В.И. Ратушный, А.Е.Христенко, Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова
Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова
Методические указания
к выполнению курсового проекта «Расчет магнитного захвата (держателя) с управляемыми постоянными магнитами»
По дисциплине
«Физика твердого тела»
Новочеркасск 2004
УДК 539.2 (076.5)
ББК
М 54
Рецензент: канд. техн. наук А.М. Семенцев
В.И. Ратушный, А.Е.Христенко, Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова
М 54 Расчет магнитного захвата (держателя) с управляемыми постоянными магнитами: Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине «ФТТ» / Волгодонский ин-т Юж.-Рос. гос. техн. ун-та (НПИ). – Новочеркасск: УПЦ «Набла» ЮРГТУ (НПИ), 2004 – 55 с.
Даны методические указания к выполнению курсового проекта по курсу «Физика твердого тела». Приводятся необходимые теоретические пояснения, порядок и последовательность выполнения работы. Методические указания предназначены для студентов специальности 200100 «Микроэлектроника и твердотельная электроника»
УДК 539.2 (076.5)
ББК
© Волгодонский институт Южно-Российского
государственного технического университета
(Новочеркасского политехнического
института), 2004
© В.И. Ратушный, А.Е.Христенко,
Н. В. Литвин, В. Г. Пашкова, 2004
1. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МАГНЕТИКОВ
Термин «магнетики» применяется ко всем веществам при рассмотрении их магнитных свойств. Одной из основных характеристик любого магнетика является намагниченность , представляющая собой магнитный момент единичного объема:
. (1.1)
Намагниченность является величиной векторной. Она возрастает с увеличением индукции (или напряженности ) магнитного поля:
. (1.2)
Здесь Гн/м — магнитная постоянная. Величина , получившая название относительной магнитной проницаемости среды, показывает, во сколько раз магнитная индукция поля в данной среде больше, чем магнитная индукция в вакууме. Величину называют магнитной восприимчивостью. Для многих веществ и , являются скалярами.
Рис. 1.1. Зависимость от для парамагнетиков (1) и диамагнетиков (2)
Магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Если , то вектор антипараллелен вектору . Магнетики, обладающие таким свойством, называют диамагнетиками. При вектор параллелен вектору . Магнетики, обладающие таким свойством, называют парамагнетиками. В большинстве случаев по модулю магнитные восприимчивости парамагнетиков превышают магнитные восприимчивости диамагнетиков. Зависимость намагниченности этих двух типов магнетиков от напряженности поля является линейной (рис. 1.1). Следует отметить, однако, что линейная зависимость для парамагнетиков наблюдается только в области слабых полей и при высоких температурах. В сильных полях и при низких температурах постепенно выходит на «насыщение». Как в диамагнетиках, так и в парамагнетиках в отсутствие магнитного поля намагниченность равна нулю.
Кроме диа- и парамагнетиков существует большая группа веществ, обладающих спонтанной намагниченностью, т. е. имеющих не равную нулю намагниченность даже в отсутствие магнитного поля. Эта группа магнетиков получила название ферромагнетиков. Для них зависимость является нелинейной функцией, и полный цикл перемагничивания описывается петлей гистерезиса (рис. 1.2). В этих веществах магнитная восприимчивость сама зависит от .
Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля соотношением
. (1.3)
Рис. 1.2. Зависимость от для ферромагнетика при перемагничивании
Заметим, что в ряде веществ направления и не совпадают. В этом случае . является тензором. Далее мы будем рассматривать только изотропные материалы, для которых , — простое число. Обратим внимание на то, что относительная магнитная проницаемость , магнетиков — аналог диэлектрической проницаемости диэлектриков.
Для магнитной индукции можно записать
. (1.2)
Отсюда с учетом (1.2) и (1.3)получаем
(1.3)
Это тоже аналогично соответствующему выражению в теории диэлектриков.
Перейдем теперь к обсуждению природы диа-, пара- и ферромагнетизма. При этом отметим еще раз тот факт, что магнитную активность проявляют все тела без исключения. Следовательно, за магнитные свойства вещества ответственны элементарные частицы, входящие в состав любого атома. Такими частицами являются протоны, нейтроны и электроны. Опыт показывает, что магнитный момент ядра, состоящего из протонов и нейтронов, примерно на три порядка меньше магнитного момента электрона. Поэтому при обсуждении магнитных свойств твердых тел магнитными моментами ядер обычно пренебрегают. Не следует думать, однако, что ядерный магнетизм вообще не играет никакой роли. Имеется ряд явлений (например, ядерный магнитный резонанс), в которых эта роль чрезвычайно существенна.
