Мера квантовой запутанности

Когда речь заходит о количественном описании квантовой запутанности, на первый план выходит понятие матрицы плотности. Первой была введена мера квантовой запутанности для самого простого случая — двухчастичной системы в чистом состоянии [типа (3.1)], то есть мера запутанности между двухуровневыми подсистемами А и B, когда вся система замкнута (находится в чистом состоянии). Основывается эта мера на понятии частичной матрицы плотности и выражается в терминах энтропии фон Неймана:

E(ρ_A) = – Tr[ρ_A log₂(ρ_A)]. (3.6)

Здесь ρ_A — частичная (редуцированная) матрица плотности подсистемы А. Получается она взятием частичного следа* по B. С физической точки зрения, взятие частичного следа и получение редуцированной матрицы плотности — это усреднение по всем внешним степеням свободы выделенной подсистемы (по ее внешнему окружению). В некотором отношении это проведение границы между подсистемой и ее окружением, когда подсистема может рассматриваться независимо от него. Мы как бы «вырезаем» нашу подсистему из более сложной структуры и рассматриваем ее в качестве самостоятельного объекта. В результате этой операции пространство допустимых состояний подсистемы уменьшается, частичная матрица плотности имеет меньшую размерность, чем исходная система, например, из матрицы 4 × 4 получается матрица 2 × 2, как было показано выше, когда из матрицы (3.3) получалась (3.5).

* Более подробно, с примерами, см. мою статью: Доронин С.И. Мера квантовой запутанности чистых состояний // Квант. Маг. 1, 1123 (2004), http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL112004/abs1123.html.

Эта мера запутанности была предложена Чарльзом Беннеттом (Charles H. Bennett) с соавторами* в 1996 году.

* Bennett C. H., Bernstein H. J., Popescu S. and Schumacher B. Phys. Rev. A 53, 2046 (1996).

Затем Вуттерс* ввел более общую количественную характеристику запутанности двусоставной системы — не только для чистого, но и для смешанного состояния. Называется она concurrence (согласованность, гармония)**. Она была введена достаточно сложно, с использованием «спин-флип» преобразования.

* Hill S. and Wootters W. K. Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997).

** Эту меру запутанности я, например, использовал в работе: Doronin S. I. Phys. Rev. A 68, 052306 (2003), где анализировалась динамика квантовой запутанности в системе взаимодействующих ядерных спинов.

Впоследствии было найдено* более удобное и общее выражение для вычисления согласованности уже в многосоставных системах:

C = {2[1–Tr(ρ_A²)]}^1/2.

* Rungta P, Buzek V, Caves C. M, Hillery M. and Milburn G. J. Phys. Rev. A 64, 042315 (2001).

Оно справедливо для произвольных замкнутых систем и характеризует меру квантовой запутанности подсистемы А (любой размерности) со всем ее окружением (также любой размерности).

Согласованность в качестве меры квантовой запутанности использовалась в широко известном эксперименте по макроскопической запутанности*.

* Ghosh S. et al. Nature, 425, 48 (2003). См. обзор этой экспериментальной статьи (на русском языке): http://perst.issp.ras.ru/Control/Inform/perst/2003/3_19/perst.htm#D19.

В целом, наличие квантовой запутанности в макроскопических системах трудно подвергнуть сомнению, поскольку есть «железное» утверждение (принцип несепарабельности) — если системы взаимодействуют друг с другом, то они квантово запутаны между собой (связаны нелокальными квантовыми корреляциями). Наличие любого взаимодействия — достаточное условие для квантовой запутанности (несепарабельности) взаимодействующих объектов. Но одно дело — это понимать и декларировать, а другое — уметь количественно описывать эту запутанность и сопоставлять адекватность теоретического описания с результатами физических экспериментов.

Были предложены и другие меры квантовой запутанности, постоянно ведется поиск наиболее удобных в практическом применении. Из них наиболее известны следующие.

1. Перес-Городецки, или PPT (positive partial transpose) критерий сепарабельности:

Peres. Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996); Horodecki M., Horodecki P. and Horodecki R. Phys. Lett A 223, 1 (1996).

2. Основанная на PPT-критерии мера запутанности — отрицательность (negativity):

Życzkowski K., Horodecki P., Sanpera A. and Lewenstein M. Phys. Rev. A 58, 883 (1998); Vidal G. and Werner R. F. Phys. Rev. A 65, 032314 (2002).

3. Относительная энтропия запутанности (relative entropy of entanglement):

Vedral V., Plenio M. B., Jacobs K. and Knight P. L. Phys. Rev. A 56, 4452 (1997).

4. CCN (computable cross-norm) критерий:

Rudolph O. Phys. Rev. A, 67, 032312 (2003).

5. Мера, основанная на ранге Шмидта:

Eisert J. and Briegel H. J. Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).

6. Мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта), эту меру можно рассматривать как информационное расстояние между двумя состояниями:

Lee J., Kim M. S., Bruker Časlav. Phys. Rev. Lett. 91, 087902 (2003) и некоторые другие.

В наиболее явном виде связь между квантовой запутанностью и квантовой информацией устанавливает мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта). Приведу небольшую цитату из указанной выше работы: «Математические формулировки всех фундаментальных физических теорий основаны на концепции абстрактного пространства. Структура пространства и теорий определена его метрикой. Например, метрика Минковского определяет математическую структуру специальной теории относительности, и метрика Римана определяет структуру общей теории относительности. В квантовой механике расстояние Гильберта-Шмидта (Hilbert-Schmidt distance) является естественной метрикой гильбертова пространства».

