Дослідження фігур Ліссажу з допомогою осцилографа

З фігурами Ліссажу доводиться зустрічатися досить часто в тих випадках, коли коливання взаємно перпендикулярні. Так, вони неминуче з'являються при налаштуванні осцилографа.

Фігури Лісажу можна спостерігати на екрані осцилографа. На вертикальну розгортку подається одне гармонійне коливання, на горизонтальну – іншу. Їх сума може приймати різноманітні форми. Для цього достатньо змінювати частоту змінної напруги на обкладках осцилографа.

Найпростіші коливання тіла - це коливання, при яких відхилення х тіла від положення рівноваги змінюється за законом:

, (1.3)

де - амплітуда, - частота, - початкова фаза коливань.

Такі коливання називаються гармонійними. Гармонійні коливання здійснюють математичний маятник, вантаж на пружині, напруга в електричному контурі.

Розглянемо випадок, коли тіло бере участь одночасно в двох гармонічних коливаннях. Якщо обидва коливання відбуваються вздовж однієї прямої, то рівняння руху тіла буде представлено сумою рівнянь двох рухів:

(1.4)

Неважко побудувати графік зміщення тіла від положення рівноваги в залежності від часу. Для цього потрібно скласти ординати кривих, відповідних першому і другому рухам. На рис. 1.5 показаний приклад складання двох гармонійних коливань (суцільні синусоїди). Пунктирна лінія відповідає результуючому коливанню. Воно вже не є гармонійним.

Більш складні траєкторії виходять при складенні коливань у двох взаємно перпендикулярних напрямках. Прикладом такого коливання може слугувати рух тіла, зображеного на рис. 1.6. У цьому випадку вид траєкторій залежить від співвідношення частот, амплітуд і фаз взаємно перпендикулярних коливань.

Рис. 1.5 Складання двох гармонійних коливань

Ці траєкторії називають фігурами Ліссажу.

Рис. 1.6 Складання коливань у двох взаємно перпендикулярних напрямках

Траєкторія руху тіла в тому випадку, коли воно одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, описується системою рівнянь

, (1.5)

.

де і проекції зміщення тіла на осях і .

Припустимо для простоти, що та .

Тоді:

, (1.6)

.

Це означає, що ; отже, відношення (1.6) описують відрізок прямої. Кут нахилу до осі визначається рівнянням:

.

Нехай тепер

.

Тоді:

, (1.7)

.

Розберемо спочатку найпростіший випадок, коли , та , тобто

(1.8)

.

Точка з координатами та , обумовленими цими рівняннями, описує коло радіуса . Дійсно, . А це і означає, що траєкторія руху коло.

Нехай тепер . Побудуємо траєкторію руху для випадку , . В момент максимального відхилення , тобто , і, отже, . Аналогічно при , при і так далі.

Побудувавши по цим координатам графік, ми отримаємо еліпс, більша піввісь якого дорівнює , а менша , тобто еліпс витягнутий по осі (рис. 1.7, а).

а б

Рис.1.7 Графіки траєкторії руху:

а) випадок, коли , ; б) випадок, коли ,

При та ми отримаємо еліпс, витягнутий по осі (рис. 1.7, б),

,

описує еліпс, можна показати і аналітично:

,

тобто точка з координатами та лежить на еліпсу.

Таким чином, ясно, що змінюючи співвідношення амплітуд, можна одержати різні еліпси.

Побудуємо криві, що відповідають рівнянням:

(1.9)

Візьмемо коло радіусом A (рис. 1.8), відмітимо на ній точки, що відповідають кутам , рівним 0,

Рис. 1.8 Зображення кривих, що змінюються за законом 1.9

Щоб знайти точки з координатами та згадаємо, що в випадку кола одиничного радіусу чисельно дорівнює проекції радіус-вектора на вісь Х, а – проекції на вісь Y. Так як ми взяли окружність радіуса А, то координати x та y в кожній точці окружності, це проекція радіус-векторів цих точок на осі Х та Y.

Коли всі точки за їхніми координатами відомі, проведемо через ці точки суцільну лінію (рис. 1.8).

Для обох випадків одержуємо замкнуті криві, число петель яких відповідає відношенню (рис 1.9, а, б).

Рис. 1.9 Криві, що відповідають відношенню

Фігура приведена на рис. 1.10 незамкнута. Вона відповідає системі рівнянь:

(1.10)

В такому випадку одержуємо незамкнуті фігури. Чи можливо знайти закономірності? Розглянемо рівняння у вигляді:

(1.11)

Рис. 1.10 Фігура, що відповідає системі рівнянь 1.10

Перш за все відмітимо, що в точці, де крива провертається назад за тією ж траєкторією, швидкість тіла вздовж осі Х та Y одночасно повертаються в нуль. Саме в цьому випадку, тіло яке рухається вздовж кривої, зупиняється а за тим починає знову рухатись. Якщо то

Коли (різниця мала),

(1.12)

В результаті

Аналогічно для отримаємо

Подивимось, коли швидкості та звертаються в нуль:

якщо

якщо

З цих умов випливає, що фігуру Лісажу отримуємо незамкнутою в тих випадках, коли

Крива на рис. 1.10 задовольняє цій умові.

Рис.1.11 Маятник з двома точками підвісу (1, 1´; 2, 2´)

Опис установки

Перелік елементів:

§ 1, 1´; 2, 2´ – місце для кріплення нитки;

§ 3 – нитка;

§ 4 – ємність для піску;

§ 5 – пісок;

§ 6 – стійка;

§ 7 – основа (робоча поверхня);

§ 8 – точка відхилення маятника на кут 45°

§ 9 – щіточка для очищення робочої поверхні.

Розглянемо один з отриманих результатів досліду на рис. 1.12.

В даному випадку маємо такі довжини плечей: L1=23 см, L2=23 см (рис 1.11). В результаті досліду отримали фігуру Ліссажу (рис 1.12). Відклавши осі координат Х,Y, порахуємо частоту коливань (піки максимумів). З рис.1.13 видно, що по осі Х маємо 3 максимуми, а по осі Y теж 3 максимуми.

Висновок: відношення частот пропорційне відношенню довжин плечей.

X

Y

Рис. 1.13 Зображення фігури Ліссажу, отримане в результаті досліду

Експериментальна частина

1. Ознайомитись з принципом роботи та будови маятника з двома точками підвісу. Опис додається.

2. Підготувати установку до проведення досліду: виставити довжини плечей маятника відповідно до таблиці 1.1 (дослід 1-3), закріпіть плечі (нитку) та відерце в місці кріплення 1, 1´.

3. Наповніть ємність 4 піском 5, відхиліть маятник на від положення рівноваги до відміченої точки 8 та відпустіть його без прикладання додаткової сили.

4. Сфотографуйте отримане зображення та очистіть поверхню щіточкою 8 для наступного досліду.

5. Закріпіть нитку в місці кріплення 2, 2´ і повторіть п. 3-4 для досліду 4-6 (табл. 1.1).

6. Очистіть робоче місце (робочу поверхню) з допомогою щіточки 9.