Идеальная тепловая машина Карно и ее КПД
мается количество теплоты Q2 и отдается во внешнюю среду с темпе-ратурой (Т1 > Т2) количество теплоты, равное Q1 . Для оценки эффек-тивности работы холодильной установки используют отношение ко-личества теплоты, отнятого за цикл от холодильной камеры, к работе А внешних сил.Эта величина называется показателем цикла k,или
холодильным коэффициентом:
| k = | Q2 | = | Q2 | . | (12.8.3) | |||||||||||
| A | Q | −Q | ||||||||||||||
| 12.9. | ||||||||||||||||
| p | При | изучении | работы различ- | |||||||||||||
| 1 | T1= const | ных тепловых машин большую роль | ||||||||||||||
| Q1 | сыграл цикл, предложенный Карно и | |||||||||||||||
| 2 | детально рассмотренный им в 1824 г. | |||||||||||||||
| в связи с определением КПД тепло- | ||||||||||||||||
| 4 | вых машин. Циклом Карно называют | |||||||||||||||
| обратимый круговой процесс, со- | ||||||||||||||||
| T2= const | Q2 | 3 | ||||||||||||||
| стоящий из двух изотермических и | ||||||||||||||||
| V1 V4 | V2 | V3 V | двух | адиабатических равновесных | ||||||||||||
| Рис. 12.9.1 | процессов. | |||||||||||||||
| На рис. 12.9.1 | изображен пря- | |||||||||||||||
мой цикл Карно, состоящий из четырех последовательных процессов: 1−2 −изотермическое расширение при температуре Т1; 2−3 −адиаба-тическое расширение (Q23 = 0); 3−4 − изотермическое сжатие при тем-пературе T2; 4−1 − адиабатическое сжатие (Q41 = 0).
Рассчитаем работу А, совершаемую идеальным газом в прямом равновесном цикле Карно. При изотермическом расширении на уча-стке 1 −2 внутренняя энергия U(T) = const, поэтому количество тепло-ты Q1 полученное газом от нагревателя, равно работе расширения, со-
| вершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2: | ||||||
| Q = Q | = A | =νRT ln V2 . | (12.9.1) | |||
| V1 | ||||||
При адиабатическом расширении 2−3 теплообмен с окружаю-щей средой отсутствует, и работа расширения А23 совершается за счет изменения внутренней энергии газа:
| A23 | = − U23 | = νCM (Tl − T2). | (12.9.2) |
| V |
При изотермическом сжатии на участке 3−4 теплота, отданная газом холодильнику, отрицательна и равна
| Q = Q | = A | =νRT ln V4 . | (12.9.3) | ||||||||||||||||
| V3 | |||||||||||||||||||
| При адиабатическом сжатии на участке 4−1 работа A4l равна | |||||||||||||||||||
| A41=− U41=νCM (T2– T1) =−νCM | (Tl − T2)= −A23 . | (12.9.4) | |||||||||||||||||
| V | V | ||||||||||||||||||
| Суммарная работа равна | |||||||||||||||||||
| А = А12+ А23+ А34+ А41= Q1+ Q2= Q1−|Q2|. | (12.9.5) | ||||||||||||||||||
| Термический КПД цикла Карно | |||||||||||||||||||
| η= | A | = | Q1− | Q2 | = | T1ln(V2 | V1)−T2ln(V3 V4) | . | (12.9.6) | ||||||||||
| Q | Q | T ln(V | V ) | ||||||||||||||||
| Применим уравнение адиабаты TV γ−1 = const на участках 2−3 и | |||||||||||||||||||
| 4−1 цикла Карно | |||||||||||||||||||
| TV γ−1 | =T V | γ−1 | и TV γ−1 | =T V γ−1 . | (12.9.7) | ||||||||||||||
| Разделим одно выражение на второе и получим | |||||||||||||||||||
| V2 | = V3 . | (12.9.8) | |||||||||||||||||
| V | V | ||||||||||||||||||
| С учетом соотношения (12.9.8) выражение (12.9.6) для КПД | |||||||||||||||||||
| цикла можно упростить: | |||||||||||||||||||
| η= T1−T2 . | (12.9.9) | ||||||||||||||||||
| T | |||||||||||||||||||
Таким образом, для цикла Карно КПД определяется только тем-пературами нагревателя и холодильника.
Сравнение КПД различных обратимых и необратимых цик-лов с КПД обратимого цикла Карно (идеальной тепловой машины) позволило сделать следующий вывод: КПД любого реального об-
ратимого или необратимого прямого кругового процесса (тепло-вой машины) не может превышать КПД идеальной тепловой ма-шины с теми же температурами Т1 нагревателя и Т2 холодильни-
ка.Принимая во внимание формулы(12.8.2)и(12.9.9),можно за-писать:
| Q1− | Q2 | T | −T | |||||||||
| η= | ≤ | . | (12.9.10) | |||||||||
| Q | ||||||||||||
| T | ||||||||||||
Более общий анализ показывает,что формула(12.9.9)справед-лива, если цикл Карно совершает любое рабочее тело, а не только идеальный газ. В этом случае формула (12.9.9) выражает теорему Карно:КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и оттехнических способов осуществления цикла. Единственные парамет-ры, определяющие КПД этого цикла, − это температуры нагревателя и холодильника. Другая формулировка теоремы Карно: коэффициент полезного действия всех обратимых машин, работающих в идентич-ных условиях (т. е. при одной и той же температуре нагревателя и хо-лодильника), одинаков и определяется только температурами нагрева-теля и холодильника.
Обратный цикл Карно служит основой работы идеальной холо-дильной установки. Для холодильного коэффициента k выполняется выражение
| k = | Q2 | ≤ | T2 | . | (12.9.11) | |||||
| Q | −Q | T | −T | |||||||
Из этого выражения видно, что чем меньше разность между температурами окружающей среды Т 1 и холодильной камеры Т 2 , тем больше холодильный коэффициент к и тем эффективнее работа холо-дильной установки. Заметим также, что k = Т2 /( Т1 − Т2) может быть больше единицы и это не противоречит тому, что КПД теплового дви-гателя всегда меньше 1.
Лекция № 20
12.10. Понятие об энтропии. Энтропия идеального газа. Ста-тистическое истолкование второго начала термодинамики.
12.11. Третье начало термодинамики.