В настоящее время расстояние Гильберта-Шмидта довольно часто рассматривается в качестве меры, показывающей, насколько близки друг к другу два данных состояния. Эта близость, прежде всего, информационная, например, в указанной выше работе авторы вводят операторную меру, которая «...эквивалентна расстоянию Гильберта-Шмидта <...> и может интерпретироваться как информационное расстояние между двумя квантовыми состояниями. Кроме того, тот факт, что операторная мера является эквивалентной расстоянию Гильберта-Шмидта, говорит о том, что внутренняя структура Гильбертова пространства отражает теоретико-информационные основы квантовой теории».

Таким образом, расстояние Гильберта-Шмидта определяет структуру пространства состояний (гильбертова пространства) в квантовой теории, и эта структура имеет чисто информационную природу.

Здесь мы подошли к очередному важному вопросу — что же такое информация в квантовой теории? О ней мы часто упоминали, но до сих пор это были лишь общие слова. Теперь поговорим об этом более подробно.

Физика информации

«Информация физична» — эти слова сейчас часто можно услышать из уст физиков, и они стали своеобразным девизом исследователей, работающих в физике квантовой информации. И это не тривиальное утверждение — «носителем информации являются физические системы». Эти слова нужно понимать в прямом смысле — информация сама по себе является объективной физической величиной в ряду других — таких как масса, энергия, импульс и т. д. Подчеркну: именно объективной величиной, которая не зависит от того, что мы думаем об этой информации, измеряем ее или нет, и как измеряем, — система все равно будет содержать определенное количество информации, так же как, например, объект материального мира обладает некоторой массой.

В квантовой теории информация — это количественная величина, характеризующая систему. Это не те сведения, которые мы можем получить о системе, измеряя какие-то другие характеристики объекта, скажем, его массу, скорость и т. д. В квантовой теории речь идет не о любой характеристике, а о конкретной, имеющей строгое и однозначное определение. В этом случае об информации говорят как об обычной физической величине, которая может принимать различные значения при изменении состояния системы. Подобно тому, как масса тела увеличивается (уменьшается) при наличии массообмена со средой, так и количество информации изменяется, если система взаимодействует с окружением — и все это объективные процессы, которые не зависят от нашего субъективного мнения. Именно в этом отношении «информация физична». Информационные процессы — это часть физики, точно так же, как и другие процессы, приводящие к изменению той или иной физической величины. Причем, как мы увидим ниже, информационным процессам отводится особая роль в силу специфических особенностей понятия «информация» в квантовой физике. Мера информации (ее количественная характеристика) вводится на основе фундаментальных принципов квантовой теории в терминах матрицы плотности. Суть квантовой информации и одновременно ее исключительная особенность — в том, что эта физическая величина как нельзя лучше подходит на роль «первичной субстанции всего сущего». О самом определении мы поговорим чуть позже, а сейчас — еще несколько слов о векторе развития науки, точнее, об общих тенденциях и трансформации взглядов ученых на окружающую реальность, а также на ту роль, которую играют в ней те или иные физические процессы. Вот как пишет об этом Б. Киви в статье «Инфо-космо-логия»*:

«Все больше теоретиков считают, что ключевой идеей, ведущей к „великому объединению“ гравитации и квантовой теории, может стать переформулирование взглядов на природу не в терминах материи и энергии, а в терминах информации».

Одним из первых об этом заговорил патриарх американский физики, великий Джон Арчибальд Уилер (подаривший миру, среди прочего, любопытный термин «черная дыра»). Вот как он пишет в своей автобиографии о роли информации [John Archibald Wheeler, Geons, Black Holes & Quantum Foam: A Life in Physics. New York, W. W. Norton & Company, 1998. Р. 63–64], опубликованной несколько лет назад:

«Моя жизнь в физике представляется мне разделенной на три периода. В первый из них, растянувшийся с начала моей карьеры и до начала 1950-х годов, я был захвачен идеей, что „всё — это частицы“. Я искал способы выстроить все базовые элементы материи (нейтроны, протоны, мезоны и т. д.) из самых легких, наиболее фундаментальных частиц — электронов и фотонов.

Второй период я называю „всё — это поля“. С тех пор, как я влюбился в общую теорию относительности и гравитацию в 1952 году, и вплоть до недавнего времени, я придерживался взгляда на мир, как на состоящий из полей. Мир, в котором то, что представляется нам частицами — это в действительности проявления электрических и магнитных полей, гравитационных полей и самого пространства-времени.

Теперь же я захвачен новой идеей: „Всё — это информация“. Чем больше я размышляю о квантовых тайнах и о нашей странной способности постигать тот мир, в котором мы живем, тем больше вижу, вероятно, фундаментальное значение логики и информации как основы физической теории».

* Источник «Компьютера» http://offline.computerra.ru/2004/544/33769/index.html.

Неплохо сказал об этом П. Дэвис в своей статье*: «Обычно мы думаем о мире, как о составленном из простых, подобных сгусткам, материальных частицах, и под информацией понимаем производную характеристику объекта восприятия, относящуюся к особого рода организованным состояниям вещества. Но возможно, что все наоборот: похоже, что Вселенная на самом деле — шалость первичной информации, а материальные объекты являются ее сложным вторичным проявлением».