Из курса атомной физики известно, что в результирующий магнитный момент свободного атома вносят вклад: а) спиновые магнитные моменты электронов; б) орбитальные магнитные моменты, связанные с движением электронов вокруг ядра. Спиновый и орбитальный магнитные моменты и связаны с соответствующими механическими моментами и гиромагнитными отношениями:
. (1.4)
Вследствие квантования механических моментов и квантованными оказываются и магнитные моменты. Квант магнитного момента равен магнетону Бора: . Полному механическому моменту атома, определяемому как векторная сумма , соответствует полный магнитный момент атома , проекции которого на направление поля определяются выражением . Здесь , — магнитное квантовое число; — фактор расщепления Ланде, называемый также -фактором. Для чисто спинового магнетизма —2, для чисто орбитального =l. У всех атомов и ионов, имеющих полностью заполненные электронные оболочки, результирующие спиновые и орбитальные магнитные моменты равны нулю. Вследствие этого равен нулю и полный магнитный момент. Атомы и ионы, обладающие недостроенными внутренними оболочками (переходные и редкоземельные элементы), а также содержащие нечетное число электронов в валентной оболочке, имеют отличный от нуля результирующий магнитный момент. Не равным нулю моментом обладает также атом кислорода, у которого имеется четное число электронов, но спиновые моменты двух из них не скомпенсированы.
1.2. ПРИРОДА ДИАМАГНЕТИЗМА
При классификации магнетиков мы отнесли к диамагнетикам вещества, в которых намагниченность направлена против магнитного поля и связана с линейной зависимостью, а величина — постоянная, не зависящая от поля. Поскольку отрицательна, индукция в диамагнитном материале меньше, чем в вакууме. Всем перечисленным условиям удовлетворяют вещества, атомы и молекулы которых не имеют собственных магнитных моментов. Намагниченность в них индуцируется внешним магнитным полем.
Физическая природа диамагнетизма может быть понята на основе классической модели атома, в которой считается, что электроны движутся вокруг ядра по замкнутым орбитам. Каждая электронная орбита аналогична витку с током. Поведение витка с током в магнитном поле хорошо известно из теории электромагнетизма. Согласно закону Ленца, при изменении магнитного потока, пронизывающего контур с током, в контуре возникает э. д. с. индукции, в результате чего изменяется ток. Это приводит к появлению дополнительного магнитного момента, направленного так, чтобы противодействовать внешнему магнитному полю. Другими словами, индуцированный магнитный момент направлен против поля. В контуре, образуемом движущимся по орбите электроном, в отличие от обычного витка с током, сопротивление равно нулю. Вследствие этого индуцированный магнитным полем ток сохраняется до тех пор, пока существует поле. Магнитный момент, связанный с этим током, и есть диамагнитный момент.
Выражение для диамагнитной восприимчивости (для единичного объема)
. (1.7)
Из (1.7) следует, что диамагнитная восприимчивость не зависит от температуры и возрастает пропорционально порядковому номеру элемента. Это хорошо согласуется с экспериментом. Полагая см-3, см, получим . Поскольку диамагнетизм связан с орбитальным движением электронов в атомах, он присущ всем телам без исключения, т. е. является универсальным магнитным свойством. В любых веществах независимо от их агрегатного состояния или структуры, диамагнетизм присутствует. Однако часто он перекрывается более сильными магнитными эффектами — парамагнетизмом или ферромагнетизмом.
При вычислении диамагнитной восприимчивости (1.7) предполагалось, что в твердом теле все электроны связаны со своими атомами. Это, очевидно, справедливо для диэлектриков. Однако в металлах, а также в полупроводниках при высоких температурах имеются электроны проводимости. Электронный газ также проявляет магнитную активность. Поэтому при вычислении магнитной восприимчивости твердых тел, имеющих электроны проводимости, наряду с восприимчивостью атомных остовов, следует учесть магнитную восприимчивость электронного газа. Вопрос о поведении электронов проводимости в магнитном поле мы обсудим позже, а сейчас перейдем к обсуждению природы парамагнетизма.
1.3. ПРИРОДА ПАРАМАГНЕТИЗМА
В отличие от диамагнетиков в парамагнетиках намагниченность направлена по полю, т. е. . Парамагнитная восприимчивость зависит от температуры:
. (1.8)
Эта зависимость впервые была установлена П. Кюри и носит название закона Кюри. Величина представляет собой некоторую константу, получившую название постоянной Кюри. Парамагнетизмом обладают:
1) атомы и молекулы, имеющие нечетное число электронов (например, свободные атомы щелочных элементов, молекула окиси азота NO, некоторые свободные органические радикалы). У этих атомов и молекул имеется нескомпенсированный спиновый магнитный момент;
2) свободные атомы и ионы, имеющие недостроенные внутренние оболочки (например, переходные элементы Fe, Co, Ni и т. д., а также редкоземельные элементы). В этом случае с каждым атомом или ионом связан магнитный момент, обусловленный нескомпенсированностью спинов одного или нескольких электронов недостроенной - или -оболочки. В ряде случаев парамагнетизм обнаруживается и в твердых телах, состоящих из указанных атомов;
3) некоторые молекулы с четным числом электронов (например, О2 и S2)- В них тоже имеется магнитный момент, связанный с нескомпенсированностью спинов двух электронов;
4) дефекты кристаллической решетки с нечетным числом электронов. Примером могут служить -центры в щелочно-галоидных кристаллах, вакансии и ди-вакансии (в определенном зарядовом состоянии) в кремнии и т. д.;
5) металлы.
