Фазовый синхронизм в одноосных кристаллах

Итак, согласно предыдущему параграфу, используя нелинейные среды в принципе можно преобразовать частоту исходной световой волны.

Известно, что в среде с дисперсией показателя преломления световые волны различной частоты имеют различные скорости распространения.

Если в кристалле распространяется плоская волна с частотой ω

E₁ = E₁₀cos(ωt –k₁z), (7.12)

и ее вторая гармоника с частотой 2ω: E₂ = E₂₀cos(2ωt –k₂z), (7.13)

то соответствующие этим волнам фазовые скорости равны:

u₁=с/n_w=w /k₁ и u₂=с/n_2w=2w /k₂. (7.14)

Вследствие дисперсии показателя преломления в среде n_w≠n_2w, и, следовательно, u₁ ≠u₂.

Из неравенства фазовых скоростей с учетом (7.15) получаем k₁≠k₂, или,

2 k₁-k₂=Δk (7.15)

Эта разность волновых чисел Δk носит название волновой расстройки.

Амплитуда волны второй гармоники в точке z, генерируемой в среде с дисперсией, дается выражением: A_2w(z)=(2A/Δk)sin(Δkz/2), (7.16)

и она достигает своего первого максимума на расстоянии, называемой длиной когерентности: l_ког=p/Δk=l/4(n_w -n_2w), (7.17)

где l=(2pс/w) -длина волны основной волны в вакууме. Выбрав, например, l»1мкм и Dn»10^-2, получим l_ког»25мкм.

Экспериментальная зависимость интенсивности второй гармоники в кристалле кварца от угла поворота пластинки показана на рис.7.3.

Рис.7.3. Зависимость интенсивности второй гармоники в кристалле кварца от угла поворота пластинки.

Как видим из этого рисунка, после достижения максимального значения интенсивность второй гармоники начинает уменьшаться.

Если z>>l_ког, то амплитуда волны второй гармоники имеет характер биений согласно выражению (7.16). Однако повышение эффективности преобразования во второй гармонике возможно при выполнении так называемого условия фазового синхронизма, если выполняется условие: Δk=0, или k₂=2k₁. (7.18)

Условие (7.18) называется условием волновогоилифазового синхронизма, и оно эквивалентно условию равенства фазовых скоростей волны второй гармоники и исходной волны.

Выполнить условие равенства фазовых скоростей для взаимодействующих волн удается в оптически анизотропных кристаллах с двулучепреломлением. Известно, что в одноосном кристалле могут распространяться две монохроматические волны ортогональных поляризаций (обыкновенная и необыкновенная) с одинаковыми частотами, но с разными фазовыми скоростями, т.е. с разными показателями преломления. Рассмотрим сечение индикатрисы показателя преломления отрицательного одноосного кристалла (n_o>n_e) для волны основной частоты w и ее второй гармоники частоты 2w.

Как видно из рисунка 7.4., в направлениях ОА, образующих угол q_c с оптической осью Z, выполняется равенство показателей преломления обыкновенной волны на частоте w и необыкновенной волны на частоте 2w

т.е.: n_w^о=n_2w^e . (7.19)

Рис.7.4. Сечение оптической индикатрисы отрицательного одноосного кристалла для обыкновенной волны частоты w и необыкновенной волны частоты 2ω.

Равенство (7.19) является условием фазового синхронизма для генерации второй гармоники. Для выполнения синхронизма волновые векторы должны быть ориентированы по направлению ОА. Эти направления называются направлениями синхронизма, а угол q_с - углом синхронизма. Показатель преломления для необыкновенной волны можно изменять, меняя угол между волновой нормалью и оптической осью и вычислить из выражения n^e(q)=n_en_о/[n_о²-(n_о²-n_e²)cos²q]^1/2 , (7.20)

где n₀ и n_e- главные значения показателя преломления на частоте w.

Используя выражение (7.20) можно легко вычислить угол синхронного взаимодействия волн в нелинейном кристалле.