* Davies P. Bit before it? (1999), New Scientist, 161 (2171), p. 3.

Материальный мир как «шалость первичной информации» — хорошо сказано! Действительно, в квантовой теории весь классический домен составляет лишь незначительную часть совокупной Квантовой Реальности, далеко не самую главную и значимую. Материальный мир вовсе не является основой реальности, и его вполне можно считать результатом «шалости» информационных процессов, происходящих на фундаментальном уровне в нелокальном источнике реальности.

Свою статью П. Дэвис заканчивает словами: «Если информация действительно должна заменить материю как самая первейшая субстанция Космоса, то нас может ожидать еще большая награда. <...> С современной точки зрения, мозги (материя) рождают мысли (ментальную информацию). <...> Но если материя является формой организованной информации, то тогда и сознание уже не так таинственно, как нам казалось»*.

* Цит. по книге: Лем С. Мегабитовая бомба // Компьютера. 2001. № 18 (395). http://old.computerra.ru/online/firstpage/bl/9423/.

Замечу, что в настоящее время уже есть понимание физических процессов (декогеренции), в результате которых появляется материя как «форма организованной информации».

Я хочу подчеркнуть, что в этой книге под информацией понимается именно «первичная информация». А точнее, квантовая информация как физическая величина, характеризующая систему на ее фундаментальном уровне. Неважно, о какой системе идет речь — о микрочастице или об Универсуме, — квантовая информация и в том, и в другом случае вводится одинаково, согласно общему определению для произвольной системы.

Когда речь идет о квантовой теории, о количественном описании в терминах состояний, то информация — это одна из количественных характеристик системы. Можно попытаться провести аналогию со знакомыми нам мерами классической информации, которыми мы пользуемся, когда работаем на обычном компьютере. Тогда мы говорим о битах, байтах, а сейчас все больше о мегабайтах и гигабайтах информации, содержащейся в том или ином файле или на диске. Работа компьютера основана, прежде всего, на количественной теории информации, на битах, на определенном количестве ячеек памяти. Нашему компьютеру все равно, какая информация содержится в том или ином файле, когда он создается, копируется или удаляется. Для компьютера важно лишь общее количество битов, которыми мы манипулируем, и состояние каждого бита, когда файл сохраняется на диске. Способы обработки файлов и ячеек памяти, своеобразные «фундаментальные законы», согласно которым наш компьютер манипулирует информацией, не зависят от того, какие именно данные там содержатся. Например, любой файл копируется по одному и тому же «закону», независимо от того, какая в нем есть информация.

Так же и в квантовой теории — только здесь на первый план выходят не биты, а кубиты (квантовые биты). Причем не только тогда, когда мы говорим о квантовом компьютере, но и в более широком смысле, когда речь идет о любой системе, описываемой в терминах состояний. Такое обобщение возможно потому, что кубит — это вектор состояния произвольной двухуровневой системы, и любую более сложную систему можно рассматривать как совокупность кубитов. Обычно в квантовой теории, описывая какую-либо систему в терминах состояний, мы рассматриваем ее, как состоящую из элементарных «кирпичиков», кубитов — элементарных двухуровневых состояний.

Таким образом, любые системы в окружающей реальности можно рассматривать в терминах кубитов, как совокупность ячеек памяти квантового компьютера. Тогда и весь Универсум представляется в виде глобального и единого для всей реальности Квантового Компьютера с большой буквы, своеобразной всеобъемлющей Матрицей (он описывается матрицей плотности). Поэтому Р. Фейнман и говорил об исключительно важной роли квантовых компьютеров в постижении законов природы (о чем упоминалось в самом начале книги). Понимание фундаментальных принципов работы квантового компьютера, в отличие от обычного, уже не ограничивается одним только «железом», конкретными техническими устройствами. Это и будет означать более глубокое понимание фундаментальных законов окружающей реальности, согласно которым «функционирует» весь наш Универсум. Процессы декогеренции/рекогеренции, то есть перехода нелокального (чисто информационного) состояния в локальное и обратно, манипулирование квантовой запутанностью кубитов и т. д. — все это физические процессы, которые происходят в окружающей нас реальности, причем на самом фундаментальном ее уровне.

Если продолжить сравнение с обычным компьютером, то наше представление о привычном материальном мире — все равно что знакомство с одной программой, запущенной на Компьютере, и некоторая способность ориентироваться в ее пределах. При этом мы могли видеть лишь один результат его работы — в виде классической реальности, и изучали законы, которые справедливы в рамках лишь одной этой программы. Но теперь мы начинаем понимать Законы, по которым работают любые программы, принцип действия самого Компьютера и его операционной системы. Это законы, по которым Матрица транслирует нам то или иное восприятие. Мы выходим за рамки привычной локальной программы и замечаем множество других программ (уровней реальности), которые загружены в оперативную память вместе с нашей. Мы начинаем понимать взаимосвязь всех этих различных программ-уровней и можем более надежно прогнозировать результат перехода с одного на другой — например, то, в какую реальность попадем после смерти физического тела.