Впервые теория парамагнитной восприимчивости была создана П. Ланжевеном.
Выражение для парамагнитной восприимчивости
. (1.9)
Видим, что обратно пропорциональна температуре, что полностью согласуется с опытом (закон Кюри). Постоянная Кюри .
Выражение (1.9) получено для условий: слабые поля и не очень низкие температуры. Это условие почти всегда выполняется. Только при очень сильных полях и низких температурах намагниченность выходит постепенно на насыщение. При этом все магнитные моменты атомов ориентируются строго в направлении поля. Этот результат также согласуется с опытом.
Обсудим теперь более подробно вопрос о природе магнитных моментов, вносящих вклад в парамагнетизм. Магнитный момент свободного атома представляет собой векторную сумму как орбитальных, так и спиновых моментов всех электронов. Атомы с полностью заполненными оболочками имеют результирующий магнитный момент, равный нулю. Такие атомы диамагнитны.
Парамагнетизм обнаруживают атомы, имеющие неспаренные спины или нескомпенсированный момент импульса, т. е. атомы с нечетным числом электронов или с частично заполненной внутренней оболочкой. Характер заполнения электронных оболочек определяется правилами Хунда. Согласно этим правилам, спины электронов в оболочке всегда складываются друг с другом так, чтобы дать максимально возможные значения момента импульса и магнитного момента.
1.4. ДИАМАГНЕТИЗМ И ПАРАМАГНЕТИЗМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Разделим условно все твердые тела на неметаллы и металлы. Предположим, что кристаллическая решетка построена из атомов, не имеющих недостроенных внутренних оболочек. Как и в случае неметаллов, решетка проявляет диамагнетизм. На диамагнитный момент внутренних, заполненных оболочек атомов близость других атомов влияния не оказывает. Поэтому вклад этих оболочек в результирующий магнитный момент такой же, как и у изолированных атомов.
Если в неметаллическом кристалле имеются атомы с частично заполненными внутренними оболочками, то вещество представляет собой парамагнетик. Однако магнитный момент незаполненных оболочек в кристалле может отличаться от момента изолированного атома. Поэтому найти парамагнитный момент кристалла путем суммирования моментов всех входящих в него свободных атомов в большинстве случаев нельзя.
В металлах вклад в магнитную восприимчивость кроме атомных остовов, расположенных в узлах решетки, вносят коллективизированные электроны проводимости. Экспериментальные данные свидетельствуют, например, о том, что все щелочные металлы парамагнитны. При этом их парамагнитная восприимчивость не зависит от температуры. Поскольку решетка щелочных металлов диамагнитна, парамагнетизм может быть обусловлен только парамагнетизмом электронного газа. Из независимости парамагнетизма щелочных металлов от температуры следует сделать вывод о независимости от температуры парамагнитной восприимчивости электронного газа.
Парамагнетизм электронного газа связан с наличием у электронов спинового магнитного момента, равного магнетону Бора. В магнитном поле спиновые магнитные моменты ориентируются преимущественно по полю, создавая результирующий магнитный момент. Если для вычисления этого магнитного момента воспользоваться классическими представлениями, то получим, что парамагнитная восприимчивость зависит от температуры по закону Кюри. Правильный результат дает теория, разработанная Паули, учитывающая, что электроны в металле подчиняются статистике Ферми—Дирака.
В отсутствие внешнего магнитного поля результирующий магнитный момент электронного газа при К равен нулю. Электроны занимают в зоне проводимости все уровни до уровня Ферми так, что на каждом уровне находится по два электрона с противоположно направленными спинами. Это иллюстрирует рис. 1.3 а, где зона проводимости разделена на две полузоны, различающиеся направлением спинов.
Рис. 1.3. К расчету парамагнитной восприимчивости электронов проводимости. По оси ординат отложена энергия электронов, по оси абсцисс — плотность состояний. Занятые состояния заштрихованы. Стрелками указаны направления спиновых магнитных моментов
До включения магнитного поля функция плотности состояний электронов со спинами вверх и функции для электронов со спинами вниз имеют вид одинаковых парабол. При этом
.
