Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике

Задача 1. В сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа, в другом сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если сосуды соединить трубкой?

Дано: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru
   
Найти: р

Решение: По закону Дальтона:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (1)

где Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru - парциальные давления.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона до соединения сосудов получим:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

где m1 и m2 - масса газа в первом и во втором сосудах;
μ - молярная масса;
R - газовая постоянная.

Аналогично для парциальных давлений (после соединения):

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (4) и Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (5)

Так как T = const и μ = const, то правые части уравнений (2) и (4), а также уравнений (3) и (5) равны. Тогда:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Отсюда:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (6) и Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (7)

Подставляя (6) и (7) в (1), получим:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Ответ: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Задача 2. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает скоростями, лежащими в интервале от v1 = 100 м/с до v2 = 110 м/c? Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул?

Дано: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru
   
Найти: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Решение: Найдем наиболее вероятную скорость молекул:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

где R - газовая постоянная,
μ - молярная масса.

Подставим численные значения:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Интервал скоростей: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Это много меньше v1 и v2. Поэтому можно использовать приближенную формулу:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (1)

где ΔN - число частиц, обладающих скоростями в интервале от v1 до v2 ,
N - полное число частиц,

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Относительное число частиц или доля молекул, обладающих скоростями в заданном интервале, найдем из формулы (1) при Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru :

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (2)

Вычислим: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru , подставим в (2) и учтем, что Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Ответ: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Задача 3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27оС и давлении 100 кПа.

Дано: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru
   
Найти: < λ >, z

Решение: Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (1)

где d - эффективный диаметр,
n - концентрация, т.е. число молекул в единице объема.

Давление связано с концентрацией:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

где k - постоянная Больцмана.

Выразим n:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (2)

Подставим (2) в (1) и получим:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (3)

Число соударений, происходящих между всеми молекулами за 1 с равно:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (4)

где N - число молекул в сосуде объемом V,
< z > - среднее число соударений одной молекулы за 1 с.

Число молекул в сосуде равно:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (6)

где < v > - средняя арифметическая скорость молекулы.

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (7)

Подставим в (4) выражения (5), (6), (7):

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Учтем (2):

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Подставим численные значения:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru
Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Ответ: z = 9·1028 с-1, < λ > = 3,56·10-8 м.

Задача 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение: Обозначим температуру горячей воды Т1, холодной Т2, а температуру смеси Q. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса.

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

где с - удельная теплоемкость, m - масса.

Тогда: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Отсюда температура смеси равна:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Элементарное количество теплоты равно:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Тогда:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Изменение энтропии системы равно:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

С учетом (1) получим:

Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru

Так как Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru , то Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru , следовательно: Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru и Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru .
Тогда Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике - student2.ru , т.е. энтропия возрастает.

Квантовая физика

Наши рекомендации