Имея дело с классической информацией, мы разделяем саму информацию и физический носитель. В результате чего можем лишь приспособить какой-либо материальный объект для хранения (передачи) определенного количества «классической» информации. Получается, что без материального носителя информация не может существовать. Поэтому и возникают иногда вопросы, где содержится квантовая информация, и что является ее носителем? В квантовой теории с этим как раз все просто и ясно: поскольку информация здесь — это физическая величина, характеризующая систему, то сама система и является носителем квантовой информации. Это все равно что спросить: а где содержится масса физического тела? Да в нем самом эта масса и содержится, поскольку является одной из количественных характеристик данного тела.

Не стоит забывать, что квантовое описание на сегодняшний день — это самое полное теоретическое описание из всех известных. И в случае чистого состояния, когда мы описываем замкнутую систему, то на вопрос, где содержится информация об этой системе, следует очевидный ответ: информация содержится в самой системе, это одна из ее количественных характеристик.

Информации в квантовой теории отводится особая роль. Как мы знаем, системы при квантовом подходе могут находиться в нелокальном состоянии, когда сам объект является попросту нематериальным, в нем нет вещества, нет никаких физических полей, его невозможно описать с помощью количественных величин, используемых классической физикой. А вот в терминах количества информации, содержащейся в такой нелокальной системе, описать можно!

Мера информации в квантовой теории определяется на основе понятия матрицы плотности. Узнать во всех подробностях, как это делается, можно из статьи Фано*, опубликованной в журнале Reviews of Modern Physics в 1957 году.

* Fano U. Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix and Operator Techniques, Rev. Mod. Phys. 29, 74, 1957.

Эта статья довольно известна. Например, А. Мессиа в своем двухтомнике по квантовой механике, когда пишет о матрице плотности*, указывает в качестве основного источника именно эту статью Фано, правда, речь у него идет не об информации, а лишь о матрицах плотности.

* Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. М.: Наука, 1978. С. 321.

Не уверен, что мера информации была введена именно в этой работе Фано, но ссылок на более ранние статьи я там не увидел. Раздел 8 данной статьи так и называется — «Мера информации», и изначально эта мера вводится очень просто: количество информации I в системе численно равна следу квадрата матрицы плотности, то есть

I = Tr(ρ²). (3.7)

Это определение легко объясняется с физической точки зрения. Согласно обычным правилам квантовой механики, любой физической величине, которую мы хотим использовать в качестве количественной характеристики системы, ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор Q. И численное значение этой физической величины получается из выражения:

<Q> = Tr(ρ Q). (3.8)

Сравнивая с предыдущим выражением, мы видим, что меру информации можно рассматривать как количественную характеристику системы, когда физической величиной является сама система, точнее, матрица плотности, выступающая в данном случае в качестве оператора физической величины, то есть

I = <ρ> = Tr(ρ ρ).

Из этого следует, что квантовая информация является самой фундаментальной количественной характеристикой системы, поскольку для ее определения нет необходимости вводить дополнительные соображения о том, какие еще физические величины (операторы) характерны для данной системы. Квантовая информация как мера существует всегда, если есть система, независимо от того, в каком состоянии она находится. Информация сама по себе является физической сущностью и существует даже тогда, когда система находится в нелокальном состоянии, поэтому ее можно считать «первичной субстанцией», из которой в процессе декогеренции могут «проявляться» локальные объекты. «Информация физична» в прямом смысле — она является источником всех других физических процессов и материальных проявлений, которые могут иметь место в системе.

Отсюда и более высокий статус квантовой информации относительно других физических величин, которые мы могли бы дополнительно привлечь для описания системы. А поэтому выше и значимость закона сохранения квантовой информации по сравнению с другими законами сохранения (массы, энергии, импульса и т. д.), о чем уже говорилось в первой главе (заключительная часть раздела 1.2).

Мы рассмотрели, каким образом вводится мера информации, исходя из основополагающих принципов квантовой теории. При таком определении для любого чистого состояния (замкнутой системы) мера информации равна 1 (следствие нормировки амплитуд вектора состояния). Это максимальное значение — то есть для любой изолированной системы информация максимальна и равна единице. Для смешанных состояний (открытых систем) информация меньше единицы, и минимальное ее значение достигается для максимально смешанных состояний и равно 1/d, где d = 2^N — размерность гильбертова пространства (N — число двухуровневых подсистем). Таким образом, количество информации, содержащейся в системе, изменяется от 1/2^N для максимально смешанных состояний до 1 для чистых состояний (изолированных систем). С физической точки зрения это легко объяснить. В замкнутой системе вся информация содержится в ней самой, и нормированная ее величина равна 1. Для смешанных состояний, то есть для систем, взаимодействующих со своим окружением, часть информации о системе теряется в ее окружении. И минимум информации, который может остаться в самой системе (случай максимально смешанного состояния), определяется числом локализованных структур в системе в процессе декогеренции (напомню, что взаимодействие с окружением сопровождается декогеренцией, то есть локализацией системы и ее составных частей из изначально нелокального информационного состояния).

Однако определение (3.7) не совсем удобно в практическом плане. Для нас привычнее иметь дело с аддитивными величинами, когда информация составной системы равняется сумме частичных информаций. А согласно определению (3.7), информация не суммируется, а перемножается. Так, для двусоставной системы (в случае некоррелированного, то есть сепарабельного состояния):

I_AB = Tr(ρ_АВ)² = Tr(ρ_А)² Tr(ρ_В)² = I_A I_B.

Поэтому удобнее оказалось перейти к логарифму от этой величины. Поскольку логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, получалась аддитивность. При этом ln[Tr(ρ²)] изменяется в пределах от –lnd до 0.