В магнитном поле полузона, в которой спиновые магнитные моменты направлены по полю, сместится вдоль оси вниз на , а полузона с противоположным направлением спиновых магнитных моментов — вверх на . Таким образом, обе полузоны сместятся друг относительно друга на (рис. 1.3, б). Так как система стремится к минимуму энергии, то часть электронов из правой полузоны перетечет в левую, изменив при этом направление спина (рис. 1.3, в). В результате появится магнитный момент, направленный по полю:
, (1.10)
где — число мигрировавших электронов;
. (1.11)
Зная выражение для плотности состояний, легко получить парамагнитную восприимчивость электронного газа:
. (1.12)
Здесь — число электронов проводимости в единичном объеме металла; — температура вырождения электронного газа. По определению,
. (1.13)
Так как (где — температура плавления металла), не зависит от температуры, поскольку
Значение парамагнитной восприимчивости, вычисленное по (1.12), лишь немного больше, чем диамагнитная восприимчивость внутренних заполненных оболочек атомов. Поэтому полная магнитная восприимчивость нормальных (т. е. непереходных) металлов лишь немного больше нуля. Более того, имеется ряд металлов, которые, несмотря на парамагнитный вклад электронного газа, в целом диамагнитны. Это иллюстрируются табл. 1.2.
Одной из причин результирующего диамагнетизма некоторых металлов является то, что в них из-за малой плотности состояний невелик парамагнетизм электронного газа. Такая ситуация имеет место, например, в бериллии. Атомы бериллия имеют по два валентных электрона. Таким образом, валентная зона в бериллии заполнена полностью. Если бы она не перекрывалась со следующей разрешенной зоной, то бериллий был бы диэлектриком. Металлические свойства бериллия связаны с перекрытием зон. Такое перекрытие есть, но оно невелико и плотность состояний на уровне Ферми также невелика. Поэтому парамагнитная восприимчивость электронного газа мала и бериллий обнаруживает диамагнетизм.
Другой причиной результирующего диамагнетизма металлов является большое число электронных орбит в атомах и большие радиусы этих орбит (Сu, Ag, Au, Zn, Ga и т. д.).
Таблица 1.2. Магнитная восприимчивость нормальных металлов
Металл | Атомный номер элемента | Металл | Атомный номер элемента | ||
Li Na К Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Zn | +1,89 +0,68 +0,47 +0,33 +0,42 -0,76 -2,1 -29 -1,83 +0,95 +1,7 +2,65 +0,56 -1,24 | Cd Hg Al Ga In -Tl Sn(белое) Sn(серое) Pb As Sb Te Bi | -1,52 -2,25 +1,67 -1,84 -0,8 -3,37 +0,276 -0,184 -1,36 -0,42 -5,9 -2,0 -13,0 |
Отметим, наконец, что электроны проводимости обладают не только парамагнетизмом, но и диамагнетизмом. Согласно классической теории, диамагнетизм электронного газа должен быть равен нулю. Это вытекает, например, из энергетических соображений. Магнитное поле искривляет траектории движения электронов проводимости, не изменяя, однако, модуля их скорости. Поэтому при включении магнитного поля кинетическая энергия электронов не изменяется.
Учет квантовых свойств электрона позволил Л. Д. Ландау открыть диамагнетизм электронного газа. Он показал, что диамагнитная восприимчивость электронного газа
, (1.14)
т. е. составляет одну треть от его парамагнитной восприимчивости.
Следовательно, полная магнитная восприимчивость электронного газа
. (1.15)
В заключение отметим, что у многих твердых парамагнетиков температурная зависимость магнитной восприимчивости описывается не законом Кюри, а законом Кюри—Вейсса:
. (1.16)
Здесь — некоторая температура, положительная или отрицательная. Зависимость вида (1.16) связана с появлением в этих веществах при ферромагнетизма или антиферромагнетизма.
1.5. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ПОЛЕ ВЕЙССА
При классификации магнетиков мы отметили, что к ферромагнетикам относят вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, т. е. имеющие отличную от нуля намагниченность даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Ферромагнетизм обнаруживают кристаллы только девяти химических элементов: это три -металла (Fe, Co, Ni) и шесть -металлов (Gd, Dy, Tb, Но, Er, Tm). Однако, имеется огромное число ферромагнитных сплавов и химических соединений. Все эти вещества имеют различную кристаллическую структуру, отличаются значениями намагниченности насыщения и другими свойствами. Единственным общим признаком для всех ферромагнетиков является наличие атомов с недостроенными d- или -оболочками. Эти атомы, как отмечалось выше, имеют нескомпенсированный магнитный момент. Наличие спонтанной намагниченности свидетельствует о том, что магнитные моменты атомов ориентированы не случайным образом, как в парамагнетике, а упорядоченно-параллельно друг другу.
При обсуждении природы магнитных моментов в парамагнитных солях переходных элементов мы отмечали, что орбитальные моменты электронов -оболочки «заморожены». Следует ожидать поэтому, что ферромагнетизм связан с упорядочением спиновых моментов. Эта гипотеза, высказанная впервые русским ученым Б. Розингом в 1892 г., была подтверждена в экспериментах Эйнштейна—де Гааза и Барнетта, выполненных в 1915 г. В опыте Эйнштейна—де Гааза, схема которого приведена на рис. 1.4, наблюдали вращение ферромагнитного образца (т. е. возникновение механического момента) при изменении магнитного момента, обусловленного внешним магнитным полем. Изменение магнитного момента цилиндрического образца 4 осуществлялось за счет пропускания тока в соленоиде 3. При этом образец поворачивался и закручивал нить 1. По углу можно определить гиромагнитное отношение. Оказалось, что
,
т. е. оно совпадает с гиромагнитным отношением для спинового механического и магнитного моментов электрона.