Самофокусировка света

Физические причины этого нелинейного эффекта заключаются в изменении показателя преломления среды в сильном световом поле. Первый член в формуле (7.11) обладает периодичностью во времени такой же, как и у первичной волны. Однако это – нелинейный член, так как в качестве коэффициента при cos(wt-kх) стоит qE₀³. Таким образом, с кубичным по полю членом в нелинейной поляризации связано переизлучение на частоте падающей волны, но с амплитудой, пропорциональной коэффициенту q и кубу амплитуды падающей волны. Этот член обусловливает появление нелинейной поправки к показателю преломления среды. Электрическая индукция D на частоте w может быть представлена в виде:

D=e₀eE=e₀eЕ₀ cos(wt - kх)=[1+c+3/4qE₀²]e₀Е₀сos(wt-kх) (7.21)

и, следовательно, диэлектрическая проницаемость: e =n²=e_л + e₂Е₀² (7.22)

где e_л=1+c, а e₂=3/4q. Поскольку e₂Е₀²<<e_л, то (7.22) можно переписать в виде: n= n₀ +n₂E² (7.23)

где n₀=e_л^1/2. Таким образом, интенсивная световая волна изменяет показатель преломления среды. Добавочный член n₂E² тем больше, чем больше интенсивность падающей волны. Такие оптические эффекты принято называть самовоздействием световой волны. За счет появления нелинейных добавок к диэлектрической проницаемости e (или к показателю преломления n) световая волна изменяет собственную фазовую скорость , а также коэффициент поглощения в среде, причем эти изменения пропорциональны квадрату амплитуды волны Е₀². Это самовоздействие и приводит к эффекту самофокусировки света.

В поле ограниченного интенсивного светового пучка первоначально однородная среда в силу формулы (7.23) становится оптически неоднородной, следовательно, показатель преломления среды определяется теперь распределением интенсивности распространяющейся волны. Это приводит к явлению нелинейного преломлению света, характер которого определяется знаком нелинейной добавки n₂E². В среде с n₂>0 области максимальной интенсивности света являются одновременно и наиболее оптически плотными. В этом случае нелинейное преломление должно приводить к самофокусировке, так как периферийные лучи отклоняются в область, где поле максимально.

Чрезвычайно важным обстоятельством, выделяющим эффект самофокусировки среди других нелинейных оптических процессов, является его «лавинный» характер. Действительно, даже слабое увеличение интенсивности в некотором участке светового пучка в среде с n₂>0 приводит к концентрации лучей в этой области, следовательно, и к дополнительному возрастанию интенсивности, которое еще усиливает эффект нелинейного преломления и т.д. Однако пучок с конечным поперечным сечением должен одновременно дифрагировать. Если эффект самофокусировки окажется сильнее дифракции, только тогда пучок будет сфокусирован. Так как действие самофокусировки пропорционально n₂E², а действие дифракции обратно пропорционально квадрату радиуса пучка, следовательно, когда пучок сжимается из-за самофокусировки, одновременно усиливается действие и самофокусировки, и дифракции. Если последняя возрастает быстрее, то в некоторой точке дифракция берет верх над самофокусировкой и сфокусированный пучок, достигнув минимального сечения (фокальной точки) должен расходиться.

Условия самофокусировки. Пусть в нелинейной среде с n₂>0 распространяется цилиндрический пучок радиуса а (рис.7.5). Тогда вне пучка показатель преломления n₀=e_л^1/2 , а внутри пучка: n=n₀+n₂E². Лучи, падающие на границу пучка изнутри, совершают переход из среды оптически более плотной в среду оптически менее плотную; следовательно, при достаточно больших углах a для них возможен эффект полного внутреннего отражения. Критический угол соответствует лучу, угол наклона β₀ которого к оси пучка равен: β₀=arccos[n₀/(n₀+n₂E²)] (7.24)

Рис.7.5. Самоканализация интенсивного светового пучка в нелинейной среде.

Лучи с β>β₀ отклоняются от оси пучка, лучи с β<β₀ отклоняются к оси пучка. В пучке, фронт которого (поверхность равной фазы) на входе в нелинейную среду является плоским, угол β определяется дифракцией:

β_д=0,61λ₀/n₀2a (7.25)

Относительный вклад нелинейного преломления и дифракции в поведение такого пучка можно оценить, сравнивая углы β₀ и β_д. При β₀<β_д пучок расходится, однако темп дифракционной расходимости меньше, по сравнению с линейной средой. При β₀=β_д нелинейное преломление полностью компенсирует дифракционную расходимость луча; размеры и форма пучка остаются неизменными при распространении его в нелинейной среде. Пучок создаёт для себя своеобразный оптический волновод, по которому распространяется без расходимости. Этот режим называется режимом самоканализации волнового пучка. Пользуясь формулами (7.24) и (7.25), нетрудно убедиться, что условие (7.24) накладывает требование лишь на полную мощность пучка и величину нелинейности среды. Выражение для критической мощности самоканализирующегося пучка есть: β_д²/2=n₂E²_кр/n₀;

P_кр=λ²₀с(1,22)²/256n₂ . (7.26)

При β₀>β_д и, следовательно, при P>P_кр лучи отклоняются к оси пучка –происходит самофокусировка (рис.7.6.). В этом случае нелинейная среда действует как собирающая линза. Её фокусное расстояние можно оценить, пользуясь формулой (7.26). Вводя дифракционную длину R_д=ka²/2 ≈ a/β_д, получаем из (7.26), что условие β₀=β_д эквивалентно условию:

R_д=a/2 ≡R_нл. (7.27)

Величина R_нл, имеющая размерность длины, называется эффективной длиной самофокусировки.