Из статистической механики известно, что на больших временах энтропия системы соответствует среднему значению –k lnρ, где k — постоянная Больцмана, так что согласно (3.8) имеем:

<–k lnρ > = –k Tr(ρ lnρ)

Отсюда связь между количеством информации в системе и энтропией Tr(ρ lnρ) = <lnρ>, которая называется энтропией фон Неймана и чаще всего используется сейчас в качестве меры квантовой информации. Она и была введена в качестве первой меры квантовой запутанности, которая определяется выражением (3.6). Различие между натуральным логарифмом и логарифмом по основанию 2 в данном случае не принципиально.

Заметим, что Tr(ρ lnρ) и ln[Tr(ρ²)] изменяются в одних и тех же пределах и никогда сильно не отличаются друг от друга. Однако при использовании этой меры, чтобы получить положительное число, приходится в выражениях ставить знак минус, как в (3.6). При этом иногда забывается, что при переходе к логарифму с информацией произошел своеобразный «перевертыш»: там, где был минимум информации, — теперь стал максимум, а максимум информации (единица для чистого состояния) обратился в нуль. Хотя и эту ситуацию можно трактовать так, что, с точки зрения внешнего наблюдателя, о чистом состоянии он ничего не может сказать, поскольку это замкнутая система, которую наблюдатель еще не «потревожил» своим измерением.

Квантовая теория информации таким образом непосредственно связывает информацию с энергией через энтропию фон Неймана, которую можно считать основной физической характеристикой энергоинформационного процесса. Изменение информации сопровождается изменением энергии, а обмен информацией напрямую связан с обменом энергией (справедливо и обратное) — это еще один важный вывод, который сделан в физике квантовой информации.

Есть и отдельные строгие результаты, связывающие информацию, энергию и энтропию. В частности, теорема Марголюса-Левитина* утверждает, что число элементарных логических операций, которые физическая система может выполнить в единицу времени, ограничено энергией системы, а количество информации, которую система может зарегистрировать (воспринять), ограничено ее собственной максимальной энтропией**.

* Margolus N. and Levitin L. B., in PhysComp96, Proceedings of the Fourth Workshop on Physics and Computation, edited by Toffoli T., Biafore M., and Leão J. (New England Complex Systems Institute, Boston, 1996); Physica (Amsterdam) 120D, 188–195 (1998).

** Lloyd S. Nature (London) 406, 1047–1054 (2000); Landauer R. Nature (London) 335, 779–784 (1988).

Прямая связь между энергией и выполняемыми логическими операциями (информационными процессами) позволяет перекинуть мостик к физическим процессам, сопровождающим работу сознания, поскольку она непосредственно связана с логическими операциями.

Информация в терминах энтропии фон Неймана позволяет описывать запутанные состояния. Одна из основных особенностей этого понятия состоит в том, что об объекте, находящемся в чистом запутанном состоянии (ρ = ρ²), невозможно получить никакой информации, поскольку в этом случае из (3.6) следует E(ρ) = 0. Энтропия фон Неймана и квантовая запутанность может быть отлична от нуля только для подсистем, которые взаимодействуют со своим окружением, и поэтому находятся в несепарабельном состоянии.

Довольно часто для простоты количество квантовой информации определяется просто как число кубитов в системе.

Исходная величина Tr(ρ²) сейчас тоже широко используется в физике квантовой информации, но уже не в качестве меры информации, а как характеристика степени чистоты состояния (purity), которая показывает, насколько близко данное состояние к чистому, для последнего Tr(ρ²) = 1.

Кубит и сфера Блоха

Кубиту в нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое кубит, и более подробно его описывает.

Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.

Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить* |0ñ и |1ñ, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:

|Ψñ = a|0ñ + b|1ñ, (3.9)

где а и b — комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию нормировки |а|² + |b|² = 1.

* См. раздел «Вектор состояния» в предыдущей главе. Напомню, состояние |0ñ = |↑ñ = (1, 0)^Т — это вектор-столбец (спин «вверх»); состояние |1ñ = |↓ñ = (0, 1)^Т — тоже вектор-столбец, но спин «вниз».

Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто: кубит — это вектор состояния двухуровневой системы.

Таким образом, кубит — это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому кубит — первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности.

Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации кубит определяется как единица квантовой информации.

Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.

В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 × 2 и для чистого состояния (3.9) она имеет вид:

. (3.10)

Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда кубит взаимодействует со своим внешним окружением:

, (3.11)

где Е — единичная матрица, = (P_x, P_y, P_z) — вектор Блоха (вектор поляризации), а = (σ_x, σ_y, σ_z) — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули:

. (3.12)

Компоненты вектора Блоха определяются как средние значения матриц Паули по обычному правилу (3.8) P_j ≡ <σ_j> = Tr(ρ σ_j); j = x, y, z.

Три проекции вектора поляризации P_x, P_y, P_z, согласно (3.11), полностью определяют матрицу плотности кубита. В случае чистого состояния длина вектора поляризации равна 1, то есть , и этот вектор описывает сферу единичного радиуса, которая называется сферой Блоха (рис. 1). В этом случае компоненты вектора Блоха равны:

P_x = sinθcosφ,

P_y = sinθsinφ,

P_z = cosθ,

и два вещественных параметра (углы θ и φ) однозначно задают вектор состояния (матрицу плотности) кубита.