Рис. 1.4. Схема опыта Эйнштейна — де Гааза: 1— упругая нить подвеса, 2 — зеркальце, 3 — соленоид, 4 — ферромагнитный образец, — источник света.
Барнетт, наоборот, наблюдал намагничивание железного стержня при быстром его вращении. Найденное из этого опыта отношение также совпадало с гиромагнитным отношением спиновых моментов. Таким образом, ясно, что в ферромагнетиках упорядочиваются нескомпенсированные спиновые магнитные моменты атомов с недостроенными внутренними оболочками. Какова природа этого магнитного упорядочения?
Для того, чтобы объяснить существование спонтанного магнитного момента, П. Вейсс высказал предположение о существовании в ферромагнетике внутреннего молекулярного поля . Согласно Вейссу, это поле, подобно внешнему магнитному полю в парамагнетике, создает в кристалле ферромагнетика параллельную ориентацию магнитных моментов атомов при . Предполагается, что поле пропорционально намагниченности, т. е.
. (1.17)
Величина получила название постоянной молекулярного поля.
Таким образом, полное поле, действующее на атом в ферромагнетике:
. (1.18)
Найти магнитную восприимчивость теперь не сложно. Нужно рассмотреть поведение магнитных моментов атомов в магнитном поле . Для слабых полей и не очень низких температур получим приближенно:
, (1.19)
где . Отсюда
(1.20)
или
. (1.21)
Здесь, как и ранее, а параметр , имеющий размерность температуры, называется температурой Кюри. Выражение (1.21) представляет собой закон Кюри—Вейсса.
Проанализируем, что произойдет, если в формуле (1.21) положить . Казалось бы, что магнитная восприимчивость становится бесконечной (при ), а затем отрицательной. Для ответа на вопрос, что фактически происходит в этом случае, необходимо решить уравнение
. (1.22)
Здесь предположено, что магнитный момент атома обусловлен только спином электрона.
Пусть . Для уравнение (1.22) имеет решение . Таким образом, при ферромагнетик ведет себя как обычный парамагнетик. При появляется еще одно решение . Этот второй корень уравнения (1.22) можно найти графически (рис. 1.5). Результирующий магнитный момент единичного объема, т. е. намагниченность, стремится при К к значению
. (1.23)
Рис. 1.5. Зависимость самопроизвольной намагниченности ферромагнетика от температуры
Это означает, что все спины ориентированы параллельно, т. е. имеет место ферромагнитное упорядочение (в отсутствие внешнего магнитного поля). С повышением температуры самопроизвольная намагниченность уменьшается, а затем исчезает при температуре Кюри. Такое поведение хорошо согласуется с опытом. Введение Вейссом внутреннего молекулярного поля позволило объяснить многие свойства ферромагнетиков. Однако природа самого поля долгое время оставалась неизвестной. Предположение о том, что силы, ориентирующие спиновые магнитные моменты в ферромагнетике, имеют чисто магнитное происхождение, было экспериментально опровергнуто в 1927 г. Я. Г. Дорфманом.
1.6. ОПЫТ ДОРФМАНА
Если поле Вейсса действительно имеет магнитную природу, то оно должно быть очень большим. Энергия взаимодействия этого поля с магнитным моментом атома примерно равна средней тепловой энергии, приходящейся на один атом в точке Кюри (поскольку при магнитный порядок разрушается). Для многих ферромагнетиков температура Кюри составляет несколько сотен или даже превышает тысячи кельвин. Таким образом,
.
Поскольку ,
.
Я. Г. Дорфман предпринял попытку измерить . Схема опыта Дорфмана представлена в двух проекциях на рис. 1.6. От источника 1 узкий пучок электронов пропускали через тонкую ( мкм) фольгу никеля 2, помещенную между полюсами электромагнита 4. На фотопластинке 3 регистрировали след пучка. При постановке опыта предполагалось, что если фольга намагничена до насыщения параллельно ее поверхности, то молекулярное поле ориентировано во всем образце параллельно внешнему полю , т. е. перпендикулярно скорости электронов в пучке (рис. 1.6, а). Если это внутреннее поле , имеет магнитную природу, то пучок электронов при прохождении через фольгу должен отклоняться под действием суммарного поля . Это должно привести к смещению следа электронов на фотоснимке. При выбранных Дорфманом условиях опыта ожидалось получить смещение мм (рис. 1.6, б). Однако оказалось, что отклонение пучка электронов значительно меньше ( мм). Это отклонение соответствовало воздействию поля Тл, т. е. значению магнитной индукции в образце. Отсюда был сделан вывод о немагнитной природе молекулярного поля Вейсса. Выполненные впоследствии опыты по отклонению электронов и мезонов в образцах железа и железо-кобальтового сплава полностью подтвердили результат, полученный Дорфманом.
