столкнется со стенкой V_xdt/2L раз и передаст ей импульс, а все N молекул

По второму закону Ньютона dp/dt = F. В нашем случае сила, с которой молекулы действуют на стенку, равна

Введем обозначение

,

называемоесредней квадратичной скоростью молекул в заданном направлении. Тогда

,

или, разделив на площадь стенки S, найдем давление N молекул на стенку

Произведение LS=V есть объем сосуда. Тогда

(2.2)

Так как в сосуде молекулы одинаково движутся по всем осям координат, то

.

Поэтому

откуда:

Подставив величину в уравнение (2.2), найдем:

(2.3)

где

(2.4)

выражает среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Сравнивая уравнение (2.3) с уравнением Менделеева - Клапейрона (2.1), получим

(2.5)

Предположим, что в сосуде находится 1 моль идеального газа. Тогда , число молекул N равно числу Авогадро N_А и уравнение (2.5) для 1 моля газа примет вид

,

откуда

, (2.6)

т.е. абсолютная температура Т газа пропорциональна средней кинетической энергии поступательного движения его молекул. Обозначив R/N_A = k, которая является постоянной Больцмана k = 1,38 · 10^-23 Дж/К, получим

(2.7)

Подставляя формулу (2.7) в (2.3) найдем

PV = NkT

или

P = n₀ kT, (2.8)

где - число молекул в единице объема или их концентрация.