В случае смешанного состояния длина вектора поляризации становится меньше единицы, то есть , и он будет расположен внутри сферы.

Итак, матрица плотности кубита может быть представлена точкой в нашем привычном трехмерном пространстве. То есть существует взаимно однозначное соответствие между матрицей плотности и точкой шара единичного радиуса. Для чистого состояния (замкнутой системы) — это точка сферы.

Рис. 1. Сфера Блоха

Чистые состояния, описываемые одним вектором состояния, соответствуют точкам поверхности сферы Блоха, а смешанные состояния, описываемые матрицей плотности, — точкам внутри шара. При взаимодействии с окружением (при декогеренции), в случае смешанного состояния, вектор состояния как бы погружается внутрь сферы Блоха и будет описывать уже не окружность, а, например эллипс, что-то похожее на форму яйца. А в самом предельном случае, когда состояние кубита становится максимально смешанным, весь шар, все пространство допустимых состояний, сжимается до отрезка на оси квантования между значениями 1/2 и –1/2. Этот отрезок — тот минимум, который может остаться от кубита, скажем, в самом худшем (или лучшем?) случае.

Такая ситуация, например, имеет место при максимально запутанном состоянии с другим кубитом. Тогда, как уже говорилось выше [см. выражение (3.5)], матрица плотности одного кубита является максимально смешанной.

В этом проявляется двойственный характер декогеренции: с одной стороны, она приводит к локализации системы, нарушению когерентного состояния, но с другой — взаимодействие с окружением ведет к квантовой запутанности с этим окружением. Можно еще сказать и так: предельно возможная декогеренция окружением совпадает с максимальной запутанностью с этим окружением. И реализуется эта ситуация при наличии максимально возможного взаимодействия между кубитами (как в нашем случае), когда они составляют единое целое (максимально запутанное состояние).

Можно задать вопрос: а какое количество информации содержит один кубит? Если с каждой точкой на сфере Блоха, с каждым положением вектора состояния сопоставить определенную информацию, то, как это ни парадоксально звучит, кубит содержит бесконечный объем информации, и эта информация аналоговая, непрерывная. Кубит, двигаясь по поверхности сферы Блоха, непрерывно изменяет свое состояние, изменяя при этом информацию. Но информация, содержащаяся в кубите, — квантовая.«Считать» с кубита можно только один бит классической информации — либо 0, либо 1.

Одно из хорошо известных достоинств квантовой теории заключается в том, что она может одновременно, в едином ключе, описывать как дискретные, так и непрерывные характеристики системы. Так же и в случае кубита. Имея два основных состояния, мы можем описать бесконечное число «оттенков» между этими двумя пограничными состояниями.

Управлять состоянием кубита — значит, управлять амплитудами а и b в векторе состояния, эти величины непрерывные, аналоговые, поэтому квантовый компьютер иногда называют компьютером с аналоговым управлением*. В настоящее время такое управление кубитами научились реализовывать унитарными (обратимыми) операциями. Попросту говоря, научились вращать вектор состояния кубита по сфере Блоха, переводя его в нужное состояние, в том числе в нелокальное суперпозиционное или в запутанное с другими кубитами.

* Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. УФН 175 (1), 3 (2005).

При этом привычные для нас классические состояния кубита составляют бесконечно малую часть его совокупного пространства состояний. В терминах коэффициентов а и b — из бесконечного их числа только два значения соответствуют чистым классическим (локальным) состояниям, когда либо b = 0, либо a = 0 (в этом случае нет суперпозиции состояний, и у нас |Ψñ = |0ñ или |Ψñ = |1ñ). На сфере Блоха — это только две точки (полюсы) из бесконечного числа других точек сферы. Максимально запутанные состояния — точки экватора, это уже линия, а не две точки.

То же самое можно сказать и о любых объектах окружающей реальности. Их допустимое пространство состояний гораздо шире классических состояний. Классический домен составляет лишь незначительную (бесконечно малую) часть совокупной квантовой реальности окружающего мира.

В частных случаях, как я уже отмечал, состояниями кубитов можно управлять и целенаправленно получать любые состояния. Именно практическая работа над созданием квантовых компьютеров многое дала для понимания соотношений между различными состояниями и привела к реализации таких переходов. Например, ученые научились переводить кубиты из классического локального состояния в нелокальную суперпозицию (преобразование Адамара):

или . (3.13)

Можно назвать этот процесс рекогеренцией. Обратное преобразование (справа налево) — это декогеренция. И все эти «вращения» вектора состояния кубита по сфере Блоха можно делать при помощи унитарных преобразований, обратимых на временах, меньших времени декогеренции кубита внешним окружением.

Еще раз подчеркну, нелокальные суперпозиционные состояния и квантовую запутанность научились создавать для отдельных кубитов. Такие «сверхъестественные» состояния уже невозможно объяснить ансамблевой интерпретацией, как это делал Эйнштейн, пытаясь уйти от «телепатии». Теперь эта «телепатия» между кубитами выходит на первый план и становится основным рабочим ресурсом в квантовой информатике.

Кубит Инь/Ян

Квантовая теория помогает глубже вникнуть в смысл некоторых хорошо известных понятий, которыми оперируют эзотерическая литература и восточная философия. Это относится, например, к понятию Инь/Ян, которое тщетно пытается охватить западный рациональный ум с целью вписать в рамки классических представлений, в то время как в терминах квантовой теории эта неуловимая двойственность выражается очень просто: Инь/Ян — это когерентная суперпозиция двух альтернативных состояний.