Рис. 1.6. Схема опыта Дорфмана: 1 — источник электронов, 2 — тонкая фольга никеля, 3 — фотопластинка, 4 — полюса электромагнита
Таким образом, оставалось предположить, что поле имеет электрическую природу. Однако в рамках классической теории объяснить такое, казалось бы, чисто магнитное явление, как ферроманетизм, какими-либо электрическими взаимодействиями не удалось. Только квантовая механика смогла решить эту задачу.
1.7. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ВОЗНИКНОВЕНИИ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА
Гиромагнитные опыты Эйнштейна-де Гааза и Барнетта показали, что в ферромагнетиках самопроизвольная намагниченность обусловлена спиновым магнетизмом электронов, а из опыта Дорфмана следовало, что взаимодействие между электронами соседних атомов с недостроенными оболочками, приводящее к ферромагнетизму, имеет немагнитную природу.
В 1928 г. Френкель и чуть позже Гейзенберг установили, что ферромагнетизм — это особое свойство системы электростатически взаимодействующих электронов. При обсуждении парамагнетизма электронного газа мы уже видели, что его энергия самым тесным образом связана с намагниченностью. Это является следствием принципа Паули. Минимум энергии свободного электронного газа наблюдается в том случае, когда спины электронов полностью скомпенсированы.
Френкель и Гейзенберг показали, что при наличии сильного электростатического взаимодействия между электронами энергетически выгодным может оказаться состояние с параллельной ориентацией спинов, т. е. намагниченное состояние. Детальные квантово-механические расчеты электрического взаимодействия двух электронов с учетом их спинового момента приводят к следующему выводу. Результирующая энергия взаимодействия наряду с чисто классическим кулоновским членом содержит еще добавочный специфический квантовый член, зависящий от взаимной ориентации спинов. Эта добавочная энергия получила название обменной. В простейшем случае взаимодействия двух электронов ее можно представить в виде
, (1.24)
где — параметр, имеющий размерность энергии и называемый обменным интегралом; и — единичные векторы спинов. Если , то минимуму энергии соответствует параллельная ориентация спинов: . При минимум энергии наблюдается при антипараллельной ориентации .
Обменную энергию в случае взаимодействия большого числа электронов (как это имеет место в твердом теле) можно выразить часто в виде, аналогичном (1.24):
. (1.25)
Здесь и — результирующие спины взаимодействующих атомов.
Обменный интеграл в простейшем случае двухэлектронной системы представляет собой полуразность энергий синглетного и триплетного состояний:
. (1.26)
Напомним, что синглетное состояние — это состояние с нулевым результирующим спином , а триплетное — со спином . При имеем и в основном триплетном состоянии спины обоих электронов параллельны. Этот случай соответствует ферромагнитному упорядочению. При , наоборот, , т. е. спины антипараллельны. В этом случае говорят об антиферромагнетизме.
Для объяснения явления ферромагнетизма в квантовой теории используются два основных подхода. Один из них основан на предложенной Френкелем модели коллективизированных электронов, подчиняющихся статистике Ферми—Дирака. Эта модель учитывает обменное взаимодействие. В теории показано, что при некоторой плотности электронного газа возможно появление самопроизвольного намагниченного состояния вне зависимости от того, что кинетическая энергия электронов при этом увеличивается. Напомним еще раз, что увеличение кинетической энергии связано с тем, что, в силу принципа Паули, электроны с параллельной ориентацией спина не могут занимать один энергетический уровень. Поэтому при перевороте спина электрон вынужден занять состояние с большей энергией. В настоящее время, однако, существует мнение, что газ электронов проводимости, по-видимому, не является ферромагнитным ни при каких условиях. Строгое доказательство этого пока отсутствует. В то же время ни в одном эксперименте не было обнаружено ферромагнетизма металлов, не содержащих атомов или ионов с недостроенными - или -оболочками. Появление ферромагнетизма в системе - или -электронов связано с аномально высокой (по сравнению с -электронами) плотностью состояний в - и -зонах.
Во втором подходе, разработанном Гейзенбергом, предполагается, что магнитные моменты, образующие упорядоченную ферромагнитную (или антиферромагнитную) структуру, локализованы около узлов кристаллической решетки. В этой модели ферромагнетизм связан с упорядочением магнитных моментов соседних ионов с недостроенными - или -оболочками. Обменное взаимодействие электронов соседних ионов получило название прямого обмена. Оно связано с перекрытием распределений заряда различных «магнитных» ионов (т. е. ионов с недостроенными - или -оболочками). Однако во многих сплавах и химических соединениях «магнитные» ионы отделены друг от друга немагнитным ионом (т. е. ионом, у которого все электронные оболочки заполнены полностью). В этом случае обменное взаимодействие между «магнитными» ионами может осуществляться через электроны общего для них немагнитного иона. Такой вид обмена получил название сверхобмена.