Рис.7.6. Самофокусировка интенсивного светового пучка
в нелинейной среде.

После самофокусировки луч превращается в тонкую нить на оси пучка. Для данной среды эта нить имеет постоянный диаметр в пределах ±20% и протяжённость равна нескольким сантиметрам. Диаметр нити равен диаметру фокального пятна, а интенсивность в нити – интенсивности в фокусе. Интенсивность света в такой нити может достигать десятков гигаватт на квадратный сантиметр.

Двухфотонное поглощение

Одним из фундаментальных нелинейных эффектов, который имеет разнообразное практическое значение, является многофотонное поглощение, в частности двухфотонное поглощение, при котором одновременно поглощаются два фотона, вследствие чего электрон (в атоме, молекуле) переходит с основного уровня E₁ на возбужденный уровень E₂ (рис.7.7.б, в). При этом предполагается, что между начальным и конечным состояниями другие связанные электронные состояния отсутствуют.

Рис.7.7. Процессы поглощения фотона в веществе: а) однофотонное поглощение фотона с энергией ђω₀; б) двухфотонное поглощение фотонов с энергией ђω₁; в) двухфотонное поглощение фотонов с энергиями ђω₂ и ђω₃..

Поскольку двухфотонное поглощение является нелинейным процессом, сечение поглощения для него намного порядков меньше сечения однофотонного поглощения. Тем не менее, двухфотонное поглощение легко наблюдается при использовании лазеров.

Процесс в средах можно рассмотреть феноменологически, описывая относительные изменение интенсивности I плоских волн при их прохождении через двухфотонно поглощающую среду. Пусть два пучка распространяются вдоль оси z среды и испытывают ослабление из-за двухфотонного поглощения, которое описывается уравнениями:

, , (7.28)

где γ - коэффициент двухфотонного поглощения.

Связанные уравнения (7.28) можно решить аналитически, если учесть, что: .

Это соотношение является следствием того, что в двухфотонном поглощении участвуют равные числа фотонов с частотами ω₁ и ω₂. Если I₁₀ и I₂₀ - интенсивности на входе в среду, то: (7.29)

Решение системы (7.28) можно получить, избавляясь от I₁ или I₂. Считая, что I₁₀ > I₂₀, находим: ,

, (7.30)

если I₁₀ >>I₂₀, то ослаблением волны I₁ можно пренебречь. В этом случае решение принимает вид: I₁≈I₁₀,, I₂=I₂₀exp(-Kz). (7.31)

Интерес представляет частный случай, когда ω₁=ω₂=ω. Тогда вместо (7.28) мы получим уравнение: , (7.32)

решение, которого имеет вид: . (7.33)

В случае слабого поглощения решение приводится к виду:

(7.34)

Из уравнения (7.34) экспериментально, по методу пропускания можно определить величину коэффициента двухфотонного поглощения γ для среды. Как видно выражение (7.34) не содержит микроскопических параметров среды, и поэтому невозможно в рамках данного метода предсказывать значение коэффициента двухфотонного поглощения γ для интересующих нас сред, что является основным недостатком.

Тем не менее, при рассмотрении многофотонных процессов методом теории возмущений, можно получить выражение для коэффициента двухфотонного поглощения в виде: , (7.35)

где n²=ε₁^1/2·ε₂^1/2 , - мнимая часть кубической нелинейной восприимчивости q, N –плотность молекул или элементарные ячейки в среде, M_fi –матричные элементы двухфотонных переходов под действием световых волн с частотами w₁ и w₂ (рис.7.7), r_i и r_f - населенности состояний i и f.

Рис. 7.8. Двухфотонное возбуждение системы из состояния |i> в состояние |f > через виртуальное промежуточное состояние |s>.

Как и ранее было отмечено, коэффициент двухфотонного поглощения γ прямо пропорционален мнимой части кубической нелинейной восприимчивости q, описывающей процесс двухфотонного поглощения.