Очень многое свидетельствует в пользу того, что Инь/Ян соответствуют простейшему случаю двухуровневой системы в квантовой механике, то есть системы с двумя ортогональными состояниями (например, с максимальной и минимальной энергией). Это и есть описание в терминах кубита (как вектора состояния двухуровневой системы) в виде суперпозиции двух взаимоисключающих состояний. С одной стороны, Инь/Ян составляют единое целое, и одно из них невозможно выразить через другое. Но, с другой стороны, можно говорить об их корреляциях, о возможности их перераспределения в системе, о переходах между уровнями, о «шевелении» коэффициентами-амплитудами в векторе состояния, то есть о движении вектора состояния кубита по сфере Блоха.

Когда говорят, что «Инь существует в Ян», а «Ян существует в Инь», то имеется в виду их неразделимая целостность, когерентная суперпозиция. В «Каноне Перемен» сказано: «То, чем является Инь и Ян, — это Дао, это основание, это родители перемен, начало и сущность жизни и смерти, сокровищница духа и света, это основа» (Лао-Цзы).

Иногда считают, что вся теория перемен (И Цзин) построена на одном постулате: Инь + Ян = Дао. Но только это не простая сумма, а суперпозиция состояний — отсюда и сложности в понимании при классическом подходе. По сути дела, речь идет о том, что в квантовой теории называется нелокальным источником реальности. Причем в терминах Инь/Ян вектор состояния Дао рассматривается в самом простейшем базисе из двух ортогональных состояний Универсума. Но даже при такой простейшей модели вектора состояния двухуровневой системы (кубита) можно много чего понять.

Инь обычно сопоставляют с состоянием более высокой энергии, то есть его можно сопоставить с |1ñ, а Ян — с |0ñ. В простейшем случае динамического равновесия переходы между уровнями равновероятны, иными словами, система периодически излучает энергию, переходя из Инь в Ян (с уровня |1ñ на |0ñ), и сама тут же ее поглощает на следующем цикле (осуществляя обратный переход |0ñ в |1ñ ).

Согласно воззрениям древних китайских философов, эти две силы — Инь и Ян — главные в природе. Даосские мудрецы полагали, что во Вселенной идет бесконечный процесс взаимодействия и трансформации этих двух начал. «То Инь, то Ян — таков путь Вселенной», — говорится в «Книге Перемен», и этот круговорот универсален, он происходит в больших и малых системах.

По сути, это означает, что описание большой системы (Дао) можно осуществлять точно таким же образом, как и маленькой (кубита). При этом считается, что такая двойственность отношений Инь/Ян является главным звеном в эволюции систем любой природы. И если за эту ниточку-«кубиточку» потянуть, то можно распутать самую сложную цепочку отношений-взаимодействий в составной системе.

Такой системный подход к описанию легко реализуется в терминах кубитов, поскольку любую систему можно рассматривать в простейшем базисе из двух собственных состояний и в то же время — как состоящую из других кубитов.

Несколько слов можно сказать и об энергии Ци, которая в китайской философии считается первоосновой Вселенной, тем связующим звеном, который скрепляет ее здание. Ци — понятие, с одной стороны, философское, духовное, но одновременно и материальное, конкретное. Ци — один из древних иероглифов, которым китайцы обозначали пар, воздух, дыхание. Иногда Ци понимается как «дыхание Вселенной». В более широком смысле энергия Ци есть проявление всех известных и неизвестных полей, действующих на всех планах реальности.

В терминах энергии Ци и «изначального дыхания» энергетически более плотное состояние соответствует Инь (покой и сгущение), а менее плотное (но с большей квантовой информацией), рассеянное и подвижное — Ян. Переходы между уровнями описывается следующим образом: плотное Инь в результате движения потока энергии (из-за наличия градиента энергии) превращается в менее плотное Ян, что сопровождается рождением и ростом (Инь как женское начало). А обратный переход ведет к наполнению Инь содержанием (структурной квантовой информацией), что соответствует высаживанию нелокальных «зерен», в том числе «зерен Духа», в плотную энергетическую «почву» (прерогатива Ян как мужского начала). Таким образом, энергия Ци — это потоки энергии, которые возникают при переходе между уровнями в двухуровневой системе (кубите) или, лучше сказать иначе, — любая энергия Ци (их много всяких разных) может моделироваться на кубитной модели.

В китайской философии принято считать, что источником тварного мира является состояние У Цзи («беспредельное, то, что предшествует возникновению Вселенной»).

Об У Цзи, например, писал Ван Цзунь юэ, живший во времена династии Цин, в книге «Теория Тайцзи-цюаня»*: «Тай Цзи родилось от У Цзи, или предельного „ничто“. Это источник динамичных и статичных состояний, Мать Инь и Ян. Если они движутся — они разделяются. Если они неподвижны — они сочетаются».

* Цит. по книге: Цзунхуа Чжоу. Дао Тайцзи-цюаня — путь к омоложению. К.: София, 1995; http://daonews.narod.ru/taichi_1.htm.