С. П. Шубин и С. В. Вонсовский установили, что кроме прямого обмена и сверхобмена к ферромагнетизму может привести косвенный обмен локализованных электронов через электроны проводимости. Косвенный обмен наиболее характерен для редкоземельных металлов и сплавов. Различные виды обменного взаимодействия схематически показаны на рис. 1.7.
Значение и знак обменного интеграла зависят от расстояния между атомами. Это хорошо видно из выражения для , полученного при решении задачи о взаимодействии двух атомов в молекуле водорода:
. (1.27)
Здесь —волновая функция электрона в поле ядра атома ; — волновая функция электрона в поле ядра атома и т. п.; — расстояние между электронами в молекуле; и — расстояния от ядра атома до электрона и от ядра атома до электрона , соответственно (рис. 1.8). Поскольку в выражение для входят как положительные, так и отрицательные члены, знак обменного интеграла может быть как положительным, так и отрицательным (в зависимости от межатомного расстояния).
На рис. 1.9 показана зависимость обменного интеграла от отношения межатомного расстояния к радиусу недостроенной электронной оболочки. Из рисунка следует, что из переходных металлов группы железа ферромагнетизм может существовать лишь в железе (в -модификации), кобальте и никеле, ,Mn и другие элементы этой группы не должны обладать ферромагнетизмом.
Рис. 1.7. Схематическое изображение прямого обмена (а), сверхобмена (б), косвенного обмена (в)
Это подтверждается и опытом. В то же время имеется и ряд сплавов марганца, а также химических соединений, например MnSb, MnBi и др., которые проявляют ферромагнитные свойства. В этих веществах атомы Mn находятся на больших расстояниях друг от друга, чем в кристалле чистого марганца, и поэтому обменный интеграл становится положительным.
Рис. 1.8. Схематическое изображение молекулы водорода
Вычисление обменной энергии для системы, содержащей атомов, представляет собой достаточно сложную задачу.
Рис. 1.9. Зависимость обменного интеграла от отношения межатомного расстояния к радиусу недостроенной внутренней оболочки
В первом приближении предполагают, что обменный интеграл отличен от нуля только для атомов и — ближайших соседей в кристаллической решетке, а для более далеких атомов . Обозначим (здесь и — соседние узлы). Вычисление среднего значения обменной энергии в соответствии с (1.25) приводит к следующему результату:
, (1.28)
где — координационное число, относительная намагниченность. Из (1.28) следует, что минимуму энергии отвечает состояние , т. е. состояние с намагниченностью насыщения.
Итак, условиями, благоприятными для возникновения ферромагнетизма, являются:
1) наличие локализованных магнитных моментов, например, в атомах с недостроенными - или -оболочками;
2) обменный интеграл должен быть положительным;
3) плотность состояний в - или -зонах должна быть велика, для того чтобы возрастание кинетической энергии, связанное с заполнением электронами более высоких свободных уровней (принцип Паули!), не превысило уменьшения энергии за счет обменного взаимодействия.
Отметим, что локализованные магнитные моменты могут быть связаны не только с «магнитными» атомами. Так, А. Ф. Хохлов и П. В. Павлов наблюдали возникновение ферромагнитного упорядочения в аморфном кремнии. Здесь нет атомов с недостроенными внутренними оболочками, однако имеются оборванные ковалентные связи. На каждой такой связи локализован неспаренный электрон. В обычных условиях концентрация оборванных связей в аморфном кремнии невелика (~1018 - 1019 см-3), поэтому взаимодействия между локализованными на связях магнитными моментами нет. Такое вещество представляет собой парамагнетик. Однако при высокой плотности оборванных связей, которую можно создать, облучая аморфный кремний ускоренными ионами инертных газов, возникает обменное взаимодействие, приводящее к ферромагнетизму.
1.8. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ
Строго параллельная ориентация спинов в ферромагнетике наблюдается лишь при К. Такое расположение спинов соответствует минимуму энергии. Результирующая намагниченность при этом равна намагниченности насыщения . С повышением температуры ферромагнетика его энергия возрастает за счет появления «перевернутых» спинов. В отличие от основного состояния (при К) состояние с «перевернутым» спином является возбужденным. Если соседние спины связаны взаимодействием вида (1.25), то поворот в обратную сторону одного спина требует затрат дополнительной энергии . Другими словами, из-за обменного взаимодействия состояние с перевернутым магнитным моментом в одном из узлов решетки является энергетически невыгодным. Соседние спины стремятся возвратить «перевернутый» спин в исходное положение. Обменное взаимодействие приводит при этом к тому, что соседний спин переворачивается сам. По кристаллу пробегает волна переворотов спинов. Существование таких волн было установлено в 1930 г. Ф. Блохом. Сами волны получили название спиновых.