Как пишет здесь же Чжоу Цзунхуа: «Безграничную пустоту, существовавшую до сотворения мира, из которой образовалась Вселенная, древнекитайские философы называли У Цзи, или предельное „ничто“. Сказано, что до творения нет ничего, но в то же время что-то, безусловно, есть. Мы не знаем, ни что это такое, ни откуда это „что-то“ берется, но оно определенно есть. Это „что-то“ не может быть объяснено рационально; его существование только предполагается, как существование какого-то объекта, смутно вырисовывающегося в густом тумане. Древнекитайские философы описывали это как „наличие отсутствия“ или „невещественную вещь“ (уу чжи у). Можно сказать, что оно имеет форму, но бесформенно, имеет плотность и неосязаемо. Это беспорядочная неопределенность. Вы стоите перед ним, но у него нет переда. Вы идете сзади него, но у него нет задней стороны. Это явление не вещности — источник движения и неподвижности. Считается, что все во Вселенной, включая Инь и Ян, развивается постоянно из этого непостижимого источника. Лао Цзы называл его „Дао“, И Цзин называет его „Тай Цзи“».

Об У Цзи много материала в Интернете, приведу, например, такой фрагмент: «Согласно даосской космологии, до начала существующей Вселенной было состояние полной пустоты. В этом изначальном состоянии не было ни малейшего шевеления. Концепцию относительного времени нельзя применять к состоянию изначальной пустоты, потому что не существовало ничего, относительно чего можно было бы измерить время. Все было пусто. Древние даосы дали имя этому состоянию — они назвали его У Цзи (Wu Chi). „У“ означает отсутствие, отрицание, пустоту. „Цзи“ в этом слове (несмотря на то что его можно читать и как Ци — жизненная энергия) означает наивысший, максимальный. И, таким образом, У Цзи означает наивысшее состояние пустоты»*.

* Симончик Д. Что такое Даосизм. http://www.thebridge.ru/docs/314.html.

Итак, это понятие по своим характеристикам практически полностью соответствует понятию «нелокального источника реальности» в современной квантовой теории. Это нелокальное, нетварное состояние, из которого возникает все, что есть в Мире, как на плотном, так и на всех тонких уровнях реальности. Оно предшествует тварным энергетическим потокам всех видов и нашему пространству-времени. И одновременно, в виде аналоговой квантовой информации, это трансцендентное, «запредельное» состояние содержит в себе замысел, потенцию всего «проявленного». Единственной характеристикой У Цзи является набор допустимых состояний, которые находятся в когерентной суперпозиции и могут проявиться лишь в результате декогеренции, в результате взаимодействия подсистем, то есть в результате изменчивости состояний подсистем. Как утверждали древние китайский философы, без изменения состояний ничто не способно выйти из лона У Цзи. Оно так и оставалось бы чистой потенцией.

Таким образом, вследствие изменения и потоков энергии Ци из У Цзи рождается то, что получило название Тай Цзи, — Великий Предел, который, фактически, означает весь тварный мир, всю Вселенную со всем ее содержимым, включая и самого человека.

Всем известен символ Тай Цзи — черно-белые капли Инь/Ян, которые символизируют полярную дуальность мира. Точки обозначают «зародыши» одного начала в другом — способность к трансформации друг в друга.

Даосы говорят, что Тай Цзи коренится в У Цзи, а его обычно изображают как пустой круг, своего рода всепорождающую Пустоту. Иногда его помещают в центр традиционного символа Тай Цзи в виде круга белого цвета, что символизирует философский аспект порождения Тай Цзи из У Цзи. Этот дополнительный элемент (иногда его окрашивают в другой цвет, например желтый) — чисто условный. В то же время его цель — показать, что процесс Тай Цзи приводит к новому качеству энергии Ци с каждым циклом трансформации Тай Цзи и возвращением к У Цзи в новом качестве. То есть состояние энергии Ци до Тао и после Тао уже другое — изменяется ее информационная основа.

Обычно считается, что, когда появляется Тай Цзи, состояние У Цзи исчезает, поэтому нет особого смысла его изображать. И более популярен традиционный символ без дополнительного круга в центре, а с кругом в центре — это для «продвинутых», тех, кто хорошо понимает смысл трансформации при взаимодействии Инь/Ян в Тай Цзи. Круг в символе изображает состояние У Цзи, порождаемое Тай Цзи после достижения своего предела, при этом У Цзи прежденебесное не равно У Цзи посленебесному.

Иногда встречается мнение, что понятия «Дао» и «У Цзи» совпадают, но бывает, что между ними проводят различие. Так, подразумевается, что, когда пустота У Цзи приходит в движение, то происходит ее трансформация в Тай Цзи, и она прекращает свое существование, проявляя себя как энергия Ци через изначальную полярность Инь и Ян. В отличие от этого Дао, согласно Лао-Цзы, есть всегда, оно не исчезает в процессе «проявления» локальных форм, и в этом отношении понятие «Дао» ближе к квантовому понятию нелокального источника реальности, в который лишь «погружен» весь тварный мир.

Согласно космологической концепции квантовой теории, нелокальный источник реальности проявляет тварный мир как бы «внутри себя», сам он никуда при этом не исчезает. Он продолжает охватывать все многообразие локальных форм и элементов реальности, по-прежнему оставаясь во всей своей совокупности нелокальным, нетварным и трансцендентным по отношению ко всем тварным энергиям. Такая точка зрения ближе к христианской доктрине, согласно которой, Бог-Отец, сотворив мир, никуда при этом не исчезает, оставаясь вне пределов тварных форм и охватывая, тем не менее, все сущее.