Рис. 1.10. Спиновая волна:
а — вид цепочки спинов сбоку,
б — вид сверху
Возбуждения значительно меньшей энергии образуются в том случае, когда все спины повертываются лишь частично. Такая спиновая волна схематически изображена на рис. 1.10. Из рисунка видно, что спиновые волны представляют собой колебания относительной ориентации спинов в кристалле. Они сходны с упругими волнами в кристалле (фононами). Спиновые волны также квантованы. Квант энергии спиновой волны получил название магнон. При повышении температуры число магнонов возрастает, а результирующий магнитный момент ферромагнетика соответственно уменьшается. При малой плотности магнонов взаимодействие их друг с другом можно не учитывать и, следовательно, магноны можно считать идеальным газом. Газ магнонов, так же как и газ фононов, подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна. Если известны статистические свойства магнонов, то можно найти зависимость числа возбуждаемых магнонов от температуры. Оказалось, что число магнонов растет с температурой пропорционально T3/2. Соответственно пропорционально T3/2 убывает намагниченность ферромагнетика:
(1.29)
при . Здесь — намагниченность насыщения; — коэффициент.
Соотношение (1.29) называют законом T3/2 Блоха. Измерения температурных зависимостей намагниченности ферромагнетиков подтверждают справедливость (1.29).
Магноны, как и другие квазичастицы, вносят вклад в теплоемкость, в рассеяние электронов и т. п.
Подробное изложение теории спиновых волн приводится в кн.: Вонсовский С. В. Магнетизм. М., 1971.
1.9. АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ И ФЕРРИМАГНЕТИЗМ
Кроме ферромагнетиков существует большая группа магнитоупорядоченных веществ, в которых спиновые магнитные моменты атомов с недостроенными оболочками ориентированы антипараллельно. Антипараллельная ориентация спиновых магнитных моментов, как мы видели, возникает при отрицательном обменном взаимодействии . Так же, как и в ферромагнетиках, магнитное упорядочение имеет место здесь в интервале температур от К до некоторой критической , называемой температурой Нееля. Если при антипараллельной ориентации локализованных магнитных моментов результирующая намагниченность кристалла равна нулю, то имеет место антиферромагнетизм. Если при этом полной компенсации магнитного момента нет, то говорят о ферримагнетиэме. Различные типы магнитного упорядочения иллюстрируются рис. 1.11. Наиболее типичными ферримагнетиками являются ферриты — двойные окислы металлов состава , где — двухвалентный металл (Mg2+ Zn2+, Cu2+, Ni2+, F2+, Mnz+).
Рис. 1.11. Упорядочение спиновых моментов:
а — ферромагнитное,
б — антиферромагнитное,
в — ферримагнитное
Рис. 1.12. Схематическое расположение спиновых магнитных моментов в магнетите FeO∙Fe2O3
Ферриты имеют кубическую структуру типа шпинели MgAl2O4. В элементарной ячейке содержатся 8 формульных единиц, т. е. 32 атома кислорода, 8 атомов двухвалентного металла М и 16 атомов трехвалентного железа. Атомы кислорода образуют плотную упаковку. Рассмотрим, например, железный феррит, или магнетит (FeO∙Fe2O3). Восемь октаэдрических пустот в элементарной ячейке магнетита заняты трехвалентнымиионами Fe3+, а в 16 тетраэдрических пустотах располагаются восемь Fe2+ и восемь Fe3+. Магнитные моменты трехвалентных ионов, расположенных в октаэдрических и тетраэдрических пустотах, попарно антипараллельны друг другу, так что наблюдаемый магнитный момент обусловлен лишь ионами Fe2+ (рис. 1.12).
Большинство ферримагнетиков относятся к ионным кристаллам и поэтому обладают низкой электропроводностью. В сочетании с хорошими магнитными свойствами (высокая магнитная проницаемость, большая намагниченность насыщения и т. д.) — это важное преимущество по сравнению с обычными ферромагнетиками. Именно это качество позволило использовать ферриты в технике сверхвысоких частот, где они произвели целый переворот. Обычные ферромагнитные материалы, обладающие высокой проводимостью, здесь применяться не могут из-за очень высоких потерь на образование вихревых токов.
Вещества, в которых имеет место скомпенсированный ферримагнетизм, представляют собой антиферромагнетики. На рис. 1.13 в качестве примера показано упорядоченное расположение спинов ионов Mn2+ в наиболее характерном антиферромагнетике MnO. Магнитная структура окиси марганца была определена методом дифракции нейтронов. При низких температурах ( ) наблюдается антипараллельная ориентация спиновых магнитных моментов в соседних плоскостях (111).
С повышением температуры намагниченность каждой из подрешеток антиферромагнетика уменьшается так, что при всех температурах имеет место взаимная компенсация магнитных моментов подрешеток. В точке Нееля намагниченность каждой подрешетки становится равной нулю и антиферромагнетик переходит в парамагнитное состояние.
Рис. 1.13. Магнитная структура антиферромагнетика MnO. Показаны только ионы Mn2+. Ионы кислорода О2— здесь не изображены
Зависимость магнитной восприимчивости антиферромагнетика от температуры имеет вид, изображенный на рис. 1.14. При восприимчивость описывается законом Кюри—Вейсса: